第26章 反比例函数小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

本章小结 大单元思维导图 概念 一般地，形如=上（为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数 形状卡双曲线 双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 特征既是中心对称图形，又是柚对称图形 图象 画法描点法 比例函数 当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一、第三象限 位置当k0时，双曲线的两个分支分别在第二、第四象限 解析式求法飞待定系数法 当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小 性质当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大 应用。建立反比例函数模型，运用反比例函数的图象和性质解答 大单元考点训练 考点①确定反比例函数的解析式 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在 1.(2025合肥-模)已知双曲线y-冬经过点 第一象限内，BC∥x轴，A,B两点的纵坐标 x (一3,5)，下列各点在双曲线y=+3上的 分别为4,2.反比例函数y=上（：>0)的图 象经过A,B两点.若菱形ABCD的面积为 是 25,则该反比例函数的解析式为 A.(3,-5) B.(-4,-3) C.(3,4) D.(-3,4) 2.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y= 考点2反比例函数的图象和性质 (x>0)的图象上，AB上y轴于点B,点C 4.已知反比例函数y=3一2m,当工<0时，y 在x轴正半轴上，且OC=2AB,点E在线段 随x的增大而减小，则满足上述条件的正整 AC上，且AE=3EC,D为OB的中点.若 数m有 ) △ADE的面积为3，则k的值为 ( 32 A.0个B.1个 C.2个 D.无数个 A.8 B.6 D. 5.若点A(m-2,y),B(m十1，y2)C(m+2,y3) (一1<m<2)都在反比例函数y=一2的图象 上，则yy2y的大小关系是 ( A.y<y<y3 B.y2<y3<y1 第2题图 第3题图 C.y<y:<y2 D.y3<y<y2 下册第二十六章 6如图，反比例函数y-(:>0)的图象经过 (1)求反比例函数的解析式 (2)求△ABO的面积. A,B两点，过点A作AC⊥y轴于点C,过 点B分别作BD⊥y轴于点D,BE⊥x轴于 点E,连接AD.已知AC=BE=1,S矩形BE =4,则S△AcD= 第6题图 第8题图 考点③反比例函数与一次函数的综合 10.如下图，一次函数y=ax十b的图象与反 7.已知反比例函数y-冬(k≠0)与一次函数y 比例函数y=二的图象交于A(1,6),B(n, x 一1)两点，与x轴交于点C =2一x的图象的一个交点的横坐标为3，则 (1)求a,b,k的值 k的值为 (2)观察图象，直接写出 A.-3 B.-1 关于x的不等式ax十b C.1 D.3 8已知反比例函数y=套（化≠0)在第二象限 <的解集。 内的图象与一次函数y=x十b的图象如图 (3)连接BO并延长交反比例函数y=的 所示，则函数y=x2十bx一k十1的图象可 图象于点P,连接AP,求△PAO的面积. 能为 C D 9.(2025新余一模)如右图，直 线y=-2x十b与x轴交于 点A(2,0),与反比例函数y =(x<0)的图象交于点 B(-1,a). 数学九年级RJ版 考点④反比例函数的应用 14.应用意识在一次矿难事件的调查中发现，矿 11.跨物理学科一杠杆装 井内空气中一氧化碳浓度y(单位：mg/m3)和 置如图所示，杆的一端 时间x(单位：h)的关系如下图所示.最开始井 吊起一桶水，水桶对杆 内空气中一氧化碳浓度为30mg/m3,此后浓 第11题图 的拉力的作用点到支点的距离固定不变 度呈直线增加，经过6h达到最高值发生爆 甲、乙、丙、丁四名同学分别在杆的另一端 炸，之后y与x成反比例关系.请根据题中相 竖直向下施加压力F甲，F乙，F两，F,,将相 关信息回答下列问题： 同质量的水桶吊起同样的高度.若F乙< (1)求爆炸前后y与x的函数关系式，并写 F两<F甲<F,,则这四名同学对杆的压力 出相应的自变量的取值范围， 的作用点到支点的距离最远的是( (2)当空气中一氧化碳浓度上升到 A.甲同学 B.乙同学 60mg/m3时，井下3km深处的矿工接到 C.丙同学 D.丁同学 自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面， 12.（2025重庆南岸区模拟)物理兴趣小组在实 则他们的撤离速度至少为多少？ 验室研究电学时设计了一个电路，其电路 (3)矿工需要在矿井内空气中一氧化碳浓度 图如图①所示.经测试，发现电流I(单位： 下降到30mg/m3及以下时，才能回到矿井 A)随着电阻R(单位：2)的变化而变化，并 开展生产，则矿工至少要在爆炸多少小时后 结合数据描点、连线，画成如图②所示的函 才能下井？ 数图象.若该电路的最小电阻为1Ω，则该 y/(mg/m) 电路能通过的 ( ) 06 x/h 0234 RIO 图① 图2 第12题图 A.最大电流是36AB.最大电流是27A C.最小电流是36AD.最小电流是27A 13.某市举行中学生党史知识竞y1 赛，如图，用四个点分别描述 甲、乙、丙、丁四所学校竞赛 成绩的优秀率（该校优秀人第13题因 数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校 参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两 所学校情况的点恰好在同一个反比例函数 的图象上，则这四所学校在这次党史知识 竞赛中成绩优秀人数最多的是 () A.甲B.乙C.丙 D.丁 下册第二十六章6.A【解析】设密度p与体积V之间的函数关系式为P ∴.BC⊥AE于点E,∴∠AEB=909 -怎将4,2.5)代入p=合，得2.5=年解得k=10. ·菱形ABCD的面积为25， ∴BC·AE=25,∴BC=5 10 p=7 ∴AB=BC=√5， 10 将V=10代入p=文，得p=1, 在R△MEB中，BE=VAB-AE=1.午= ∴该气体的密度p为1kg/m 7.P:<P,<P,【解析】，这块砖的质量不变， 解得=4，“该反比例函数的解析式为y=4(x> .压力F的大小不变 0). P=5且F>0.s>0. 4.B5.B .P随S的增大而减小 6.2 【解析：反比例函数y=兰>0)的图象经过点 :A,B,C三个面的面积之比是1：5：3. B,k>0,SE影0e=4: P,,P:P,的大小关系为P<P,<P k=4. 8.解：1)根据题意可设F=冬(，>0. 4 反比例函数的解析式为y=(x>0), 将P(4.3)代入，得3= :点A在反比例函数的图象上，AC=1, 解得k=12, 当x1时y==4 “F与，之间的函数关系式为F=二(：>0) ·点A的坐标为(1,4)， 点C的坐标为(0,4)， （2)当F=10时，10=1，解得=1.2. ∴.0C=4, ..CD=OC-OD=0C-BE=4-1=3. 故当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离为 1 3 1.2m, 六S60m=2X1X3=2 9.解：(1)把(0,240)，(120,0)分别代入R,=km+b中， 7.A 得=240， 。解得 k=-2, 1120k+b=0 8.D【解析】：反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过第 b=240. U。8-U=1 (2)R。=K 二、四象限， .k<0. R= -30. 当x=0时y=b>1, ∴.函数y=x+bx一十1的图象的对称轴直线x= (3)由(1)可知，6=240 k=一2， 一合在y轴左侧。 .R1=-2m+240. :反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标 又：R,=240 30. 为1，把y=1代人y=会得=：把=y=1代 长30=-2m+240.∴m=1个 120 入y=x十b,得k+b=1, ∴.-k+1=b>1. 本章小结 当x=0时，y=x+bx一k+1=-k+1>1,即函数 1.D2.C y=x+bx一表+1的图象与y轴的交点的纵坐标大 3.y=4（x>0) 【解析】如图，过点A 于1，.D选项符合题意. 9.解：(1)把A(2,0)代入y=-2x+b,得0=-4+b,解 作x轴的垂线，交CB的延长线于点 得b=4, E.:A,B两点在反比例函数y=云 ∴.直线的函数解析式为y=一2x十4. (x>0)的图象上，且纵坐标分别为4， 把B(-1,a)代入y=-2x+4.得a=-2×(-1)+4 =6, 2∴>0.A(年4)，B(合2）AE=2.BE=空 .B(-1,6). -片 把B(-1,6)代入y=(x<0),得k=-1X6=-6, BC∥x轴，AE⊥x轴. 六反比例函数的解析式为y=一号 数学九年级RJ版 (2)由A(2,0),B(-1,6),得A0=2,1ym|=6. 《3)当y=30时，由题查，得50=30，解得x=15, 根据题意：得Sam=0Aln=×2X6=6 15-6=9(h), 10,解：(1D:反比例西数y=二的图象经过点A1,6, ∴.矿工至少要在爆炸9h后才能下并. 第二十七章相似 .k=1×6=6. 27.1图形的相似 :B(n.-1),6=-n, 第1课时相似图形 ∴.n=-6, .B(-6,-1) 1.D2.D3.C4.D5.③④6.③⑤@ :点A,B在一次函数y=ax十b的图象上， 7.解：（答案不唯一）如图. /加+b=6, 二0+6=-1.解得1 b=5, .a=1,b=5,k=6. (2)由图象可得关于x的不等式ax十<冬的解集为 8.解：图③和图⑤中的两个图形是相似图形，图①、图②、 图④、图©中的两个图形不是相似图形. x<-6或0<x<1. 9.C10.C11.D (3)由(1)可知，一次函数的解析式为y=x十5. 12.C【解析】①有一个角为直角的菱形为正方形；②邻 令y=0,则x+5=0, 边相等的矩形为正方形：③对角线相等且互相垂直的 .x=-5, 四边形不一定为正方形：④四边相等，四角也相等的 .C(-5,0). 四边形为正方形.故①②④中的图形互相相似，应该 SAMn=SAmc+SAmoc 7×5×6+2×5×1= 别除的是③. 13.ad b cf 17.5. 14.解：(1)如图①所示. 由反比例函数图象的特征可知，OP=OB, ∴S△pw=S△0e=17.5. 11.B12.A 13.C【解析】根据题意可知，xy的值即为该校的成绩优 秀人数.，描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一 个反比例函数的图象上∴乙、丁两所学校的y的值 图① 相同，即成绩优秀人数相同.：描述丙学校情况的点 (2)(答案不唯一)如图②所示. 在反比例函数图象上方，描述甲学校情况的点在反比 例函数图象下方∴丙学校的xy的值最大，即成绩优 秀人数最多. 14.解：(1)爆炸前浓度呈直线增加， 图② .可设y与x的函数关系式为y=k1x十b(k,≠0) 15.解：根据叶片①@的最大长度和宽度，可得出这种植 把(0,30)，(6,75)代入， 物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2，由此估算叶 片③的最大长度是6.5×2=13(cm). 得/30=6， 15 解得 k,= 2· 第2课时相似多边形 75=6k,+b, b=30, 1.C2.D3.90004.B y=15 x+30此时自变量x的取值范围是0≤x 5解：1品--分能-兴==片 ≤6. (2)证明：：DE∥BC,∠D=∠B.∠E=∠C :爆炸后y与x成反比例关系， 又：∠nAE-∠aic治-怎- 可设y与x的函数关系式为y=兰，0》 '.△ADE与△ABC相似， 把(6,75)代入，得k:=6×75=450, 6.解：：四边形ABCD与四边形EFGH相似， y=450 ∴∠a=∠C=65°，∠A=∠E=130° ,此时自变量x的取值范围是x>6. x 在四边形ABCD中，∠P=360°-65°-60°-130° 15 =105°. (2)当y=60时，由题意，得乞x+30=60,解得x=4, :四边形ABCD与四边形EFGH相似， ∴.撤离的最长时间为6一4=2(h), ,∴.EH:AD=EF：AB, .撒离速度至少为3÷2=1.5(km/h). .x:20=24:16, 下册参考答案