专题06空间向量及其运算（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题06 空间向量及其运算（期中复习讲义） 空间向量及其运算在期中考试里，核心考点：空间直角坐标系，空间向量的基底，线性运算，数量积，异面直线的夹角及其应用。 核心考点 复习目标 考情规律 空间直角坐标系 空间直角坐标系 常在立体几何解答题中考查建系求坐标 空间向量的基底及线性运算 基底和表示 常在小题中考查空间向量的表示. 空间向量的关系及数量积 空间向量的数量积，关系 常在小题中考查空间向量的平行和垂直关系，数量积的应用 异面直线的夹角 异面直线的夹角 常在小题中考查空间向量的夹角 知识点01 空间直角坐标系 1、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 3、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 4、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. ·易错点：坐标上对称和坐标的书写上存在不足 知识点02 空间向量及其基底 1、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． ·易错点：基底的确定上，需要满足不共面 知识点03 空间向量的数量积和应用 1、空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2、空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． ·易错点：异面直线夹角上，只能是锐角. 题型一 空间坐标及表示 解｜题｜技｜巧 利用右手法则，进行空间直角坐标系建系，利用坐标系进行点的表示及其对应的坐标运算，对称方面，点关于点对称时，利用中点坐标进行表示，点关于平面对称时，即关于谁对称谁不变，其余变成相反数. 易｜错｜点｜拨 注意对称和投影到平面里面上，坐标的变化上出现错误 【典例1】24-25高二上·福建·期末）（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 【变式1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）空间一点P在xOy平面上的射影为，在xOz平面上的射影为，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据射影的概念，可得答案. 【详解】由题意可得点与点的横、纵坐标相同；点与点的横、竖坐标相同， 则点的坐标为，则点在平面上的射影的坐标为. 故选：C. 题型二 空间距离 答｜题｜模｜板 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 易｜错｜点｜拨 在已知距离求参上，容易忽略负值的情况. 【典例1】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知空间两点，之间的距离为，则z=（ ） A．2 B．0或2 C．0 D．2或1 【答案】B 【分析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】由于空间两点，之间的距离为， 于是得，解得z=0或2， 所以z=0或2. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为中点可得点坐标，结合空间两点距离公式计算即可得. 【详解】由、可得， 故. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据空间两点间距离公式得出的三边长；再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由空间三点可得： ； ； ， 所以是等边三角形， 所以的面积为. 故选：B. 题型三 空间向量的基底 答｜题｜模｜板 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 易｜错｜点｜拨 空间向量的基底：满足不共面. 【典例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 题型四 空间向量的线性运算 答｜题｜模｜板 利用空间向量的一组基底，进行空间向量的线性运算表示，将向量围绕这向量的基底进行换算，从而表示出对应的空间向量的基底 易｜错｜点｜拨 空间向量的基底运算时，容易地围绕不同的点进行表示. 【典例1】（24-25高二上·陕西渭南·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 题型五 空间向量的数量积 答｜题｜模｜板 1、已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 易｜错｜点｜拨 容易错误表示角度及其大小 【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 【变式1】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 【变式2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 题型六 空间向量的向量关系 答｜题｜模｜板 1、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 易｜错｜点｜拨 空间向量的平行和垂直的表示时，向量的坐标为时比值表示上错在错误. 【典例1】（22-23高二上·浙江温州·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解；对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算,模长,数量积及投影向量的坐标运算公式逐一计算,即可判断. 【详解】对于选项A:因为,所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,,所以，故选项B错误； 对于选项C:因为,,所以，故选项C错误； 对于选项D:因为,,所以，，， 在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：D. 题型七 空间向量中异面直线夹角 答｜题｜模｜板 表示对应的两条直线的方向向量，利用向量进行夹角的表示，并求解异面直线的夹角. 易｜错｜点｜拨 表示的异面直线夹角的余弦值为负值，即对应的夹角的范围. 【典例1】（24-25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 【变式1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 【变式2】（22-23高二下·河南驻马店·期末）如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（ ） A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得四边形为菱形，则可得，再计算，可得，从而得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B，连接，可得，从而可证得平面，进而可求出体积，对于C，利用空间向量的加法分析判断，对于C，设，则可得，然后利用向量的夹角公式计算判断. 【详解】对于A，因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形，所以， 因为，， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以A正确， 对于B，连接，因为，，所以， 所以为直角三角形，即，因为∥，所以， 因为由选项A知平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以平行六面体的体积，所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，因为在菱形中，，所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD 题型五 空间向量的综合应用 答｜题｜模｜板 利用空间向量的基底，进行对应的向量表示，从而表达出对应的空间向量及其应用. 易｜错｜点｜拨 向量的表示和二面角的关系运算.二面角转化为平面向量的角度使用时，即表示成对应的补角. 【典例1】（21-22高三上·湖南长沙·阶段练习）（多选）平行六面体中，各棱长均为2，设，则下列结论中正确的有（ ） A．当时， B．和BD总垂直 C．θ的取值范围为 D．θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是 【答案】ABC 【分析】对于A，求正方体对角线即可判断；对于B，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C，由正三棱锥 的高与斜高的关系即可计算判断；对于D，求出正四面体外接球体积判断作答. 【详解】平行六面体中，各棱长均为2，设， 对于A，时，该平行六面体为正方体，其体对角线长，A正确； 对于B，，，因此， ，B正确； 对于C，连接，如图，依题意，为正三棱锥，取中点E， 令为正的中心，连，有平面， 正三棱锥的斜高，，则， 显然，，即，则，锐角，从而得，C正确； 对于D，当时，三棱锥为正四面体，三棱锥也是正四面体，它们全等， 由C选项知，，正四面体的外接球球心在线段AO上，设球半径为， 则有，整理得，解得， 于是得三棱锥外接球的体积，D不正确. 故选：ABC 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求二面角余弦值. 【详解】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：D 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A．1 B．3 C．7 D． 【答案】B 【分析】点到平面的距离即为y轴坐标的绝对值. 【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离. 故选：B 3．（24-25高二上·江西赣州·期末）在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间两点间距离公式计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为. 故选：C. 4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 5．（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 6．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 7．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A．为单位向量 B．若，则 C．若，，共面，则它们所在的直线共面 D．已知，，则在上的投影向量为 【答案】D 【分析】A选项中注意单位向量的定义；B选项注意零向量的特殊情况，与直线平行的传递性区分开来；C选项注意向量可以平移的特点；D选项根据投影向量的计算公式，可得D正确. 【详解】对于选项A：，因此不是单位向量，因此A错误； 对于选项B：若为零向量，则与不一定共线，因此B错误； 对于选项C：例如在正方体中，因为，所以向量，，共面，但它们所在的三条直线，，显然不在同一平面内，因此C错误； 对于选项D：在上的投影向量为，因此D正确. 故选：D 8．（10-11高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 9．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先分别求和的坐标，再代入向量平行公式，即可求解； （2）分别求和的坐标，再代入向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】（1），， 若，则， 即，，，解得. （2），， 若，则， 即，化简可得， 解得或. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 5．（24-25高二上·山东菏泽·期末）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，连接，则，得， 取基底，由进行求解． 【详解】如图所示： 取的中点M，连接， 则， 得为二面角的平面角，即， 取基底， 则， 因为， 所以 ． 故选：A. 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 7．（24-25高二下·福建泉州·期末）（多选）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 【答案】AC 【分析】根据数量积为零判断向量垂直，判断选项A；根据向量除以模长求单位向量，判断选项B；根据投影向量公式：判断选项C；根据向量夹角公式，计算点A到直线BC的距离，判断选项D. 【详解】，， ，故，故A正确； ， ， 所求单位向量为：或，故B错误； ，， ，， ，故C正确； 由，可得， 所以点A到的距离为，故D错. 故选：AC. 8．（24-25高二下·四川眉山·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可. （2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则的值为_________________. 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据已知条件应用两点间距离公式求出的值. 【详解】函数的最小正周期为， 在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，， ， 因为，解得. 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海松江·期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】设BC的中点为O. 因为动点满足，所以, 即点P落在以O为球心，以为半径的球上. 因为, 所以. 因为正四面体的棱长为， 所以， 在三角形中，,. 取AD的中点为E,OE⊥AD， 所以在上的投影向量的模为， 所以. 设， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 3．（21-22高三上·广东·阶段练习）已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】设内切球球心为，连接并延长交底面BCD于E，连接并延长交于，则为中点，由正四面体内切球的性质求、，进而求四面体体积，由等体积法求内切球的半径，进而可得、，再根据向量，，应用数量积的运算律可得，讨论的位置求的取值范围即可. 【详解】设内切球球心为，连接并延长交底面BCD于E， ∴是正△的中心，且面， 连接并延长交于，则为中点，且， ∴，则， 又面，则有，故， ∴，故四面体体积， 若球的半径为，则， ∴，故， ∵，， ∴， 在正四面体中，当与重合时最大，此时； 当与重合时最小，此时； ∴的范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，在平行六面体中，，，为的中点. (1)若平面，求的值； (2)当时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题意可得，结合空间向量的数量积可求得； （2）当时，可得，，可证平面，连接交于，过作于，连接，可得是平面和平面的夹角的平面角，求解即可. 【详解】（1）若平面，又平面，所以，所以， 所以，又，， 所以 ，所以， 所以，所以； （2）当时，由（1）可得，同理可得， 所以，，所以， 又，平面，所以平面， 连接交于，过作于，连接 因为四边形是平行四边形， 则是的中点，所以，所以平面， 又平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以是平面和平面的夹角的平面角， 因为，所以是等边三角形，所以， 所以的高为，所以， 又 ， 所以，在中，， 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 空间向量及其运算（期中复习讲义） 空间向量及其运算在期中考试里，核心考点：空间直角坐标系，空间向量的基底，线性运算，数量积，异面直线的夹角及其应用。 核心考点 复习目标 考情规律 空间直角坐标系 空间直角坐标系 常在立体几何解答题中考查建系求坐标 空间向量的基底及线性运算 基底和表示 常在小题中考查空间向量的表示. 