精品解析：江苏省镇江市丹徒区宜城中学集团五校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学阶段性学习评价 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，在半径为的中，弦的长为4，则圆心到的距离为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 10 8. 如图，为的直径，弦交于点E，点C为中点，若的度数为，点O到的距离为2，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 9. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为________． 12. 如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是____． 13. 若，是方程的两个实数根，则______． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程____． 15. 代数式的最大值是_____． 16. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 19. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）圆心的坐标为______； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 21. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 22. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 23. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． （1）如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； （2）求直线上的“倒数点”坐标； （3）如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性学习评价 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误； B、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误； C、2x-x2=3，是一元二次方程，故此选项正确； D、x+=4，是分式方程，故此选项错误； 故选C． 2. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 4. 如图，在半径为的中，弦的长为4，则圆心到的距离为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆中求线段长的方法是解题的关键． 先由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵弦的长为4， ∴由垂径定理可知， 在中，， ∴由勾股定理可得． 故选：C． 5. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的性质，由题意得出方程可以化为，即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和， ∴方程可以化为， ∴， 故选：C． 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 7. 若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，， ∴， ， 而， ， ，经检验符合题意； 故选：A． 8. 如图，为的直径，弦交于点E，点C为中点，若的度数为，点O到的距离为2，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质．连接，，作于点，先求得，利用垂径定理求得，证明，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，作于点，则， ∵点C为中点，的度数为， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 9. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 10. 如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵P是直径上的动点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值， ∵， ∴最小值8，此时在E点，F在C点， 当在B点，F在C点时取最大值， ∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合， ∴． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11. 若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 13. 若，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的定义，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系及一元二次方程根的定义可得，，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 先求出矩形的长为步，再列方程，即可解答． 【详解】解：设宽为x步，则矩形的长为步，由题意列方程得 ． 故答案为：． 15. 代数式的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键． 首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即代数式的最大值是． 故答案为：． 16. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可； （3）根据因式分解法解一元二次方程即可； （4）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ∴． 【小问3详解】 ， ， ， ∴ 【小问4详解】 ， ， ∴， 18. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 【答案】（1）证明：∵△=[-（m+1）]2-4×2（m-1）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）4和2 【解析】 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m-3)2⩾0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根； (2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1） 略 （2）若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16-4（m+1）+2（m-1）=0， 解得：m=5， ∴原方程为x2-6x+8=0， 解得：x1=2，x2=4． 组成三角形的三边长度为2、4、4； 若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴△=0，即m=3， 此时方程为x2-4x+4=0， 解得：x1=x2=2， 由于2+2=4，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为4和2． 【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ⩾0时，方程有实数根”；(2) 分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解． 19. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）圆心的坐标为______； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 点在内，理由如下： ， 而， 点在内． 【解析】 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【小问1详解】 解：圆心D如图所示； 圆心D坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由勾股定理得，的半径为． 【小问3详解】 略 21. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1） 解：如图1所示： （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心； （2）在中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径的长． 【小问1详解】 解：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆； 【小问2详解】 连接，如图2所示： 设， ∵，， ∴， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 答：圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键． 22. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】（1）的长为米． （2） 解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． 【小问2详解】 略 23. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为 （2）这种玩具应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． 【小问2详解】 解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． （1）如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； （2）求直线上的“倒数点”坐标； （3）如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解一元二次方程，理解“倒数点”在图象上，是解题的关键； （1）依题设点，代入，得，根据，即可求解； （2）联立，解方程，即可求解； （3）根据为锐角得出在第一象限，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题设点，代入，得，即， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； 【小问2详解】 解：依题可知，“倒数点”的坐标满足反比例函数， 联立 ， 解得：或， ∴直线上的“倒数点”坐标为或； 【小问3详解】 解：依题意，直线上有两个“倒数点”， 为锐角， ∴在第一象限， 此时， 当直线和有两个交点时， 联立得，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $