第2章 二次函数测试卷-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

九年级S版下田《5 10如图，A,B是抛物线y=x'上两点，点P为AB的中点，过点P作x轴的垂 15.已知抛物线y=2x一mr-2m与x轴的两个交点为(x1,0),(x:,0),且x{+ 线，交抛物线于点Q,PQ=3,设A,B两点的横坐标分别为1·x,(x:>x,),则 =5.求m的值. 第二章测试卷 一，的值为 11,已知抛物线C,y=x+mx十m与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， (考试时间：120分钟 满分：120分) 抛物线C:y=x十x十(m≠n)与x轴交于C,D两点（点C在点D的左 侧)，且AB■CD.下列四个结论：①C,与C:的交点坐标为（一1,1）：②m十用 班： 姓名： 得分： =4:③mm>0:①A,D两点关于（一1,0）对称.其中正确的是 一，单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 (填序号). L.将二次雨数y=x一2x一2化成顶点式为 12.如图，抛物线y=一x+2x十4与y轴交于点C,点D的坐标为 A.y=(x-2)-2By=(x-1)F-3C.y=(x-1)F-2D.y=(x-2)F-3 (0,2),M是抛物线上的动点，若△MCD是以CD为底的等腰三 2.若二次函数y=ar十m的图象经过点（一2.0）.则关于x的方程a(x一2)十m 角形，则点M的坐标为 B可Ax 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A,B两点，AB∥CD.请 第12短图 =0的实数根为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分】 仅用无刻度的直尺画出图中抛物线的对称轴（不写画法，保留画图痕迹）。 13(1)已知抛物线y=x3一4x+c经过点(0,9)，且点A(3,y1),B(4y:)均在该 A=0,-4收，=-2-6C-2,-号D1=-4,=0 (1)如图①，点C,D在抛物线上， 抛物线上，请求出(，并比较y1y:的大小， (2)如图②，四边形ABCD为矩形， 3(2025威海)已知点(-2，y),(3,y,).(7,y,)都在二次函数y=一(x-2)+c 的图象上，则yy:y,的大小关系是 A.yi>y:>y B.yi>y>y: C.y:>y>y D.y>y>y 4.二次函数y=kx一x(k<0)的图象大致为 :A (2)将二次函数y=2:‘一4x一1的图象沿着y轴租折，求所得到的图象对应的 两数表达式。 厨① A 17,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y■ax十r十c经过点A(3,0),B(2 5位于中国贵州省内的射电望运镜（下AST)是目前世界上口径最大，精度最高的 -3).C(0,-3). 望远镜.有关资料显示，该望远镜的轴截面量抛物线形，口径AB为500m,最低 (1)求该抛物线的表达式， 点M到口径面AB的距离是100m,如图，建立平面直角坐标系，则望运镜轴藏 (2)D,E是地物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为一2，试求 面所在抛物线的表达式为 () 点E的坐标 人=a-100 .y=-5-10 14二次函数y=ar十x十r(a,b,c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的 1 1 C.y=250-100 D.y=-2500-100 部分对应值如下表： x…-101 2 y 0-2一2 (1)写出日的值，并求该二次函数的表达式. 1 (2)点Q(m,4)能否在该函数图象上？若能，请求出m的值：若不能，请说明 理由 w 四，解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 第5题国 第6题因 第10题图 18小区要用篱芭围成一个四边形花坛，花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的 6.(2025广安)如图，二次函数y=ax十bx十c(a,b.e为常数，a≠0)的图象交x 篱笆之和恰好为18m,围成的花坛是下图所示的四边形ABCD,其中∠B=∠C 轴于A,B两点，点A的坐标是（一1,0），点B的坐标是（对，0）.有下列结论 =0,且BC=2AB.设AB边的长为xm,四边形ABCD的面积为Sm ①abr<0:②4a+c>2弘：③关于x的方程ax°+r+c=0的解是x,=一1，x: (1)求5关于x的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）. 国一会-号其中正确的有 两 A.1个 B2个 C3个 D.4个 花 二，填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 7.(2025宜春上高期未)将抛物线y=3x向左平移2个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到的抛物线的表达式是 8.已知点A(x,为)，B(x)在二次函数y=(x-1+1的图象上.若x>> 1,则y, y(填“>"“<”或“=“). 9.二次函数y=x2十3x十n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则：的值可以 是 (写出一个抑可) 125 126 (2)当x是何值时，四边形ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 五，解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分】 六，解答题（本大题共12分】 2L.已知抛物线y=ax1+r+c(a>0). (1)若抛物线过点（一3，m),(5,m),求抛物线的对称轴. 23.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=+标十（经过点0X0, (2)已知点(0，%)，(，为).（一4，为），(2，n)都在抛物线上，其中一2<x1<一1. 0),对称轴过点B(2,0),直线1过点C(2,一2)，且乘直于y轴.过点B的直线l1交 若存在，使y:>H,试比较y。·y1y的大小关系。 抛物线于点MN,交直线1于点Q,且点M,Q均在抛物线对称轴的左侧. 19。如图①，一名学生掷实心球，已知实心球出手时离地面2m,当实心球行进的水 平距离为4m时，实心球被撺得最高，此时实心球离地面3.6m,设实心球行进 的路线是图②所示的一段抛物线。 图①D 因2 (1)求抛物线的表达式， (2)如图①，当BM:MQ=315时，求点N的坐标. (3)如图②，当点Q恰好在y轴上时，P为直线1，下方的抛物线上一动点，连 ① 图② 接PQ,PO,其中PO交11于点E.设△OQE的面积为S,·△PQE的面积为 (1)求实心球行进的高度y(单位：m)与行进的水平距离x(单位：m)之间的函 数关系式. 3·求之的最大值。 (2)如果实心球从起点到落地点的水平距离超过9.6m时，实心球成绩为优 秀，那么这名学生在这次考试中的成绩是否能达到优秀？请说明理由， 22.我们约定：若关于x的二次函数y1=a,x+b,x+C1与y,=a2x+x+1 同时满足Va:-石+(6：十b,)+l6:-,l=0.(6,-:)m≠0.则称雨数y 与函数y:互为美美与共函数”，根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数y,=22十kx+3与y,=mx+x十n互为类类与共 20.某酒店有A,B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全都人住，一天营业 函数”，求表，群，样的值。 额为7200元+若A,B两种客房均有10间人住.一天营业额为3200元. (2)对于任意非零实数r,,点P(r,f)与点Q(s,)(r中s)始终在关于x的函 (1)分别求出A,B两种客房每间的定价， 数y,=x+2x十s的图象上运动，雨数y:与y1互为“美美与共函数“ (2)酒店对A种客房满研发现，如果客房不湖价，房间可全部住满：如果每个房 ①求函数y:的图象的对称轴： 间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，当A种客房每间的定价为多少 ②雨数y:的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点 元时，A种客房一天的营业额W(单位：元)最大？最大营业额为多少元？ 的坐标：若不经过，请说明理由 127 128故灯塔M到轮船航线AB的距离为北1 x=-1.把x=-1代入y=x2+m.x+m,得y=1. 1o√5 n mile. ∴C,与C:的交点坐标为(-1,1)，故①正确， (3)如图，过点C作CD⊥AB于 :抛物线C,:y=x2十mx+m与抛物线C:y=x 点D. 十x十n的开口方向和大小相同，且AB=CD, CD⊥AB,ME⊥AB,AB.CM都 两抛物线关于直线x=一1对称， 是正北方向， .四边形CDEM是矩形， “C,的对称轴直线x=一-受和G的对称轴直线： ∴.CD=EM=l0√5 n mile.DE=CM, =一2关于直线x=一1对称， ∴.在Rt△BEM中，BE=BM·cos∠EBM=20X cos60=20×2=10(n mile. -2-2=-2 .m十n=4,故②正确： 在Rt△CDB中，∠DBC=45, 由题意可知，m>2,n<2或m<2,n>2. .∴BD=CD=103 n mile, mn>0不一定成立，故③错误： ∴.CM=DE=BD-BE=(10√5-l0)n mile.. 由②，得A,D两点关于（一1,0）对称，故④正确。 故港口C与灯塔M的距离为(10√5-10)n mile. 12.(1+√瓦，3)或(1-√2,3)【解析】：△MCD是以 23.解：(1)60°20√6 CD为底的等腰三角形，∴·点M在线 (2)由题意，得BC=40×0.5=20(n mile). 段CD的垂直平分线上， :CD∥BE,∴.∠DCB+∠CBE=18O. :抛物线y=一x2+2x十4与y轴交 ∠DCB=30°..∠CBE=150° 于点C,.C(0,4).D(0,2) 又：∠ABE=75°，∴∠ABC=75°， .CD的中点E的坐标为(0.3) A ∠B4C=180°-30°-30°-75°=45° 如图，过点E作CD的垂线与抛物线交于点M,M', BC 在△ABC中 AB 点M,M的纵坐标均为3.在y=一x2+2x十4 'sin∠ACB sin∠BAC 中，令y=3,得-x+2x+4=3,解得x1=1+√2， 即、AB 20 sin60 sin45 x:=1-√2，.点M的坐标为(1+√2,3)或(1-√2， 3). .AB=10√6 n mile≈24.5 n mile. 13.解：(1)把(0,9)代人y=x2-4x+c中，得c=9, 故货轮距灯塔A的距离AB约为24.5 n mile. ∴y=x2-4x+9, 第二章测试卷 一4 1.B2.A3.C4.C 六抛物线开口向上，对称轴为直线x=一2X-2。 5.A【解析】由题意，得该抛物线的顶点坐标为(0， 2<3<4,∴y1<y 一100)，则可设该抛物线的表达式为y=a.x一100. (2)易知抛物线y=2x-4x一1的顶点为(1，-3)， 将(250.0)代入y=ax2-100,得2502a-100=0,解 与y轴的交点为(0.一1)， ∴所得到的图象的顶点为（一1，一3），与y轴的交点 得a=62西5该抛物线的表达式为y=25-10。 亦为(0，一1). 6.C【解析】根据图象可得，抛物线的开口向下，交y轴 ∴可设所得到的图象对应的函数表达式为y=a(x 于正半轴， +1)2-3.把(0，-1)代入，得-1=a·(0+1)2-3, .a<0,c>0. 解得a=2. 又：抛物线的对称轴在y轴右侧， ·所得到的图象对应的函数表达式为y=2(x十1) -会>0b>0 -3,即y=2x2+4x-1. 14.解：(1)由题意可知，二次函数y=ax+bx+c的图 ∴ac<0,故结论①正确： 象过点(0，一2)，(1，一2)， 由函数的图象可得，当x=一2时，y<0,即4a一2b+ c<0, 六该二次函数图象的对称轴为直线x=+=1 2=2 即4a+c<2b,故结论②错误： =-2 :二次函数y=ax+bx十c的图象交x轴于A,B两 点，点A(一1,0)，点B(n,0), :(-1,0)关于直线x=的对称点为2.0. ∴关于x的方程ax2+x十c=0的解是x1=一1，x: ,∴.n=0. =1:一名=一放结论@正确， c=-2.∴y=a.x+bx-2.将(-1,0)和(1.-2) 综上，结论正确的有3个. 代人，得二二？=0，解得a1, a+b-2=-2, 1b=-1. 7.y=3(x+2)-18.>9.-2(答案不唯一) 该二次函数的表达式为y=x一x一2. 10.25 (2)点Q能在该函数图象上.把y=4代人y=x一x 11.①②④ 【解析】令x十mx十m=x2十nx十n,解得 -2,得x一x-2=4, 58 数学九年级BS版 解得x,=3,x:=一2，.m的值是3或-2. 15.解：：抛物线y=2x-mx-2m与x轴的两个交点 由题意，得十0网新科化二0 m 故A种客房每间的定价为200元，B种客房每间的 为(x1,0),(x:0)+x:=2x1x=-m 定价为120元. +i=(+,-2,=(受)广-2(-m (2)设A种客房每间的定价为a元 =m+2m 则w=(2-气809)a=-0+4a=-a 220)2+4840. “x计=5心有m2+2m=5,解得m1=2,m:= -<0 一10.故m的值为2或一10. .当a=220时，W取最大值，最大值为4840元， 16.解：(1)如图①，直线EF即为所求. 即当A种客房每间的定价为220元时，A种客房一 (2)如图②，直线PQ即为所求. 天的营业额W最大，最大营业额为4840元 yt 21.解：(1)抛物线过点（一3，m),(5,m), .(一3，m),(5,m)关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是直线工=二3+5=。 2 (2)设抛物线y=ax+bx+c(a>0)的对称轴为直 线x=1. ①当点(2n),(x,y1)均在直线x=t的左侧时，：a >0,抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增 ① 因② 大而减小.又：-4<x1<0,y:>y1>y。 17.解：(1)：抛物线y=ax+bx十c经过点A(3,0), ②当点(2，n)在直线x=1的右侧，点(x1y1)在直线 B(2,-3).C(0,-3). x=1的左侧时， 9a+3b+c=0, a=1, a>0,存在y1>n, .4a+2b+c=-3,.b=-2,.这个抛物线的表 ∴点(x1y,)到直线x=t的距离大于点(2，n)到直 c=-3, c=-3, 线x=1的距离. 达式为y=x2-2x-3. (x1y,)到直线x=1的距离为1-x1,点(2，n)到 (2)由(1)可得y=x-2x一3，∴该抛物线的对称轴 直线x=1的距离为2一1， 是直线x=1.D,E是抛物线上关于对称轴对称的 2十x1 两点，点D的横坐标为一2，∴点E的横坐标是4.当 1-x1>2-1,1> 2 x=4时y=16-8-3=5,∴E(4,5). 2+x11 18.解：(1)BC=2AB,AB边的长为xm,∴.BC= -2K<-1.0<2号<分≥2 2x m. .(0,y。).(x1y1),(一4y:)都在抛物线的左侧. :三边所用的篱笆之和恰好为18m, a>0, ∴.CD=18-AB-BC=(18-3x)m, ∴抛物线y=ax十x十c开口向上，在对称轴左侧， ∴5=2(x+18-3x）:2x=-2x+18x. y随着x的增大而减小， 又-4<x1<0,y>y1>yo (2:s=-2x+18x=-2x-2)}'+2 综上，y。y1,y:的大小关系为y,>y>y。 22.解：(1)由题意可得a:=c1,bz=一b1,c:=a1,且a1 9 ∴当x=2时，四边形ABCD的面积最大，最大面积 b1,c1均不为0， .函数y1=a1x2十b1x十c1的“美美与共函数"为y: 是时 =c1x2-b,x+a1. 二次函数y1=2x+kx十3与y:=mx*+x十n互 19.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x一4)严+ 为“美美与共函数”，.k=一1，m=3,n=2. 3.6.把(0,2)代人，得2=a(0-4)2+3.6, 解得a=一0.1，.实心球行进的高度y与行进的水 2)①由题查可得士-受。 平距离x之间的函数关系式为y=一0.1(x一4)2+ 3r十s=0(r≠0，s≠0).：函数y1=x+2rx十s 3.6. 与y:互为“美美与共函数”， (2)能达到优秀.理由如下： y:=-3rx2-2rx+1. 当y=0时.0=-0.1(x-4)2+3.6, 解得x1=一2（舍去），x:=10,即这名学生在这次考 六函数y的图象的对称轴为直线x=一二2 -6r 试中的成绩是10m,超过了9.6m,能达到优秀. 20.解：(1)设A种客房每间的定价为x元，B种客房每 间的定价为y元. ②经过. 下册参考答案 59 y,=-3rx2-2rx+1=-rx(3x+2)+1. .当x=0时y:=1: 则有子-n=,解得k1=子-1， 当x=-号时=1 “直线OP的表达式为y=(仁-1)x 故函数y:的图象经过的两个定点的坐标为(0,1)和 (- b=x-2, 28.解：D:抛物线y=子+6x+c经过点0(0,0， 1 对称轴过点B(2.0), b 8 =2. 1 b=-1, 2× 解得 -1= 4 lc=0. S, 8 8 c=0, 8-n 1 六抛物线的表达式为y=不一x 1 n-1=-8m-4)2+1, (2)如图所示，过点M作MD⊥BC,垂足为D. :当=4时，受取得最大值，最大值为1 期中测试卷 1.A2.B3.D4.C 5.D【解析】：点P(x。y。)在抛物线y=ax(a≠0)上 将P(x。yo)代入y=ax(a≠0)，得yo=axi, A.将(x。+h,y。)代入y=a(x+h)+k,得y。=a 设M(m,m-m),则D(2.子m2-m, (x。+2h)2+k,不符合题意： B.将(x。十hy。十k)代入y=a(x+h)+k,得y。+ :MD∥QC, =a(x。十2h)+k,即y。=a(x。+2h)2,不符合题意： :BD CD=BM MQ=3:5. C将(x。-h,y。一k)代入y=a(x+h)+k,得y。-k :C(2,-2). =ax8十k,即yo=ax十2k,不符合题意： 0-(子a-m） D.将(-x。-h,y。十k)代人y=a(x十h)产+k,得yo ,解得m1=1.m:=3. 十k=a(一xo)*+k,即y。=ax,符合题意. 7m2-m-(-2) 6.B【解析】，抛物线过点(1,0)和(m,0)(2<m<3), 经检验，m1=1,m:=3是该分式方程的解. .设抛物线为y=a(x一1)(x一m), :点M在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为 ∴.y=ax-a(1+m)x+am 直线x=2, ∴.b=-a(1+m),c=am. m=1.M1.-) a>0且m>2.∴.b<0,c>0. bc<0,说法①正确， 设直线BM的表达式为y=x十a, :b=-a(1+m), 3 ∴.3a+b=3a-a(1+m)=a(2-m) 3 t= 侧有长+云三一4解得 2<m<3,.2-m<0, ∴.3a+b<0,说法②错误： 2k+a=0. a=- 2 :抛物线与直线y=kx十c相交， 3 3 ∴直线BM的表达式为y=了x一2 .a.x2十(b-k)x=0有解， 令2-名--都得=1=6 其根为1=0，，=二6 a 若点A的坐标为(0C),点A关于对称轴的对称点A1 当x=6时，y=3, .N(6.3). 的横坐标为2h=1+m(h=1专 (3):点Q恰好在y轴上，且点Q在直线1：y=一2 ∴.AA'=2h 上，Q(0,-2). 2<m<3,∴.3<2h<4: 设直线QB的表达式为y=1x一2. 将B(2,0)代入，得21-2=0， 但若点A的标为小 解得t=1, 直线QB的表达式为y=x一2. 点A关于对称轴的对称点A'的横坐标为2h-一山 设P(a,-,直线OP的表达式为y= A'=1+m-2二2 ∴说法③不一定成立： a 60 数学九年级BS版