第1章 直角三角形的边角关系小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

本章小结 大单元思维导图 正弦、余弦、正切 锐角三角函数特殊角的三角函数值 三边之间的关系㎡+b=c2 直角三角形的 边角关系 两锐角之间的关系∠A+∠B=90° 正弦：si4=∠A的对边。a 纤边 解直角三角 余弦：00s4=∠A的邻边_五 形及其应用 边角之间的关系 斜边 正切：tanA=∠A的对边_ A的邻遗-号 仰角、俯角问题 实际问题 方向角问题 坡度、坡角问题 其他问题 大单元考点训练 考点①锐角三角函数及有关计算 1.(2025榆林模拟)如图，在边长为1的正方形 R 主视图 左视图 网格中，△ABC的顶点均在格点（小正方形 的顶点)上，则tan∠BAC的值为 ( ) A司 俯视图 B.2 C.5 D.2 第3题图 第5题因 4.在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (cos30°，tan45°)，则点P关于x轴的对称点 P1的坐标为 () 第1题图 第2题因 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13, A停 B(-1.) cosA=营则BC的长为 ( c9- D( A.5 B.8 C.12 D.13 5.如图所示的是某直三棱柱零件的三视图。 3.（2025西安模拟)如图，在2×2的正方形网 格中，每个小正方形的边长均为1.△ABC 已知EF=8cm,∠EFG=45°，则AB的 的顶点都在格点上，AD⊥BC于点D,则 长为 cm. sin∠BAD的值是 ( ) 6.已知a为锐角，sin(a-189)=尽 ,则a AB号 下册第一章 7.如图所示，矩形ABCD的边 11.如右图，在Rt△ABC中， AB上有一个点P,且AD= ∠ACB=90°，D是边AB的中 号BP-会以P为直角顶 4 点，过点B作BE⊥CD,交CD 第7题图 3 点的直角三角形的两条直角边分别交线段 的延长线于点E,AC=15,cosA=行求： DC,BC于点E,F,连接EF,则tan∠PEF的 (1)线段CD的长为 值为 (2)sin∠DBE的值. 8.求下列各式的值： (1)tan60°+2sin45°-2cos30° (2)am260°+2c0s45 2sin260°-cos60 12.如下图，已知△ABC为钝角三角形，其中 ∠A>90°，有下列条件：①AB=10:②AC =66:anB-是 考点2解直角三角形 (1)你认为从中至少选择 个条 件，才可以求出BC边的长。 9.在△ABC中，∠B=45,sinC=手，AC= (2)你选择的条件是 (填序 10,则BC= ( 号)，根据你选择的条件，求出BC边的长， A.12 B.14 C.15 D.16 第9题图 第10题图 10.(2025苏州)如图，在△ABC中，AC=3, BC=2,∠C=60°，D是线段BC上一点 (不与端点B,C重合).连接AD,以AD为 边在AD的右侧作等边三角形ADE,线段 DE与线段AC交于点F,则线段CF长度 的最大值为 数学九年级BS版 考点3锐角三角函数的实际应用 无人机可以开始相互接收到信号（结果保 13.(2025上海)某公司需要员工上班时通过门 留小数点后一位)？ 禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪.已知扫 北 东 描仪（线段AB)的竖直高度2.7m,某人 30 (线段CD)身高为1.8m,扫描仪测得∠A 30 =53°，那么该人与扫描仪的水平距离为 m(精确到0.1m,备用数据： sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33). D 图① 图② 第13题图 第14题图 14.(2025岳阳模拟)如图①，先把一张矩形纸 片ABCD对折两次，展开后得到三条折 痕，设其中一条折痕为MN.如图②，再把 点B叠在折痕线MN上，得到△AB'E. (1)∠AB'E= (2)tan∠B'AE= 15.(2025重庆)为加强森林防火，某林场采用 人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林 情况.如下图，A,B,C,D在同一平面内.A 是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于 A的正东方向10km的B处，乙无人机位 于A的南偏西30°方向20km的D处.两 无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正 西方向上，B位于C的北偏西30°方向上 (参考数据：瓦≈1.41，√5≈1.73,5≈ 2.24,√7≈2.65). (1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）. (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发 沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机速 度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相 距20km时，它们可以开始相互接收到信 号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两 下册第一章AD CD-tanZACD~25 m. ∠C'N'M=∠BAC'=37°.在Rt△ABC中，BC= AB MN 如图，过点F作FM⊥底基A6m一小心碰头 am30=5AB.在Rt△CNM中，CM=am30= CD于点M, √5MN≈1.73×2=3.46(m).在Rt△C'N'M中， 过点E作EN⊥AD于 9 B层， C'M=M'N'·tan37°≈2×0.75=1.5(m）.在 点N, Rt△C'BA中，C'B=AB·tan37≈0.75AB,而MM 设FM=DN=xm,则 =BC-CM-(CB-C'M),即月AB-3.46- AN=(9-x)m. AE段和FC段的坡度i=1:2, (0.75AB-1.5)=30,:AB 30+3.46-1.5≈ 5-0.75 .CM=2xm,NE=2(9-x)=(18-2x)m 33(m).故古塔的高度AB约为33m. ∴.CM+NE=2x+18-2x=18(m), ∴.EF=CD-(CM+NE)=7m. 8.解：(1)88.00 答：平台EF的长度约为7m (2)延长PQ交MN于点T,过 点G作GH⊥NM于点H,过点 4.B 5.解：由已知得，∠ECA=29.5°，∠FCB=45°，CD= P作PR⊥GH于点R,如图①， 则四边形PRHT是矩形， 40 100,EF∥AB,CD⊥AB, ..RH=PT. ∴.∠A=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， :坡度i=1:5,且MQ= ∴.BD=CD=100. 39m, 在Rt△ACD中，∠CDA=90,tamA=C2 .设QT=xm,则MT=√3xm QTi+MT=MQ..+3x)=39. anM0.57≈175.4. CD100 解得x=19.5(负值已舍去)， ∴.QT=19.5m. ∴.AB=AD+BD=175.4+100≈275， PQ=1.65m, 即建筑物A,B之间的距离约为275m. ,.PT=PQ+QT=1.65+19.5=21.15(m), 6.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥ .RH=21.15m. AB于点E,如图. 在Rt△GPR中，∠GPR=40°，PG=105m, 在Rt△ABD中，sinB= AD .GR AB 六PG=sim40, ∴.AD=c·sinB. ∴.GR=PG·sin40°≈105×0.64=67.20(m), 在Rt△ACD中，：sin∠ACD= AD .GH=GR+RH=67.20+21.15=88.35(m). AC 88.35>88.00, ∴.AD=b·sin∠ACD, ∴小明放的风筝离水平地面更高。 c·sinB=b·sin∠ACD, 【解析1)如图②，过点A作AE⊥DC于点E,过点B sinB sin∠ACD 作BF⊥AE于点F, 同理可得 a snB=sn∠CAE 则四边形BDEF为矩形 ∴.EF=BD=1.5m. a b c 六sin∠CAE-nB-in∠ACD 在Rt△ABF中，∠ABF=60°，AB= 100m, 即品-c b (2)根据题意，得∠BAN=90°-25°=65°，∠BNA= =sin∠ABF, D 90°-35°=55°，∴∠B=180°-65°-55°=60. =50g 六AF=AB·Sm60°=10x5 ② AN 由)的结论得B乙W砌 AB 207 sin60sin55* ≈86.50m ∴.AN≈207X 6÷0.82≈218.36(m ∴.AE=AF+EF=86.50+1.5=88.00(m) 故妹妹的风筝离水平地面的高度约为88.00m 在R△AMN中，：tan∠MAN=AN, MN 本章小结 1.D2.C3.D4.C5.426.78 ∴MN=218.36×tan30°≈125.9(m). 故塔的高度MN约为125.9m. 12 1. 【解析】如图，过点E作EG⊥AB于点G,则GE 6利用三角函数测高 5 1.52.113.D4.(6+33)5.D6.25 =AD=3 7.33【解析】由题意可知，MN⊥BC.M'N'⊥BC ∠EGP=∠B=∠EPF=90°， ∠NCM=30°，∠N'C'M'=53°，MN=M'N'=2m,则 ∴.∠GEP+∠GPE=90°，∠BPF+∠GPE=90°， 下册参考答案 ∠BPF=∠GEP (2)①②③ PF BP △PBFn△EGP,E 过点A作AD⊥BC于点D,如图所示. GE AD3 5 又：BP=5,GE=3 tanB=BD= ∴设AD=3.x,BD=4x. :AB=10, PF512 PF 12 EP= ,.tan∠PEF= ∴根据勾股定理，得(3x)+(4x)2=102, 5 25 EP=25 解得x=2(负值已舍去)，∴.AD=6,BD=8 3 ∴根据勾股定理，得CD=√(6√5)-6=12， 8解：1)原式=5+2× 2-2× ∴BC=CD+BD=12+8=20. =5+√2-√5=. 13.1.2 (5)+2x 14.(1)90° 【解析】(2)过点BM 2 (2)原式= 3+反 作FG⊥AD于点G,交BC于点F, x(- 31 22 如图. :BC∥AD,∴GF⊥BC,四边形AGFB是矩形. =3+√2 设FB'=x,则BG=3x,AB=FG=AB'=4x, 9.B ∴.AG=√AB-BG=√4.x)-(3x)T=√7x. 【解析】如图所示，过点A作AH ∠AB'E=90°，∴.∠EB'F+∠AB'G=90°. 又∠BEF+∠EB'F=90°，∴.∠B'EF=∠AB'G ⊥BC于点H. 又∠EFB'=∠AGB'=90°，.△EB'FC∽△B'AG. 在Rt△AHC中，∠C=60°，∠AHC= 90°，AC=3. ÷AH=AC·simc=3 2 EB'√T :△ADE是等边三角形，∴.∠ADE=60°=∠C 六tan∠B'AE=BA-7 又：∠DAC=∠FAD,△DAC∽△FAD, 15.解：(1)如图所示，过点A作AE⊥CD于点E,过点B 品-设A=把=g 作BF⊥CD于点F, AC 3 ∴∠AED=∠BFC=90 CF=AC-AF. 在Rt△ADE中，AE=AD·cos∠DAE=20X 当AF有最小值时，CF有最大值， cos30°=10√5(km), ∴.当AD有最小值时，AF有最小值， DE=AD·sn∠DAE=20Xsin30°=10(km). 当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值， :B位于A的正东方向10km处，D位于C的正西 此时点D与点H重合， 方向上， 351 AB∥CD,∴AE⊥AB,BF⊥AB, AD的最小值为35：AF的最小值为 2 .∴.四边形AEFB是矩形， .EF=AB=10km,BF=AE=103 km. 9 心CF的最大值为3- 93 ∴.DF=DE+EF=20km, = ∴.BD=WDF+BF=√202+(103)2=10√J万≈ 1.解：D受 26.5(km). 故BD的长度约为26.5km (2):D是Rt△ABC的斜边AB的中点， BD=CD=空∠BCE=∠ABC, 30% 西 BC 4 30 ,.cos∠BCE=cos∠ABC= AB=5 CE D E N F TC :BE⊥CE,∴在R△CBE中，cos∠BCE=B元= (2)如图所示，当甲无人机运动到点M,乙无人机运 动到点N时，此时满足MN=20km.过点M作MT - ⊥CD于点T. 7 由题意得，∠BCF=90°-30°=60 ÷CE=16,DE=CE-CD=Z六在Rt△BED BF 在Rt△FBC中，BC 10wW3 DE 7 中，sim∠DBE=D=25 sin∠BCF sin60=20(km), BF CF= 105 12.解：(1)3 tan∠BCF an60=10(km), 数学九年级BS版 ∴.CD=DF+CF=30(km). 1 设BM=xkm,则DN=2xkm,CM=(20-x)km. 六△EFC的面积y=2x(4B-x) 在Rt△CMT中，CT=CM·cos∠MCT=(20-x)· 故y关于x的函数表达式为y=(4厅-x, cos60=(10-zx)km,MT=CM·sim∠McT= 12.y=2x2-4x+4(0≤x≤2)【解析】易证△AHE2 (20-·sis0r-(1ow5-号)km. △BEF,.AH=BE. AE=x,..AH=BE=2-x. ∴TN=CD-DN-CT=30-2x-(10-2x）= 在Rt△AHE中，，EH=AE+AH, y=x+(2-x)=2x2-4x+4,∴y与x的函数 (20-2)km 关系式为y=2x2-4x十4(0≤x≤2). 13.10或11【解析】由题意，得m-5m+8=2,且m- 在Rt△MNT中，由勾般定理得MN=MT+ 2≠0，.m=3.若以3为腰长，三边长分别为3,3， Nr20=(1o5-ξ)'+(20-号月 4,3+3=6>4,能组成三角形，符合题意，周长为3+ 3+4=10:若以4为腰长，则三边长分别为3,4,4,3 ∴x1=15-55,x:=15+55(此时大于C的长， +4>4>4一3，能组成三角形，符合题意，周长为4十 舍去)，∴.BM=15-55≈3.8(km). 4+3=11.综上，等腰三角形的周长为10或11. 答：甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 14.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k≠ 开始相互接收到信号. 0). 第二章二次函数 将(18,24)，(20,20)分别代入y=kx+b, 1二次函数 得86士6=解得=一2， 120k+b=20, 1b=60. 1.C2.A3.C4.-15.B6.y=-x2-2x+4 7.(1)一次(2)二次8.y=-10x2+560x-7350 :利涧率不能高于40%，5<0%。 9.12（24或+5或一5或-1或0或1 解得x≤21. 2 或2 故y与x之间的函数关系式为y=一2x十60(18≤x 【程指水油题套：得C广什2。 解得m=2. ≤21). (2)=-2x2+90x-900(18≤x≤21) 故当m的值为2时，它是y关于x的一次函数. 15.解：(1)：△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ (2)可分以下四种情况讨论： 是正方形， ①当m一4=0时，解得m=4: ∴·△AMR是等腰直角三角形， @当1时解得-1二5 1 2 .MR=AM=1 cm::S=S=7AM MR= ③当仁一什2时都得瓜=-1： 1 1 21·1=z1产(0≤1≤10. ④当m-m=0时，解得m1=0,m,=1. (2)2cm2 除上所述当m的值为4发中护我袁-1我0 2二次函数的图象与性质 或1时，它是y关于x的二次函数. 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的 10.A 图象与性质 11.D【解析】如图，过点F作FH⊥EC于点H,则 1.A2.C3.C4.C ∠FHE=90°，∴.∠FEH+∠EFH=90°. 5.解：(1)-9 ∠DEF=90°， (2)由(1)可知，点A的坐标是（一3，一9）， ∴.∠DEB+∠FEH=90°， ∴，点A关于y轴的对称点B的坐标是(3，一9)， ∠EFH=∠DEB. 点A,B关于x轴的对称点C,D的坐标分别是 在△DEB和△EFH中， (-3,9).(3.9). ∠B=∠FHE, 对于抛物线y=x,当x=一3时，y=9:当x=3时，y ∠DEB=∠EFH, =9, DE=EF. ∴C,D两点在抛物线y=x上 △DEB≌△EFH(AAS),∴BE=HF. 6.0-97.A BE=x...HF=x. 8.C【解析】，y=x,∴该函数图象开口向上，对称轴 MB=4,∠B=90°，∠C=30°， 为y轴.当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0 Bc--6, 时y随x的增大而减小.：当y=1时，x=土1：当y =9时，x=士3，∴.当1≤y≤9时，自变量x的取值范 .EC=BC-BE=4√3-x, 围是一3≤x≤一1或1≤x≤3. 下册参考答案