空间向量的关系及数量积 空间向量的数量积，关系 常在小题中考查空间向量的平行和垂直关系，数量积的应用 异面直线的夹角 异面直线的夹角 常在小题中考查空间向量的夹角 知识点01 空间直角坐标系 1、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 3、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 4、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. ·易错点：坐标上对称和坐标的书写上存在不足 知识点02 空间向量及其基底 1、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． ·易错点：基底的确定上，需要满足不共面 知识点03 空间向量的数量积和应用 1、空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2、空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． ·易错点：异面直线夹角上，只能是锐角. 题型一 空间坐标及表示 解｜题｜技｜巧 利用右手法则，进行空间直角坐标系建系，利用坐标系进行点的表示及其对应的坐标运算，对称方面，点关于点对称时，利用中点坐标进行表示，点关于平面对称时，即关于谁对称谁不变，其余变成相反数. 易｜错｜点｜拨 注意对称和投影到平面里面上，坐标的变化上出现错误 【典例1】24-25高二上·福建·期末）（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【变式1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）空间一点P在xOy平面上的射影为，在xOz平面上的射影为，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型二 空间距离 答｜题｜模｜板 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 易｜错｜点｜拨 在已知距离求参上，容易忽略负值的情况. 【典例1】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知空间两点，之间的距离为，则z=（ ） A．2 B．0或2 C．0 D．2或1 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（ ） A． B． C．7 D． 题型三 空间向量的基底 答｜题｜模｜板 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 易｜错｜点｜拨 空间向量的基底：满足不共面. 【典例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（ ） A． B． C． D． 题型四 空间向量的线性运算 答｜题｜模｜板 利用空间向量的一组基底，进行空间向量的线性运算表示，将向量围绕这向量的基底进行换算，从而表示出对应的空间向量的基底 易｜错｜点｜拨 空间向量的基底运算时，容易地围绕不同的点进行表示. 【典例1】（24-25高二上·陕西渭南·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A． B． C． D． 题型五 空间向量的数量积 答｜题｜模｜板 1、已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 易｜错｜点｜拨 容易错误表示角度及其大小 【典例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【变式1】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（ ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ） A． B． C． D． 题型六 空间向量的向量关系 答｜题｜模｜板 1、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 易｜错｜点｜拨 空间向量的平行和垂直的表示时，向量的坐标为时比值表示上错在错误. 【典例1】（22-23高二上·浙江温州·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【变式1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【变式2】（23-24高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 题型七 空间向量中异面直线夹角 答｜题｜模｜板 表示对应的两条直线的方向向量，利用向量进行夹角的表示，并求解异面直线的夹角. 易｜错｜点｜拨 表示的异面直线夹角的余弦值为负值，即对应的夹角的范围. 【典例1】（24-25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【变式1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【变式2】（22-23高二下·河南驻马店·期末）如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（ ） A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 题型五 空间向量的综合应用 答｜题｜模｜板 利用空间向量的基底，进行对应的向量表示，从而表达出对应的空间向量及其应用. 易｜错｜点｜拨 向量的表示和二面角的关系运算.二面角转化为平面向量的角度使用时，即表示成对应的补角. 【典例1】（21-22高三上·湖南长沙·阶段练习）（多选）平行六面体中，各棱长均为2，设，则下列结论中正确的有（ ） A．当时， B．和BD总垂直 C．θ的取值范围为 D．θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是_______________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A．1 B．3 C．7 D． 3．（24-25高二上·江西赣州·期末）在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（ ） A． B．1 C． D． 7．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A．为单位向量 B．若，则 C．若，，共面，则它们所在的直线共面 D．已知，，则在上的投影向量为 8．（10-11高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A．2 B． C．或 D．2或 9．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东菏泽·期末）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（24-25高二下·福建泉州·期末）（多选）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 8．（24-25高二下·四川眉山·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则的值为_________________. 2．（23-24高三上·上海松江·期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是_____________． 3．（21-22高三上·广东·阶段练习）已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是_____________. 4．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，在平行六面体中，，，为的中点. (1)若平面，求的值； (2)当时，求平面和平面的夹角的余弦值. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $