专题07空间向量在几何中的应用（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题07 空间向量在几何中的应用（期中复习讲义） 空间向量在几何中的应用在期中考试里，核心考点：点到直线的距离，点到平面的距离，异面直线的夹角，线面角，二面角。 核心考点 复习目标 考情规律 直线的方向向量和法向量 直线的方向向量关系，平面的法向量求解 基础必考点，常出现在小题中考查异面直线的夹角，解答题中考查空间平面的法向量. 空间中平行和垂直的关系 空间中向量和法向量表示空间中的平行和垂直关系 基础必考点，常出现在小题或解答题存在性问题中 点到平面的距离 点到直线，点到平面的距离 基础必考点，常出现在小题中考查点到直线的距离，在解答题中考查点到平面的距离 线面角和二面角 空间中线面角和二面角的求解 基础必考点，常出现在解答题中考查空间中的线面角和二面角的求解 空间中存在性问题 空间中存在性问题 基础必考点，常出现在解答题中考查空间中存在性问题 知识点01 空间中直线的方向向量和平面的法向量 1、求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2、平行： 线线平行：设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行：设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行：设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 3、垂直： 线线垂直：设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直：设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面垂直：设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ·易错点：平面的法向量的求解上存在求解上的不足. 知识点02 空间中距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. ·易错点：点到直线的距离上，容易公式记错和没有平方的计算. 知识点03 空间中夹角的问题 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. ·易错点：二面角的表示和求解上，存在没注意锐角和钝角的情况. 题型一 直线的方向向量 解｜题｜技｜巧 直线上任取两个点，形成的向量即为直线的方向向量. 易｜错｜点｜拨 容易把直线的方向向量规定方向. 【典例1】（2021高二·全国·专题练习）若直线的方向向量分别为，则（ ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】计算，根据其结果，即可判断出答案. 【详解】由题意得， ∴，∴， 故选：B 【变式1】（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（ ） A．2 B．或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解. 【详解】，，得，所以， 因为，则，得， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 题型二 平面的法向量 解｜题｜技｜巧 求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 易｜错｜点｜拨 用行列式进行法向量的计算时，学生在坐标上需要去负号进行求解. 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 【变式3】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 题型三 空间中的平行 解｜题｜技｜巧 线线平行：设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行：设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行：设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 易｜错｜点｜拨 线面平行时，线和平面的法向量垂直，学生容易转化错误. 【典例1】．（24-25高二下·江苏淮安·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【分析】判定向量是否共线判断A；举例说明判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；利用共面向量定理的推论判断D. 【详解】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误； 对于B，当夹角为0时，也满足，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确. 故选：D 【变式1】（23-24高三·全国·课后作业）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 题型四 空间中的垂直 答｜题｜模｜板 线线垂直：设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直：设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面垂直：设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 易｜错｜点｜拨 线面垂直时，即线和平面的法向量平行，学生容易理解错误. 【典例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可计算. 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面的位置关系得出直线方向向量和平面法向量的位置关系，再结合两向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】直线平面， ，又易知，， ， 解得，，则. 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 题型五 点到直线的距离 答｜题｜模｜板 点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为. 易｜错｜点｜拨 容易记错公式，且忘记平面进行根号下的计算. 【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 【变式2】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意可知,, ∴点到直线的距离为 故选：B 题型五 点到平面的距离 答｜题｜模｜板 点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为. 易｜错｜点｜拨 点到平面的距离求解时，公式没有用绝对值进行求解. 【典例1】（24-25高二下·福建莆田·期末）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明即可证明，，，四点共面； （2）建立空间直接坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）连接， 因为，分别为棱，的中点，所以， 在长方体中，，所以， 所以，，，四点共面. （2）以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 则点到平面的距离. 【变式1】（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 【变式2】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故选：D. 题型五 异面直线的夹角 答｜题｜模｜板 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 易｜错｜点｜拨 异面直线的夹角范围. 【典例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示： ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 【变式1】（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解. 解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 题型五 线面角 答｜题｜模｜板 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 易｜错｜点｜拨 线面角的正弦值即为线与法向量角的余弦值. 【典例1】（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 【变式1】（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 【变式2】（24-25高二下·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由及E是的中点，可得.根据面面垂直的性质定理可得，平面.结合线面垂直的性质得，.利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，可知平面，进而，.由平面，可得，.故以D为坐标原点，，，分别为，，轴空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）（1）∵，E是的中点，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面，∴. 又，，平面，∴平面. （2）∵平面，，∴平面. ∵，平面，∴，. ∵平面，，平面，∴，. 故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. ∵，∴， 即直线与平面所成角的大小为. 题型五 二面角 答｜题｜模｜板 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 易｜错｜点｜拨 二面角的求解上，需要观察二面角时否为钝角. 【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证:平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明以平面，进而得出线线垂直再次应用线面垂直判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量，再应用夹角的余弦公式计算，最后应用同角三角函数关系求出正弦即可. 【详解】（1）因为底面，平面 所以， 因为四边形是矩形，所以， 又因为、平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，是的中点，所以平面， 所以平面， 又平面，所以， 由已知得，且平面， 所以平面. （2）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）知平面，所以为平面的一个法向量， 又，，设为平面的一个法向量， 则由得取， 则， 设二面角的大小为， 则 所以二面角的正弦值为. 【变式1】（2024·湖南益阳·一模）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2）作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法求点到面的距离，根据平面法向量的求解步骤，求出平面的一个法向量，再运用距离公式求解即可； （2）利用空间向量法求二面角，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求解即可. 【详解】（1）以为原点，以，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为， 则，不妨取，则， 所以点到平面的距离. （2）由，设平面的法向量为， 则，不妨取，则， 又且为平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以其余弦值为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23高一上·北京朝阳·期中）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方向向量的概念求解， 【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意， 故选：A 2．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A，，则， 则此点在平面内，故正确； 对于B，，则， 则此点不在平面内吗，故错误； 对于C，，则， 则此点不在平面内，故错误； 对于D，，则， 则此点在不平面内，故错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·福建泉州·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意类比可得答案. 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则， 平面的法向量为，， 所以该平面的方程为. 故选：B 5．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】由，得到，求解即可； 【详解】由，得，即，解得. 故选：A 6．（24-25高二上·河南南阳·期末）若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由题意，利用空间向量共线的坐标表示求参数值. 【详解】由题意知，即，解得． 故选：C 7．（24-25高二下·广西桂林·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 8．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若非零向量，，满足，，则 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则或 【答案】BCD 【分析】根据，的方向不确定判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据投影向量定义判断C；利用，可得，从而判断D． 【详解】对于A，非零向量，，满足，，，的方向不确定，则，不一定平行，故A错误； 对于B，，，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，因为，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为直线l的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，则或，故D正确． 故选：BCD. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间中三点，，，则（ ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 2．（23-24高二上·重庆·期末）（duoxuan ）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 【答案】ABD 【分析】A：根据条件写出平面的方程并化简；B：先分析方程对应的一个法向量，然后根据法向量与之间的关系作出判断；C：与题设方程作对比，然后作出判断即可；D：设出三元一次方程的一般形式，然后与题设方程对比并作出判断. 【详解】对于A：根据题设可知平面的方程为， 即为，故A正确； 对于B：因为平面的方程为， 由题设可知平面的一个法向量为，且即共线， 所以是平面的法向量，故B正确； 对于C：， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误； 对于D：设，其等价于， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确； 故选：ABD. 3．（21-22高二下·江苏常州·期中）（多选）下列命题是真命题的有（ ） A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D．平面α经过三点是平面α的法向量，则 【答案】BD 【分析】A项，空间的基底向量必不共面，易推得结论错误；B项，利用两直线的方向向量垂直判断直线垂直即得；C项，利用直线的方向向量与平面的法向量不共线即可判断线面不垂直；D项，利用平面的法向量与平面内的向量垂直即得参数之间的数量关系. 【详解】对于A选项，因能构成空间的一个基底，故不能平移到同一个平面内，即A，B，M，N不共面，A项错误； 对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确； 对于C选项，要使l⊥α,须使与共线，不妨设，则得：，显然该方程组无解，故C项错误； 对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面α的法向量， 故解得：则有：，故D项正确. 故选：BD. 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一：取的中点为，连接，，利用中位线性质及梯形性质得四边形为平行四边形，故，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，，利用数量积的坐标运算得，即可证明． （2）由（1）平面的法向量为，然后求出平面的法向量，利用向量法求解夹角的余弦值． （3）利用点面距的向量公式直接求解即可． 【详解】（1）法一：取的中点为，连接，， 则，， 而，，故，， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，所以平面． 法二：因为平面，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 从而平面的法向量为，， 因为， 所以， 而平面，所以平面． （2）由（1）得，，易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面所成角的余弦值为． （3）由，平面的法向量为， 则， 即点到平面的距离为. 5．（24-25高二下·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用空间向量法求出即可； （2）利用空间向量法分别求出平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值； （3）求出在上的投影向量的模长，进而求出到直线的距离. 【详解】（1）证明：由题知，平面ABC， 所以、、两两垂直 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，，，则 ，，，，，， 所以， 故 所以 （2）由（1）分析知，，， 又，即 所以， 设平面的法向量为 则，即 令，则 由题知，是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）知，，且 在上的投影向量的模长. 计算. 根据点到直线距离公式， 即点到直线的距离为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在， 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【详解】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则，且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 3．（23-24高三上·天津和平·期末）四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，，E是的中点，点F在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接和，推导出四边形为平行四边形，从而．由此能证明平面． 由题意可得，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值． （3）应用向量法即可求解. 【详解】（1）（1）证明：取的中点，连接和， 则，且， 又， 且，四边形为平行四边形， ．平面，平面，平面． （2）由题意可得，，两两互相垂直，如图，以为原点， ，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则 由，即，得，故 设平面的一个法向量为，， 则，则，令，则， 即平面的一个法向量为； 设平面的一个法向量为，， 则，则，令，则， 即平面的一个法向量为； 故平面与平面夹角的余弦值为 （3）与平面所成角的余弦值是，所以其正弦值为 设点，则， 即，故， ，又平面的一个法向量为， 则与平面所成角的正弦值为， 整理得 （舍去）， 所以存在满足条件的点，且. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 空间向量与立体几何（二）（期中复习讲义） 空间向量在几何中的应用在期中考试里，核心考点：点到直线的距离，点到平面的距离，异面直线的夹角，线面角，二面角。 核心考点 复习目标 考情规律 直线的方向向量和法向量 直线的方向向量关系，平面的法向量求解 基础必考点，常出现在小题中考查异面直线的夹角，解答题中考查空间平面的法向量. 空间中平行和垂直的关系 空间中向量和法向量表示空间中的平行和垂直关系 基础必考点，常出现在小题或解答题存在性问题中 点到平面的距离 点到直线，点到平面的距离 基础必考点，常出现在小题中考查点到直线的距离，在解答题中考查点到平面的距离 线面角和二面角 空间中线面角和二面角的求解 基础必考点，常出现在解答题中考查空间中的线面角和二面角的求解 空间中存在性问题 空间中存在性问题 基础必考点，常出现在解答题中考查空间中存在性问题 知识点01 空间中直线的方向向量和平面的法向量 1、求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2、平行： 线线平行：设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行：设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行：设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 3、垂直： 线线垂直：设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直：设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面垂直：设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ·易错点：平面的法向量的求解上存在求解上的不足. 知识点02 空间中距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. ·易错点：点到直线的距离上，容易公式记错和没有平方的计算. 知识点03 空间中夹角的问题 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. ·易错点：二面角的表示和求解上，存在没注意锐角和钝角的情况. 题型一 直线的方向向量 解｜题｜技｜巧 直线上任取两个点，形成的向量即为直线的方向向量. 易｜错｜点｜拨 容易把直线的方向向量规定方向. 【典例1】（2021高二·全国·专题练习）若直线的方向向量分别为，则（ ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 【变式1】（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（ ） A．2 B．或1 C． D．1 【变式2】（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 题型二 平面的法向量 解｜题｜技｜巧 求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 易｜错｜点｜拨 用行列式进行法向量的计算时，学生在坐标上需要去负号进行求解. 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A． B． C． D． 题型三 空间中的平行 解｜题｜技｜巧 线线平行：设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行：设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行：设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 易｜错｜点｜拨 线面平行时，线和平面的法向量垂直，学生容易转化错误. 【典例1】．（24-25高二下·江苏淮安·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【变式1】（23-24高三·全国·课后作业）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A． B． C． D． 题型四 空间中的垂直 答｜题｜模｜板 线线垂直：设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直：设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面垂直：设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 易｜错｜点｜拨 线面垂直时，即线和平面的法向量平行，学生容易理解错误. 【典例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A．4 B． C．2 D．-2 题型五 点到直线的距离 答｜题｜模｜板 点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为. 易｜错｜点｜拨 容易记错公式，且忘记平面进行根号下的计算. 【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ） A．2 B． C． D．3 题型五 点到平面的距离 答｜题｜模｜板 点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为. 易｜错｜点｜拨 点到平面的距离求解时，公式没有用绝对值进行求解. 【典例1】（24-25高二下·福建莆田·期末）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求点到平面的距离. 【变式1】（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 题型五 异面直线的夹角 答｜题｜模｜板 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 易｜错｜点｜拨 异面直线的夹角范围. 【典例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 题型五 线面角 答｜题｜模｜板 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 易｜错｜点｜拨 线面角的正弦值即为线与法向量角的余弦值. 【典例1】（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1】（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 题型五 二面角 答｜题｜模｜板 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 易｜错｜点｜拨 二面角的求解上，需要观察二面角时否为钝角. 【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证:平面； (2)求二面角的正弦值. 【变式1】（2024·湖南益阳·一模）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23高一上·北京朝阳·期中）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建泉州·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D．15 6．（24-25高二上·河南南阳·期末）若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ） A． B． C． D．8 7．（24-25高二下·广西桂林·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若非零向量，，满足，，则 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则或 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间中三点，，，则（ ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 2．（23-24高二上·重庆·期末）（duoxuan ）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 3．（21-22高二下·江苏常州·期中）（多选）下列命题是真命题的有（ ） A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D．平面α经过三点是平面α的法向量，则 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 5．（24-25高二下·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高三上·天津和平·期末）四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，，E是的中点，点F在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $