第2章 2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

∴CE=EF=b, 0E=0C+CE=2+b: ∴点F的坐标为(6：-宁-b) “点F(6,-之-6)在抛物线y=-之产上， -7-6=-6 解得b=1十厄（负值已舍去）， 即正方形CEFG的边长为1+2. 14.解：(1)由题意知顶点E的坐标为(0,6)，点G的坐标为(6 4). 设地物线的表达式为y=a.x2十6(a≠0)， 则6a十6=4.解得a=一8 ·地物线的表达式为y=一3+6 2由题意知0B=子AB=之×10.8=5.40m. 1 当r=5.4时y=一18+6=一忘×5.4+6=4.38， .BC=4.38m. 故侧立柱BC的高度为4.38m 15.解：(1)如图所示 (2)由题意，得点A(xy)的“关联点”为 A (r.y-z). 由点A(x,y)在函数y=x的图象上， 可得A(x,x), A(r-). 又：A,(x2一x)在厨数y=x一2的图象上， x2-x=x-2,解得x=2. 将r=2代人A1(xx-x),得A1(2,2) (3)由题意可知，点A(x,y)的"待定关联点”为A:(x,x一 nr). :点A2(r,x”一mx)在函数y=r2一m的图象上， .x2-x=x2-n. .m-mx=0,n(1-x)=0. 又：n≠0， ∴x=1, 点A,的坐标为(11一n) 第3课时二次函数y=a(x一h)产和y= a(x一h)'十k的图象与性质 1.D2.B3.y1<y变式题>4.D5.B 6.解：(1)：对称轴为直线x=一2. ∴.h=-2, y=a(x+2)2-2. 又：抛物线过点(1，一3)， -3=a1+2-2.解得。=-号 y=-号x+2-2 (2)当x>一2时，y随x的增大而减小： 当x=一2时，y有最大值，最大值为一2. 7.A8.右上9.y=-3(x-1)-2 10.C【解析】，当x>时，y随x的增大而增大，当x<h 时，y随x的增大而减小， .若h<1≤r≤3，则当x=1时，y取得最小值5， .(1一h)2十1=5.解得1=一1，h=3(舍去)：若1≤x≤3 <h,则当r=3时，y取得最小值5，.(3一h)2十1=5，解 得h,=5,h:=1(舍去)：若1<h<3,则当x=h时，y取得 最小值1，不符合题意.综上，h的值为一1或5. 11.y:<y,<y【解析】由题意，得抛物线C,的表达式为y= (x+a)-b. .抛物线C:的对称轴为直线x=一a, .A(一a一2，y1)关于对称轴x=一a的对称点为（一a十2， y1》, 当x>一a时，y随x的增大面增大 -a+1<-a+2<-a+3. .y:<y<y. 12.12【解析】如图，设抛物线y=一3(x+ m)子十k的顶点为C,将抛物线向左平移， 使顶点C落在y轴上的点C‘处，点A,B 分别对应点A',B‘,则平移后的抛物线的 表达式为y=一3x十k.AB=4, B AB=4,.OB=2,即点B的坐标为A:OB:x (2,0).把x=2,y=0代人y=-3x+k,得0=-3×2+k, 解得k=12. 一题多解法《 由题意，得A(一m一2,0)，B(一m+2,0),将 (一m一2,0)代人y=一3(x十m)2+k,得0 一3（一m一2+m)2+k,解得k=12 13.解：(1)小明的说法正确.理由如下： 设该二次函数的顶点坐标为(x,y) 由题意，得x=2m,y=3一4m, .2.x+y=3,即y=-2x十3 “.当m的值变化时，该二次函数图象的顶点始终在直线y =一2x十3上运动. (2)证明：由题意，得该二次函数图象的对称轴为直线x a-5+4m+3+a=a+2m-1. 2 ∴.a十2m-1=2m. .a=1, .P(-4.c) 将P(-4,c)代入y一了红-2m》产+3-4m, 得c=-子(-4-2m)+3-4m=-(m+4)产+15. (w+4)≥0. ∴.一(m十4)2≤0 .-(m+4)2+15≤15， 即c≤15 14.解：(1)y=3 (2)由题意，得点P,的纵坐标为5或一5，则抛物线沿着直 线向上平移了1个单位长度或向下平移了9个单位长度。 即点O,的纵坐标为1或一9. 将y=1代人y=言，得x=3:将y=一9代人y=写， 得x=一27，则点0，的坐标为(3.1)或(-27，一9). 故平移后二次函数图象所对应的函数表达式为y=(x一 3)2+1或y=(x+27)2-9. 第4课时二次函数y=a.r2十br十c的图象与性质 1.C2.C 3.一2【解析】把地物线y=x2一2x一3=(x一1)°一4向左平 移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的搅物线的 表达式为y=(x-1+2)-4+1=(x+1)2-3=x°+2x 2,∴y=x2+bx+c=x+2x-2..c=-2 变式题A 1 4.解：1)把A2.0)代人y=一2r+4十c,得c=一6. 1 (2)由(1)可知该二次函数的表达式为y=一2x十4x一6， 由y一子产十4红-6，得点B的坐标为0，-0. .∴.0B=6. 4 ,地物线的对称轴为直线x■ 2×(-)】 .点C的坐标为(4,0)，.OC■4： ∴.AC=0C-0A=4-2=2. ∴△ABC的面积为号AC0B=7×2×6=6. 5.D6.C7.C 8.D【解析】由图象开口向下可知a<0. 由对称轴为直线=一云>0，得6>0： 一次函数y=x十b的图象经过第一、二，三象限.不经过 第四象限. 9.C【解析】：y=x-2x=(x-1)2一1.∴图象开口向上，对 称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一1)，当x=一1时，y=3, .(一1,3)关于对称轴对称的点的坐标为(3,3).·当x 一1时，函数取得最大值：当x=1时，函数取得最小值，，1 ≤1一13.解得2≤1≤4. 10.解：(1)把(-2,0)代入y=a.r2-2ax-8,得0=4a+4a 8,解得a=1..抛物线的函数表达式为y=x一2x一8. y=x-2.x-8=(x-1)°-9， 抛物线的顶点坐标为(1一9) (2)把x=-4代人y=x-2x-8,得y=(-4)2-2× (一4)一8=16，∴.m=16.把y=7代人函数表达式，得7= x2一2x一8，解得x1=5,x:=一3.n为正数，.n=5, ,点A的坐标为（一4,16），点B的坐标为(5,7).抛物线 开口向上，顶点坐标为(1，一9)，抛物线顶点在AB下方， .-4<x<5,一9≤yp<16, 11.解：(1)将B(3.0)代入抛物线y=一x+mx+3,得0=一3+ 3m+3.解得n=2, ∴.y=-x+2x十3=-(x-1)°十4 .抛物线的顶点坐标为(1,4) (2)如图，连接BC.交抛物线的对称轴( 于点P,则此时PA+PC的值最小 由(1)可得，点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+b. 将C(0,3),B(3,0)代人y=kx+b,得 B 10=3k+b, 3=b, 用合 .直线BC的表达式为y=一x+3. ,抛物线的对称轴为直线x=1, 且当x=1时.y=一1+3=2， .当PA十PC的值最小时，点P的坐标为(1,2) 下册参考答案 13△第3课时 二次函数y=a(x一h) @课内基础闯关 知识点① 二次函数y=a(x一h)2的图象 与性质 1.对于二次函数y=一(x一1)的图象，下列 说法不正确的是 A.开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.当x=1时，y有最大值0 D.当x<1时，y随x的增大而减小 2.在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减 小，则二次函数y=k(x一1)2的图象大致是 产带早滑 3.若抛物线y=3(x一2)2上有两点A(5,y1), B(一5，y),则y1·y2的大小关系为 (用“<”连接) 变式题己知A(一4，y1),B(6,y2)为二次 函数y=一(x+1)2图象上的两点，那么 y(填“>”“<”或“=”) 知识点② 二次函数y=a(x一h)2十k的图 象与性质 4.关于二次函数y=2(x一1)2十3的最大值或 最小值，下列说法正确的是 A.有最大值1 B.有最小值1 C.有最大值3 D.有最小值3 5.已知二次函数y=(x一3)2+1，下列说法： ①其图象的开口向下：②其图象的对称轴为 直线x=3:③其图象顶点坐标为(3，一1)； ④当x<3时，y随x的增大而减小.其中正 确的有 432 九年级数学BS版 和y=a(x一h)2+k的图象与性质 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 6.已知抛物线y=a(x一h)2一2的对称轴为直 线x=一2，且过点(1，一3). (1)求该抛物线的函数表达式. (2)当x在什么范围内，y随x的增大而减 小？当x取何值时，函数有最大（或最小） 值？求这个最大（或最小）值 知识点③二次函数y=ax2,y=a(x一h)2, y=a(x一h)2十k的图象的联系 7.将抛物线y=一(.x一3)十5先向右平移2 个单位长度，再向下平移6个单位长度，平 移后的抛物线的表达式为 () A.y=-(.x-5)2-1 B.y=-(x-1)2-1 C.y=-(.x-5)2+11 D.y=-(x-1)2+11 8.将二次函数y=4(x十3)2一7的图象先向 平移3个单位长度，再向 平移7个单位长度，即可得到二 次函数y=4x2的图象。 9.在平面直角坐标系中，把抛物线y=3.x2绕 原点旋转180°，再向右平移1个单位长度， 向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的 表达式为 ⊙课外拓展提高 10.已知二次函数y=(x一h)2+1(h为常 数)，当1≤x≤3时，y的最小值为5，那么 h的值为 A.-1 B.5 C.-1或5 D.1或-5 11.将抛物线C1:y=x向左平移a(a>0)个 单位长度后，再向下平移b个单位长度，得 到新的抛物线C2.若A(一a一2，y1),B( a+1,y2),C(一a十3，y3)为抛物线C2上 的三点，则y1,y2,y的大小关系是 (用“<”连接) 12.一题多解法如图，已知二次函 数y=一3(x十m)2十k(m,k为 常数，且k>0)的图象与x轴交 B 于A,B两点.若线段AB的长可 为4，则k的值是 第12题图 13.已知二次函数y=一 (x-2m)2+3-4m (m是实数). (1)小明说：“当m的值变化时，该二次函数 图象的顶点始终在一条直线上运动.”你认 为他的说法正确吗？请说明理由。 (2)已知点P(a一5，c),Q(4m+3十a,c)都 在该二次函数的图象上，求证：c≤15 @综合能力提升 14.新定义题图①所示的是二次函数y=(x -a)+号(a为常数)当a=-1.0,1,2时 的图象.当a取不同值时，其图象构成一个 “抛物线簇” (1)“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表 达式为 (2)如图②，当a=0时，二次函数图象上有 一点P(2,4).将此二次函数图象沿着(1) 中的直线平移，记二次函数图象的顶点O 与点P的对应点分别为O1,P.若点P,到 x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所 对应的函数表达式。 图② 知识要点归纳 1.二次函数y=a(x一h)”十k的图象是抛物线. 若a>0,图象的开口向上，当x<h时，y随x的 增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大： 若4<0，则恰好相反 2.任意抛物线y=a(x一h)子十k(a≠0)都可以 由抛物线y=ax(a≠0)经过平移得到.抛物线 的平移规律是“左加右减，上加下减” 下册第二章