第3章 09-高考模拟练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心知识，涵盖空间向量运算、法向量应用、空间直角坐标系建立及立体几何中的位置关系、角度、距离、外接球等内容，通过例题解析与“名师点睛”中的建系技巧总结，构建知识网络，体现知识点内在逻辑。 其亮点在于精选各地联考真题，设计从概念辨析（如多选题）到综合应用（如四棱锥外接球）再到迁移创新（如三面角余弦定理）的分层练习，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理几何关系的能力，帮助学生巩固知识，也为教师提供系统复习资源，提升教学针对性。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[多选题][2025江西八校协作体第一次联考]下列命题中正确的是 ( ) A.若两个不同平面α,β的一个法向量分别是u=(1,2,-3),v=(-2,-4,6),则α⊥β B.若 =(3,-1,-2), =(4,2,1), =(2,-4,-5),则点P在平面ABC内 C.已知A(0,1,0),B(1,2,0),则与 方向相同的单位向量是(1,1,0) D.若{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基,则{a,b,c}也是空间向量的一组基     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为u=(1,2,-3),v=(-2,-4,6), 所以v=-2u,所以α∥β,故A错误; 因为 =(2,-4,-5)=2(3,-1,-2)-(4,2,1)=2 - , , 不共线,所以 , , 共面,即点P在平面ABC内, 故B正确; 易得 =(1,1,0),所以与 方向相同的单位向量是 ,故C错误; 因为{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基,所以对于空间任一向量d,存在唯一的实数组(x,y,z),使得d=x(a+ b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c成立,故{a,b,c}也是空间向量的一组基,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东东莞中学、深圳大学附属中学第一次检测]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD = ,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=PA=2 ,则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为 ( ) A.25π　　    B.36π　　    C.48π　　    D.64π     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AC,BD,记AC∩BD=O,O为AC,BD的中点,在菱形ABCD中,AC⊥BD,AB=BC=CD=AD, 又∠BAD= , 所以△ABD,△BCD均为等边三角形, 则OA=OC=3,OB=OD= . 以O为坐标原点,OD,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,   则B(- ,0,0),P(0,-3,2 ), 第1讲　描述运动的基本概念 设外接球球心为M,球心M在平面BCD内的投影为△BCD的中心,记为M1, 则M(0,1,m),m>0,由BM=PM, 得 = , 解得m=2 ,则M(0,1,2 ), 所以外接球的半径R= = =4, 则外接球的表面积为4πR2=64π. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,空间中的点M满足 =λ  +μ ,其中λ∈R,μ∈R,且 = ,则点M的轨迹的长度为( ) A.6π　　    B.3π　　    C.2 π　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图1,连接CD1,A1B,AB1,   图1 因为 =λ +μ , 所以M∈平面A1BCD1, 设E为AB1,A1B的交点, 则AE⊥A1B, 因为BC⊥平面AA1B1B,AE⊂平面AA1B1B,所以BC⊥AE, 第1讲　描述运动的基本概念 又BC∩A1B=B,BC,A1B⊂平面A1BCD1, 所以AE⊥平面A1BCD1, 连接ME,因为M∈平面A1BCD1, 所以ME⊂平面A1BCD1,所以AE⊥ME, 则MA2=ME2+AE2, 因为正方体的棱长为 , 所以A1B=AB1=2,所以AE=1, 所以MA2=ME2+1. 在平面A1BCD1内建立平面直角坐标系,如图2所示,则A1(0,0),B(2,0),E(1,0), 第1讲　描述运动的基本概念   图2 设M(x,y),x,y∈R, 则ME2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+y2,MB2=(2-x)2+y2=x2-4x+4+y2, 所以MA2=ME2+1=x2-2x+1+y2+1=x2-2x+y2+2, 因为 = ,所以MA2=2MB2,则x2-2x+y2+2=2(x2-4x+4+y2),整理得x2-6x+y2+6=0,即(x-3)2+y2=3, 故点M的轨迹是半径为 的圆, 所以点M的轨迹的长度为2π× =2 π. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026湖南邵阳联考]在正三棱柱ABC-A1B1C1中,2AB=AA1=2,M是BC的中点,N是线段CC1上的 动点,则 ( ) A.AM⊥CC1 B.正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为  C.若AB1⊥MN,则CN=  D.直线MN与AB1是异面直线     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为CC1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,所以AM⊥CC1,故A正确; 正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AA1·S△ABC=2× ×12×sin 60°= ,故B错误; 取B1C1的中点D,连接MD, 因为MC∥DC1,MC=DC1, 所以四边形MCC1D为平行四边形, 所以MD∥CC1,因为CC1⊥平面ABC, 所以MD⊥平面ABC, 又MA,MC⊂平面ABC, 所以MD⊥MA,MD⊥MC, 因为AB=AC,M为BC的中点, 第1讲　描述运动的基本概念 所以MA⊥BC,设CN=m(0≤m≤2), 以M为原点,MC,MA,MD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   则M(0,0,0),A ,B1 ,N ,所以 = , = , 若AB1⊥MN,则 ⊥ , 所以 · =0, 则- +2m=0,解得m= , 所以CN= ,故C正确; 第1讲　描述运动的基本概念  = , = , = ,设 =λ +μ , 则 =λ +μ = , 则 解得  与m∈[0,2]矛盾, 所以 , , 不是共面向量, 故MN与AB1是异面直线,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025云南月考]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段B1C上的动点(不包括端点),则下 列结论错误的是 ( )   A.当B1P=2PC时,AP=  B.当B1P=2PC时,点D1到平面A1BP的距离为1 C.直线A1P与BD的夹角可能是  D.若二面角B-A1P-B1的平面角的正弦值为 ,则 =  或 =       C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,3,0),A1(0,0,3),C(3,3,0),B1(3,0,3),D1(0,3,3). 对于A,因为B1P=2PC,所以 =  = (0,3,-3)=(0,2,-2), 所以P(3,2,1),故 =(3,2,1), 则AP=| |= = ,A中结论正确; 对于B, =(0,3,0), =(3,0,-3), 因为B1P=2PC,所以P(3,2,1), 所以 =(3,2,-2), 设m=(x,y,z)为平面A1BP的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则  即  取x=1,则y=- ,z=1, 故m= , 所以点D1到平面A1BP的距离为 =1,B中结论正确; 对于C,设 =λ (0<λ<1),则P(3,3λ,3-3λ), 所以 =(3,3λ,-3λ), 易得 =(-3,3,0), 第1讲　描述运动的基本概念 若直线A1P与BD的夹角为 , 则|cos< , >|=  = = , 解得λ=- (二重根),又λ∈(0,1), 所以直线A1P与BD的夹角不可能是 ,C中结论错误; 对于D, =(3,0,0), =(3,0,-3), 由C可知 =(3,3λ,-3λ), 设平面BA1P,平面B1A1P的一个法向量分别为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以   即   分别令z1=1,z2=1, 则x1=1,y1=1- ,x2=0,y2=1, 故a= ,b=(0,1,1), 设二面角B-A1P-B1的平面角为θ,则sin θ= , 则|cos θ|= = = ,解得λ= 或λ= ,均符合题意,D中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北石家庄实验中学期中]如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC =2CF=2. (1)求证:BF∥平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为CF∥AE,CF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, 所以CF∥平面ADE, 因为AD∥BC,BC⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE, 又CF∩BC=C,CF,BC⊂平面BCF, 所以平面BCF∥平面ADE, 因为BF⊂平面BCF, 所以BF∥平面ADE. (2)因为AE⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AD,又AD⊥AB,所以AB,AD,AE两两互 相垂直. 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 第1讲　描述运动的基本概念   因为AB=AD=1,AE=BC=2CF=2, 所以B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),则 =(-1,-2,2), =(-1,0,2), =(0,-1,2), 设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z), 则  令z=1,则x=2,y=2, 所以m=(2,2,1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以|cos<m, >|= = = ,故直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 . (3)由(2)知,F(1,2,1), 则 =(0,2,1), =(-1,1,0), 设平面BDF的一个法向量为n=(a,b,c), 则 令c=-2,则a=1,b=1, 所以n=(1,1,-2), 由(2)知,平面BDE的一个法向量为m=(2,2,1), 所以|cos<m,n>|= = = , 故平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛 常见的建立空间直角坐标系的技巧 1.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系,如图1.   第1讲　描述运动的基本概念 2.利用线面垂直建系,如图2.   3.利用面面垂直建系,如图3.   第1讲　描述运动的基本概念 4.利用正棱锥的中心与高所在直线建系,如图4.   5.利用图形中的对称关系建系.图形中有一定的对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)时,利用图形自身 的对称性可建立空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025河北承德一中月考]如图1所示,四边形ABCQ是直角梯形,AQ∥BC,AQ⊥AB,且AQ=2BC=2AB=4, D为线段AQ的中点.现沿着CD将△QCD折起,使Q点到达P点,如图2所示,连接PA,PB,DM,其中M为线段 PA的中点. (1)求证:DM⊥PB; (2)若二面角A-CD-P的大小为60°,则在线段PC上是否存在一点N,使得直线PB与平面BDN夹角的正弦值 为 ?若存在,求三棱锥P-BDN的体积;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,求点A到平面BDN的距离.  图1     图2 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在题图1中,CD=DQ=AD=2,AQ⊥AB, 则在题图2中,CD⊥PD,CD⊥AD, 而PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD, 则CD⊥平面PAD, 又AB∥CD,∴AB⊥平面PAD, 又DM⊂平面PAD,∴AB⊥DM, 又PD=AD,且M为PA的中点, ∴DM⊥PA, 又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB, ∴DM⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,∴DM⊥PB. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)知CD⊥平面PAD, 而CD⊂平面ABCD, 则平面ABCD⊥平面PAD, 易知二面角A-CD-P的平面角为∠ADP,则∠ADP=60°, 则△PAD是等边三角形, 则PA=AD=PD=2,取AD的中点O,连接PO,则PO⊥AD,又平面ABCD∩平面PAD=AD,PO⊂平面PAD, ∴PO⊥平面ABCD,且PO= , 则可以建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则P(0,0, ),D(-1,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0), 则 =(2,2,0), =(0,2,0), =(1,-2, ), =(-1,-2, ), 设 =λ =(λ,-2λ, λ)(0≤λ≤1), 则 = + =(λ,2-2λ, λ), 设平面BDN的一个法向量为m=(x,y,z), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令y= λ,则m=(- λ, λ,3λ-2), 记直线PB与平面BDN的夹角为θ, 则sin θ=|cos< ,m>|=  =  = = , 即 = , 解得λ=  ,因此 =  , 第1讲　描述运动的基本概念 则VP-BDN=VB-PDN= VB-PCD= VP-BCD= × ×S△BCD×PO= ×2× = . (3)由(2)知m= , 则平面BDN的一个法向量可以为n=(-1,1,0),又 =(0,-2,0), 故点A到平面BDN的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 迁移创新 8.[2026山东日照实验高级中学阶段测试]如图1,在平面四边形ACBD中,AC=2,BC= ,∠C=90°,△ABD 是等腰直角三角形,∠ABD=90°,将△ABD沿AB折叠到△QAB的位置,形成如图2所示的三棱锥Q-ABC,且 QC=2 .  图1  图2  图3 (1)证明:AC⊥BQ; (2)已知三棱锥Q-ABC的外接球球心为O. ①若E为线段BQ上(不包含B点)的动点,S为AC的中点,T为BC的中点,设平面OBC与平面EST的夹角为θ, 求sin θ的最小值; 第1讲　描述运动的基本概念 ②类似于平面中三角形的余弦定理,有三维空间中的三面角余弦定理:由射线PA',PB',PC'构成的三面角 P-A'B'C',记∠A'PC'=α,∠B'PC'=β,∠A'PB'=γ,二面角A'-PC'-B'的平面角的大小为θ,则cos γ=cos αcos β+sin αsin βcos θ,当α,β,γ∈ 时,请在图3的基础上,试证明三面角余弦定理,并用该结论求图2中二面角A- OC-B的平面角的余弦值. 思路分析 (1)通过勾股定理的逆定理证明线线垂直,从而推出线面垂直,再利用线面垂直证明线线垂直; (2)①建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,进而得出cos θ与动点E的坐标的关系,结合基本不等式求 最值; 　　②构造直角三角形,利用平面三角形中的余弦定理构建边与角的方程,化简可证明三维空间的三面 角余弦定理,代入数值求出二面角的余弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在Rt△ABC中, 由勾股定理得AB= = . 则在等腰直角三角形ABD中,BD=AB= , 则AD=2 ,故BQ= ,AQ=2 , 在△ACQ中,AC2+CQ2=AQ2, 所以∠ACQ=90°,即AC⊥QC. 因为AC⊥QC,AC⊥BC,QC∩BC=C,QC,BC⊂平面BCQ, 所以AC⊥平面BCQ, 又BQ⊂平面BCQ,所以AC⊥BQ. (2)因为BC2+BQ2=CQ2,所以QB⊥BC. 因为QB⊥BC,QB⊥AC,BC∩AC=C,BC,AC⊂平面ABC, 第1讲　描述运动的基本概念 所以QB⊥平面ABC. 以C为原点,CB,CA所在直线分别为x轴、y轴,过C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,   则C(0,0,0),A(0,2,0),B( ,0,0),Q( ,0, ), 设AB的中点为K,则K , 因为三棱锥底面为直角三角形, 所以三棱锥Q-ABC的外接球球心在底面上的投影为K, 第1讲　描述运动的基本概念 又球心O与点Q和B之间的距离相等, 所以球心为AQ的中点,则O . ① = , =( ,0,0), 设n=(x1,y1,z1)为平面OBC的一个法向量, 则 即  不妨令z1= ,得n=(0,-3, ). 易知S(0,1,0),T , 设E( ,0,t),t∈(0, ], 第1讲　描述运动的基本概念 则 = , =( ,-1,t), 设m=(x2,y2,z2)为平面EST的一个法向量, 则 即  不妨令z2=-1,则m=( t,t,-1). 因为θ∈ ,所以要求sin θ的最小值,即求cos θ的最大值. cos θ=|cos<n,m>|= =  = × = × = · . 第1讲　描述运动的基本概念 设s=2 t+1,s∈(1,13],则t= , 则cos θ= × = × ≤ , 当且仅当s= ,即s=3,即t= 时,等号成立, 所以sin θ的最小值为 = . ②三面角余弦定理证明如下:如图,设H为射线PC'上一点,过H作HM⊥PC'交PA'于M,作HN⊥PC'交PB'于 N,连接MN, 则∠MHN是二面角A'-PC'-B'的平面角. 第1讲　描述运动的基本概念   在△MNP中,由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NP·cos γ, 在△MNH中,由余弦定理得MN2=MH2+NH2-2MH·NH·cos θ, 两式相减得MP2-MH2+NP2-NH2+2MH·NH·cos θ=2MP·NP·cos γ, 由勾股定理得MP2-MH2=PH2,NP2-NH2=PH2,则2PH2+2MH·NH·cos θ=2MP·NP·cos γ, 两边同时除以2MP·NP得 · + · ·cos θ=cos γ, 即cos αcos β+sin αsin βcos θ=cos γ,得证. 在△AOC中,AO= ,CO= ,AC=2, 第1讲　描述运动的基本概念 由余弦定理可得cos∠AOC= , 则sin∠AOC= , 在△BOC中,BO= ,CO= ,BC= , 由余弦定理可得cos∠BOC= , 则sin∠BOC= , 在△AOB中,cos∠AOB=cos =0. 设二面角A-OC-B的平面角的大小为φ, 则cos∠AOB=cos∠AOC·cos∠BOC+sin∠AOC·sin∠BOC·cos φ,即0= × + × ×cos φ, 解得cos φ=- ,所以二面角A-OC-B的平面角的余弦值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 $