精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

内江一中高2026届高三上学期第一次月考试题 数学 1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上． 3．考试结束后，监考人将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为，则， 故选：B. 4. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据散点图确定函数图象的趋势，再结合5个函数图象，进行判断选择. 【详解】从散点图知，样本点分布在抛物线上或对数型曲线上，结合所给5个的曲线类型，所以或较适宜. 故选：B 5. 若命题“，”是真命题，则可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出，即可求解. 【详解】由命题“，”是真命题，所以， 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确. 故选：D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由得，解出，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意有， 所以， 故选：B. 7. 已知α∈（0，），，则tan2α=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边同时平方，整理化简并求出，再利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知函数的导函数，， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，写出原函数，讨论其奇偶性、单调性，再结合、、的范围即可比较大小 【详解】，则，为偶函数，且在单调递增， ，，即，， 所以，∴， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 成等差数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定数表，利用分布列的性质及等比数列、等差数列意义求解判断ABC；求出期望判断D. 【详解】对于A，由，得，则成等差数列，A正确； 对于B，由成等比数列，得，而，解得，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点. 【详解】选项A，的最小正周期为，所以A正确； 选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确； 选项D，，，所以D不正确. 故选：ABC. 11. 函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先得到，再假设为正整数，利用累乘法求出的解析式，再验证不为正整数时，也符合题意.利用的解析式容易判断ABC，根据错位相减法求和可判断D. 【详解】令，得，代入，得， 令，可得，故A正确； 当为正整数时，， 所以， 所以，代入，得， 所以，又当时，也符合题意， 所以. ，故B正确； 所以， 令， 则， 所以， 所以，所以，故D正确. 因为当不为正整数时，也满足， 所以可取 此时，，即不成立，故C不正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛： 假设为正整数，利用累乘法求出，再验证不为正整数时，也满足题意是解题关键. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出f（x）在的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程. 【详解】， 则曲线在处的切线斜率， ∴切线方程为，即． 故答案为：． 13. 幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________． 【答案】或(答案不唯一) 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果. 【详解】幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一)． 14. 已知，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】，分别求与的最大值得的最大值. 【详解】将视为的函数，故，其中，， 所以当时的最大值为1， 设，当时，取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值. 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求的单调区间和极值； （2）当x∈时，求的最值． 【答案】（1） 的单调递增区间为，，单调递减区间为； 函数有极大值为，有极小值为. （2）的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【小问1详解】 由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. 综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 函数有极大值为，有极小值为. 【小问2详解】 由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 16. 已知， （1）求的值； （2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由和差化积，诱导公式，辅助角公式结合题意可得答案； （2）由（1）结合，可得，由的面积为，可得，然后由，结合余弦定理可得答案. 【小问1详解】 由和差化积，诱导公式，辅助角公式可得： . 则； 【小问2详解】 由（1），， 又的面积为，则， 结合及余弦定理，， 则. 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） 由得，，， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2） 由（1）知，，所以， 所以， ． 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证； （2）由裂项相消法求和，可求解得，根据单调性，即可求证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． （1）甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． （2）整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ）的分布列为 1 2 3 4 （2）6 【解析】 【分析】（1）（i）根据甲第一次摸到黄乒乓球，接下来乙在第1次恰好摸到白乒乓球求概率即可；（ii）根据分布列的步骤求解即可； （2）先将黄球分组，再利用插空法即可得出事件总数，进而求出概率即可得解. 【小问1详解】 （i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为. （ii）根据游戏规则，的取值可能为1，2，3，4， ； ； ； ； 所以的分布列为 1 2 3 4 【小问2详解】整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上. 所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法； “黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种； “黄黄黄黄黄黄”有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况， 所以，即有， 解得或（舍去），所以x的最小值为6. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点的个数； （3）对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，求导，令，求可得单调区间； （2）参变分离，研究，的单调性，分类讨论进而可求解； （3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，.. 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 定义域为，由分离参数，得. 令， 函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数. 求导得，，令，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，. 又因为，所以，当时，；当时，， 又时，. 当时，与直线无交点，即函数无零点； 当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点； 当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点. 综上所述：当时，函数无零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. 【小问3详解】 设，则在上为增函数， 而，，故在有唯一解. 而由题设可得任意的恒成立. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以当时，有， 当且仅当，也就是当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2026届高三上学期第一次月考试题 数学 1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上． 3．考试结束后，监考人将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③⑤ 5. 若命题“，”是真命题，则可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 3 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知α∈（0，），，则tan2α=（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数，， ， ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 成等差数列 B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 11. 函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________． 14. 已知，若，则的最大值为______． 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求的单调区间和极值； （2）当x∈时，求的最值． 16. 已知， （1）求的值； （2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，数列的前n项和，证明：． 18. 已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． （1）甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． （2）整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点的个数； （3）对于任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $