2.2 第3课时二次函数y=y(x-h)2和y=a(x-h)2+k图象与性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第3课时 二次函数y=a(x一h)和y=a(x一h)2+k的图象与性质 要点提示 1.二次函数y=a(x一h)和y=a(x一h)十k的图象与性质：二次函数y=a(x一h)产是二次函数y=a(x- h)十k中k=0时的情况。 函数 a的符号 大致图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 0 当x<h时，y随x的 当x=h 增大而减小：当x>h a>0 k=0 =0 向上 时，y+ 时，y随x的增大而 =k 增大 <0 k<0 =a(x-h)2+A 重线x=h (h,k) A>0 当x<h时，y随x的 0 *>0 当x=h 增大而情大：当x>h a<0 句下 时，y 时，y随x的增大而 =k 0 减小 2.平移规律：抛物线y=ax2平移到抛物线y=a(x一h)2十k的变化规律为上加下减，左加右减 O1固基础 知识点①二次函数y=a(x一h)2的图象 女 与性质 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax 4.抛物线y=5(x-1)2+c经过(-2，y), 十c和二次函数y=a(x十c)2的大致图象 5 可能为 (0y)(分y)三点，则yy的大小 米 关系正确的是 ( A.y1>y:>ys B.y2>ys>y1 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 知识点3二次函数图象的平移规律 2.已知抛物线y=5(x一1)2，下列说法错误的 5.(教材变式)将抛物线y=2x2先向上平移3 是 ( 个单位长度，再向右平移2个单位长度，所 A.抛物线的顶点坐标为(1,0) 得到的抛物线的函数表达式为 ( B.抛物线的对称轴为直线x=0 A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x-2)2+3 C.当x>1时，y随x的增大而增大 C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x+2)2-3 D.当x<1时，y随x的增大而减小 ◆易错点对二次函数的增减性理解不透彻 知识点2二次函数y=a(x一h)2+k的图 6.已知在二次函数y=2(x一h)2的图象 象与性质 上，当x>3时，y随x的增大而增大， 3.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为 则h的值满足 ( 6 数学九年级BS版 02提能力念 上的两点，若对于x1=3a,3≤x2≤4，都有 y1<y2,求a的取值范围， 7.抛物线的函数表达式为y=3(x一2)2十1. 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向 左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平 面直角坐标系中的函数表达式为() A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3 C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1 8.(2025宁波模拟)点A(s,t)在二次函数y= 2(x一m)2(m为常数)的图象上，s一m=1卡 0.当s一1≤x≤s十2时，二次函数的最大值 与最小值的差为 9.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(x1 y1),N(x2,yz)为抛物线y=a(x-h)2+k (a>0)上任意两点，其中x1<x2.若对于x 十x2>2,都有y1<y2,则h的取值范围为 ( O3拓思维◆ A.h>1 B.h≤1 13.推理能力如下图，点P(a,3)在抛物线C:y C.h-1 D.h<-1 =4一(6一x)2上，且在抛物线C的对称轴 10.已知二次函数y=-(x一2)2十c,当x= 右侧。 x1时，函数值为y1:当x=x2时，函数值为 (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值， y2.假设|x1一2>|x2一2|，则y1,y2的大 并求a的值。 小关系是 (2)现在平面直角坐标系内放置一透明胶 11.将抛物线y=a.x2+2向右平移后所得新抛 片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的 物线的顶点的横坐标为3，且新抛物线经过 一段，分别记为点P'、抛物线C,平移该胶 点(1，-2). 片，使抛物线C的函数表达式恰为y= (1)a的值为 一(x-3)2,则PP'的长为 (2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3) 都在新抛物线上，则y1 y2(填 “>”“<”或“=”) 12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y =a(x-a)2-a3(a≠0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标 (2)已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线 下册第二章1 ∴直线AB的函数表达式为y=2x+2, (-a,y1). x1=3a,3≤x:≤4，y1<y:,且当x>a时，y随x (2)对于直线AB:y=2+2.当x=0时y=2。 的增大而减小，∴.一a>4,解得a<一4. 又'a<0,.a<-4. 1 OC=2...Som=Som+Some=7X2X2+ 综上所述，a的取值范围是0<a<1或a<-4. 13.解：(1)：抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6) ×2×4=6. +4, (3)4 抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 第3课时二次函数y=a(x一h) 当y=3时，3=一(x-6)+4,解得x1=5,x:=7. 和y=a(x一h)2十k的图象与性质 :点P在对称轴的右侧， 1.B2.B3.D4.D5.B 点P的坐标为(7,3)，.a=7 6.h≤3【解析】：二次函数y=2(x一h)产的图象开口 (2)5 向上，其对称轴为直线x=h,∴当x>h时，y随x的 【解析】(2)：平移后的抛物线对应的函数表达式为y 增大而增大，∴h≤3. =-(x-3)2, 平移后抛物线的顶点坐标为(3,0). 7.C 由平移的性质可知，PP'的长为平移前后抛物线顶点 【解析】s一m=1,∴1=2r2. 间的距离. 由(1)可知，平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， 解得4=2：=0（舍去）. ∴.根据勾股定理，得PP'的长为√(6一3)+(4-0) =m+分Aa+》 =5. 第4课时二次函数y=ax2+bx+c的 ∴抛物线的对称轴为直线x=m 图象与性质 1 女5-1≤x≤s+2,m-2≤x≤m+2 1.B2.-3.D 4.C【解析】：二次函数y=ax2+a十c(a≠0)图象的 当x=m+号时y有最大值y=2×(受》广- 开口向上， 当x=m时，y有最小值y=0. b a>0,x=- a>0.-b>0,即6<0. 放二次函数的最大值与最小值的差为受 抛物线与y轴交点在负半轴，c<0. 9.B【解析】：y,<y:, 选项A:a>0,b<0,c<0, a(x,-h)2+k<a(x:-h)2+k, .abc>0.该选项不符合题意. b .a(x1-h)2-a(x:-h)<0, 选项B:对称轴为直线x=一云，由图象知，对称轴在 a(x,+x:-2h)(x1-x:)<0. a>0,x1<x∴x1+x:>2h. 直线1的左边，即-名<1 当x1十x:>2时，都有y<y,即都有x十x:> 又a>0,两边乘2a得-b<2a,∴.2a+b>0,该选项 2h,.2h≤2，.h≤1. 不符合题意. 10.y1<y:11.(1)-1(2)< 选项C:当x=-1时，y=a-b+c>0,即4a-4b+ 12.解：(1)当a=1时，y=(x-1)2-1, 4c>0:当x=2时，y=4a+2h+c=0, 此时顶点坐标为(1，一1) .(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)<0, (2):y=a(x一a)2-a2的对称轴为直线x=a, 2b一c<0,该选项符合题意. 分以下两种情况讨论： 选项D:当x=一1时，y=a一b十c,由图象知，x=一1 ①当a>0时，如图①. 对应的函数值y>0, ,x1=3a,3≤x:≤4，y1<y2,且当x>a时，y随x .a一b+c>0,该选项不符合题意。 的增大而增大， 5.y:>y>y16.y=(x+1)2-3 ∴.3a<3,解得a<1. 7.(1)3(2)y=x-4x 又.a>0,.0<a<1: 8.19【解折y=-3x+1=(x-2)》广-当 x≥2时，y随x的增大面增大.又：x≥6当x=6 时，y取得最小值，最小值为6-3×6+1=19. 9.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交 图① 于正半轴，.a<0,c>0. ②当a<0时，如图②. b 由题意，得M(3a,y,)关于对称轴对称的点的坐标为 :对称轴为直线x= =2..b=-4a>0. 下田参考答案