精品解析：浙江省宁波市鄞州区十三校 2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题

2025学年第一学期十三校联考数学学科初三测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点在（ ） A. 轴上 B. 轴上 C. 原点 D. 第二象限 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 3、4、6、9 D. 2、3、4、6 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，中，点D，E分别是边的靠近A的三等分点，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 12 C. 9 D. 8 6. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 7. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 与的值有关 8. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__． 12. 若（），则的值为______． 13. 如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为_______． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）． 15. 如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为______．若，则的值为______． 三、解答题 17. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 18. 已知二次函数，当时，；当时，． （1）求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； （2）此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 19. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 20. 如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、． （1）当时，求的值； （2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图，在道闸打开的过程中，边固定，直线，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行，为上的一点（不与点，重合），过点作直线，，垂足分别为，，即四边形是矩形，过点作，垂足为，延长与相交于点． （1）证明． （2）若道闸长米，宽米，点距地面米，米，米，米，求的长． 23. 已知二次函数（是常数）． （1）求二次函数图象经过的定点的坐标； （2）已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 24. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ； （2）求的值； （3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期十三校联考数学学科初三测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点在（ ） A. 轴上 B. 轴上 C. 原点 D. 第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据，得到顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：∵的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在轴上； 故选B． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 3、4、6、9 D. 2、3、4、6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 4. 用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 5. 如图，中，点D，E分别是边的靠近A的三等分点，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 12 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 根据点D，E分别是边的靠近A的三等分点证明即可得解． 【详解】解：∵点D，E分别是边的靠近A的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 6. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 7. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 与的值有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可求出对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：由题意得，函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数（为常数）的图象经过点，，且， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 9. 如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点E作于点G，过点C作于点H，先证明，得到，，然后在中利用勾股定理求出长，计算得到长，然后利用求出，长，解题即可． 【详解】解：过点E作于点G，过点C作于点H， ∵是矩形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 二、填空题 11. 从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数． 【详解】解：，是无理数， （恰好是无理数）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键． 12. 若（），则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质直接得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴的值为， 故答案为：． 13. 如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：连接，作垂直于于H． ∵，，是直径，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ， 在中根据勾股定理得到， 即的最小值为． 故答案为：． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：为线段的黄金分割点，，且， ． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先证，再由比例计算可推出结论，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为______．若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形及全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理、三角函数解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，然后利用余弦函数求解即可；过点G作于点H，根据相似三角形的判定和性质得出，，设，设，则，利用勾股定理及相似三角形的性质代入求解确定，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形， ∴， ∵BE平分交于E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 过点G作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、解答题 17. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 18. 已知二次函数，当时，；当时，． （1）求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； （2）此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线和x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，把时，；当时，代入，求得a、c的值即可求得； （2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程求得C点的坐标即可． 【小问1详解】 解：把时，；当时，代入， 得，解得， ∴二次函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， ∵在的左边， ∴，， 令，则， ∴． 19. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】（1）作图见解答过程 （2） （3）作图见解答过程 【解析】 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：与的位似比等于； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、． （1）当时，求的值； （2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形相似的判定与性质是解题的关键； （1）由平行条件可得，由面积的比等于相似比的平方可求得相似比，从而求得结果； （2）由平行得，得；再由得，从而得，则，故有，从而得；再由已知即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用相关性质和定理进行推理与计算． （1）通过等腰三角形的性质得到角相等，进而推出同位角相等，证明两直线平行，再结合直径所对圆周角为直角得出垂直关系； （2）利用垂径定理得到，设的半径为r，则，再根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 证明：∵， ； 【小问2详解】 解：为的直径， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，∵， ∴， 解得，即的半径为5． 22. 如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图，在道闸打开的过程中，边固定，直线，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行，为上的一点（不与点，重合），过点作直线，，垂足分别为，，即四边形是矩形，过点作，垂足为，延长与相交于点． （1）证明． （2）若道闸长米，宽米，点距地面米，米，米，米，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定定理． （1）通过证明两角对应相等来判定三角形相似； （2）先根据已知条件求出相关线段长度，再利用相似三角形的性质求出其他线段长度，最后通过线段关系求出的长． 【小问1详解】 证明：，理由如下： ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，延长交直线于点，可知米， 设米， 米，米， 米， ， ， 米， ， 解得：， 米， 故的长为米． 23. 已知二次函数（是常数）． （1）求二次函数图象经过的定点的坐标； （2）已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 【答案】（1） （2）①； ②证明：函数图象顶点为， 若，当时，取最大值为1，时，取最小值为， ∴． 若时，取最大值为时，取最小值为1， ∴， ∴函数最大值与最小值的差为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，包括定点坐标、对称轴、顶点坐标以及函数最值问题．解题的关键在于熟练运用二次函数的基本公式（如对称轴公式、顶点坐标公式 ），通过分析函数的特征（如开口方向 ）以及给定的条件（如函数过定点、与直线的交点情况、自变量取值范围 ）来求解问题，对于分类讨论的情况要全面且准确分析． （1）求函数图象经过的定点坐标．对于二次函数，令含变量的项系数为，即令，此时，无论、取何值，函数都过定点 ． （2）①已知函数过和，这两点纵坐标相同，所以对称轴为 ．又因为函数图象与直线只有一个公共点，所以顶点坐标为 ．根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式（这里 ）列出方程组，求解得到 ． ②先得出函数图象顶点为 ．然后分和两种情况讨论．当时，二次函数开口向上，在（ ）这个区间内，离对称轴更远，所以时取最大值，时取最小值，二者差值为 ；当时，二次函数开口向下，时取最大值，时取最小值，二者差值为 ． 【小问1详解】 解：令，则， ∴函数图象过定点； 【小问2详解】 解：①∵函数图象过，又函数图象过，且图象与直线只有一个公共点， ∴函数图象对称轴为直线，即顶点坐标为， ∴ ∴ ②略 24. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ； （2）求的值； （3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长． 【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1 【解析】 【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°； （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题； （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题； 【详解】解：（1）如图1中， 在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°， 故答案为：∠BAD+∠ACB=180°． （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E． ∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE， ∵OB=OD，∴△OAB≌△OED， ∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y， ∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC， ∴，∴ ， ∴4y2+2xy﹣x2=0，∴， ∴（负根已经舍弃），∴ ． （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E． 由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴， ∴，即 ∴PC=1． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $