第二十六章 反比例函数（复习课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件系统梳理了反比例函数的定义、表达式、图像性质、k的几何意义及实际应用，通过思维导图和考点串讲将知识点串联，构建从概念到应用的完整知识网络，体现各内容间的逻辑联系。 其亮点在于设计分层针对训练，从基础概念辨析到综合几何应用，如结合密度计、弹簧问题等实际情境培养模型意识，通过图像与性质的推理训练发展抽象能力和推理意识，帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

小结复习 第26章 反比例函数 人教版九年级下册 学习目标 1.掌握反比例函数的定义，明确它与正比例函数的区别；会用描点法绘制反比例函数的双曲线图像，观察其对称性、两支分别位于不同象限的特点；将生活中的反比关系转化为数学表达式，结合几何图形解决简单实际问题； 2.通过回顾和总结，培养学生归纳总结的能力，构建完整的知识体系。经历对典型例题的分析和解答，提升学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力； 3.通过对比两类函数的解析式、图像形状、变化趋势等，深化对函数分类的认识。初步感知不同类型函数在描述现实世界时的适用场景差异. PART 02 1 思维导图 2 考点串讲 3 考点解析 5 布置作业 4 针对训练 目录 思维导图 定义 图像 最短路径问题 ，,() 一般地，形如(k为常数且)的函数称为反比例函数，叫比例系数. 反比例函数 实际应用 表达式 对称性 增减性 ，在每一象限内y随x的增大而减小 ，在每一象限内y随x的增大而增大 轴对称、中心对称 性质 画法：列表、描点、连线 形状：双曲线 位置：，一、三象限；，二、四象限 K的几何意义 面积不变性 考点串讲 反比例函数的定义：一般地，形如(k为常数且)的函数 称为反比例函数. 其中是自变量，是函数，叫比例系数. 反比例函数的三种表达方式：(注意) 一般 负指数形式 乘积形式 考点串讲 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是： （1）设，即设所求的反比例函数解析式为（）． （2）代，即将已知条件中对应的值代入中得到关 于的方程． （3）解，即解方程，求出的值． （4）定，即将值代入中，确定函数解析式． 画函数图象的一般步骤：1、列 表；2、描 点；3、连 线. 考点串讲 图像 位置 性质 其它 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 既是轴对称图形，有2条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是原点；无限趋近于坐标轴且与坐标轴永不相;交越大，图象离坐标轴越远. 考点解析 考点一、反比例函数的概念 例1.下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2.(1)若反比例函数的图像经过点，则k的值为 ． (2)若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______ C 考点解析 考点一、反比例函数的概念 例3.(1)若函数是反比例函数，求m的值 (2)若是反比例函数，求a的取值 方法指导:反比例函数的三种解析式解决此种题先确定解析式是哪种形式，特别注意. 解(1)由题意可得：解得： (2)由题意可得：解得： 1.下列函数中，是的反比例函数的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 2.反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 针对训练 B D 针对训练 3.已知点在反比例函数上，则化简的结果是________ 4.已知反比例函数的图象经过点和，则 ． 6.已知与成反比例关系，并且当时，，则时，的值为 _______ ． 5.已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为 ____ ． 7.已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时，求的值． 解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴，解得，，∴， 当时， 针对训练 8.已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 解（1）：∵是正比例函数， ∴且，解得：； 解（2）：∵是反比例函数， ∴且，解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，，解得：． 针对训练 9.已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，求的值 解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得：，则， ， 因此，． 针对训练 考点解析 考点二、反比例函数图像与性质 例1．函数的图象大致是（ ） A B C D A 考点解析 考点二、反比例函数图像与性质 例2.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数图象分别位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 C 考点解析 考点二、反比例函数图像与性质 例3.(1)反比例函数的图像在二、四象限内，则k的取值范围是_____________ (2)反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 _____ ． (3)已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为_____ 例4.反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ______________ ．（用“<”连接） 考点二、反比例函数图像与性质 考点解析 方法点拨：的绝对值越大，离坐标轴越远. 针对训练 1.如果双曲线经过点,那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． A 2.反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． A 3.已知反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 ______ ． 4.已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是 _______ ． 5.若反比例函数的图象位于第一第象限，则的取值范围是_______________ 6.函数的图象，当时，x的取值范围是_____________ 针对训练 或 针对训练 7.反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ____________ ． 8.已知点，，是函数，则，，的大小关系是_______________ 9.若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 _________ 象限． 一、三 考点解析 考点三、k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。 考点解析 考点三、k的几何意义 例1.在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 例2.如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为________ 3 4 1.如图，是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点为轴上的一点，连接，，则的面积是 ． 2.如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 ． 针对训练 (同底等高) 3.如图，为等边三角形，其面积为点B在x轴正半轴上．若反比例函数的图象的一支经过点A，则的值为_____ 4.如图，双曲线经过的对角线交点，已知边在轴上，且于点，的面积是3,则______ 针对训练 5.如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，求的面积 解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， . 针对训练 考点解析 考点三、k的几何意义 考点解析 考点三、k的几何意义 考点解析 考点三、k的几何意义 例3.如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为_______ 例4.如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为_______ 9 考点三、k的几何意义 考点解析 4 6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为 ． 7.如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为_______ 3 针对训练 2 8.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 4 针对训练 9.如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，点与点关于原点对称，连接、、，则的面积为 ． 10.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连接，取的中点D，连接，若的面积为，则k的值为________． 6 针对训练 11.如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 _______ 12.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是16,则k的值为_____ 3 针对训练 13.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，求四边形的面积 解：将点代入，得，∴， ∵C为的中点，∴点C的坐标为， 将点代入，得，解得，∴， ∵，∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 针对训练 考点解析 考点三、k的几何意义 例6.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 1 考点解析 考点三、k的几何意义 14.如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为 ． 15. 如图，函数与函数的图象相交于 两点， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则四边形ACBD 的面积为_______ 10 针对训练 y x O C A B D 例1.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， C 考点解析 考点四、反比例函数的实际应用 考点解析 考点四、反比例函数的实际应用 例2.如图，在中，，， 垂直平分分别交，于点，，连接，点 在直线上方运动．设，，则与 之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A B C D B 考点解析 考点四、反比例函数的实际应用 例3.(1)如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为__________________ (2)如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤 处距离中点时，弹簧秤的读数应为________ 例4.琪琪新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图像如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； 解(1)：设I关于R的函数表达式为， 由图象可知：当时，， ，； 考点解析 考点四、反比例函数的实际应用 (2)当时，求R的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请直接写出该台灯的电阻R的取值范围． 解(2)：当时，， 解得：； (3)当，， 当，， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 考点解析 考点四、反比例函数的实际应用 1.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度 为，则机器狗的质量为 C．机器狗的质量越大，其移动速度越快 D．要使机器狗的最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于 针对训练 C 2.如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变盘与点之间的距离，记录相应的盘中的砝码质量，得到如下表格， 当砝码的质量为时，则盘与点之间的距离为 ． 盘与点的距离 10 15 20 25 30 盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 12.5 针对训练 3.某工人需要用撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．当动力臂为，撬动大石头至少需要动力．若要使动力不超过的一半，则关于动力臂至少要加长 ． 4.已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为 ． 针对训练 5.根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l（单位：cm）是液体密度（单位：）的反比例函数．当时，．若某液体的密度，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l为________． 针对训练 6.一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． 近视眼镜的度数(度) 200 500 800 1000 镜片焦距(米) 0.50 0.20 0.125 0.10 解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等，则猜想函数模型 是反比例函数．设关于的函数表达式为， 将点代入得：， 所以关于的函数表达式为． 针对训练 (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 解：当时，， 当时，， 因为（度）， 所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度． 针对训练 7.如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； 解：米，米，点的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为 为常数， 且，将坐标代入 ， 得，解得， 段滑梯所在的双曲线的解析式为 ． 针对训练 (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； 解(2)：设点的坐标为， 将代入 ， 得， 解得， 米， ，之间的水平距离为米． 针对训练 (3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？ 解(3):设点的坐标为，将代入 ， 得 ，， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离至少米． 针对训练 8.实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式； 解(1)：设线段的函数表达式为，依题意， 线段过点，把代入， 解得，，∴； 当时，，即； 设双曲线的函数表达式为， 将点代入得：，∴； 针对训练 (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上点在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上点能否驾车去上班？请说明理由． 针对训练 解(2)：第二天早上能驾车去上班，理由如下： 由得：当时，， 从时到第二天早上点时间间距为小时， ∵， ∴ 第二天早上能驾车去上班． 例1.一次函数与反比例函数在同一坐标系的图象可能是（    ） A B C D B 考点解析 考点五、反比例函数与一次函数 归纳小结：指定其中一个函数图像正确，得到参数的取值范围，从而来判断另一函数图像是否正确. 例2.已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 考点解析 考点五、反比例函数与一次函数 归纳小结： 若正比例函数的解析式为,反比例函数的解析式为 当,正比例函数图像与反比例函数图像有两个交点，这两点关于原点对称； 当,正比例函数图像与反比例函数图像无交点. 考点解析 考点五、反比例函数与一次函数 例3.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； 解(1)：∵，， ∴， ， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴正比例函数的解析式为； 考点解析 考点五、反比例函数与一次函数 例3.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且． (2)结合图象，指出当时的取值范围． 解(2)：∵， 且两个函数的图象均关于原点对称， ∴， 由图象可知当时x的取值范围是或． 1.已知，则函数和的图象大致是(    ) A B C D C 针对训练 2.正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． A 3. 直线与函数的图象有且只有一个公共点，则的值为________ 4.如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 针对训练 5.如图，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)试确定反比例函数和一次函数的解析式； 解：(1)一次函数与反比例函数 的图象交于，， , ，反比例函数解析式为 当时，．点的坐标为 将，代入得 ， 一次函数解析式为 针对训练 (2)直接写出的面积为； 针对训练 解（2）如图，连接，，设一次函数与x轴 交点为C， 当时，代入一次函数得，， ， ，， ，点A到x轴距离为1， 点B到x轴距离为3， ； (3)直接写出当时的取值范围； 针对训练 解：（3）由函数图象可知，，， 不等式的解集为一次函数 在反比例函数图象上方自变量的取值； 不等式的解集为； (4)请仅用无刻度的直尺在轴上找一点P，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 针对训练 解（4）如图所示：点P即为所求； 作B关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求 的坐标为 6.如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； 解（1）：把代入，得， ∴， 把代入，得，∴， ∴反比例函数的解析式为． 针对训练 (2)直接写出不等式的解集；（直接写出结果，无需解答过程） 解（2）：由反比例函数的对称性可知， 不等式的解集为或， 故答案为：或； 针对训练 (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 解（3） ：∵，轴于D， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得，解得， 直线的解析式为，令得， 设交x轴于F，过点A作轴于E，如图， ， ∴， 针对训练 (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 针对训练 7.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； 针对训练 解（1）：将代入反比例函数解析式， 则； （2）根据反比例函数的对称性可知，的坐标为； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 针对训练 解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得，解得：， 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得 到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入，解得：， ∴直线解析式为， 令，则，∴，∴， ∴． 布置作业 P21.练习1、2、3、4、5、6、7 一套在手，备课无忧！ 人教版 九年级下册 谢谢观看 $