1.5 第2课时仰角、俯角及玻度问题-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第2课时 仰角、俯角及坡度问题 要点提示 1,仰角和俯角问题：如右图，在同一铅垂面内视线和水平线的夹角中，视线在水平线上方的 ,视线 角是仰角，视线在水平线下方的角是俯角 铅 御角 俯角 水平线 2.坡度问题：(1)坡度是坡角的正切值，二者可以相互转化，但是是两个不同概念，坡度越 视线 大，坡角就越大，坡面也就越陡：(2)坡度问题常需要过坡顶作水平面的垂线构造直角三角形， O1固基础 知识点2坡度问题 3.某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备 知识点1仰角、俯角问题 在底层A至B,层之间安装扶梯AC,截面 1.如图，某飞机在空中的点A 图如下图所示.底层A与B,层平行，层高 处探测到地面的目标B,此 AD为9m,点A,B之间的距离为6m, 时从飞机上看目标B的俯 B 角a为30°，飞机的高度AC 第1题图 ∠ACD=20°（参考数据：sin20°≈0.34， cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) 为6500m.飞机到目标B的距离AB为 (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭 乘扶梯，在B处 碰到头（填 2.(2025威海二模)图①是太阳能路灯，图②是 “会”或“不会”). 该路灯的简易平面图，点B为垂直于水平路 (2)若采取中段平台设计（如折线A-E- 面的灯杆AC上一支撑点，点D为灯管，在 F-C所示)，已知平台EF∥CD,且AE段 路面上的点E,F测得灯管D的仰角分别为 和FC段的坡度i=1:2.求平台EF的 53°，45°.已知点A,E,F在同一直线上，EF 长度 =2.2m.求灯管D距路面AF的高度（结果 底层46m小心延头 精确到0.1m,参考数据：sin53°≈ 5,c0s53 B层 5,tan53°≈ E 图① 图② 下册第-章 0 O2提能力念 迁移应用 (2)如图②，某数学实践小组想测量塔的高 4.某校学生开展综合实践活 度MN,他们在塔底N的正东方的点A处 动，测量一建筑物CD的高 430 测得塔顶M的仰角为30°，然后从点A处出 度.如图，在建筑物旁边有一 发，沿着南偏西25°的方向行进了207m到 高度为10m的小楼房AB. K60° 0 B D 达点B(A,B,N三点位于同一水平面内)， 小李同学在小楼房楼底B 第4题图 且点B在点N南偏东35°方向上.根据以上 处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A 信息，求塔的高度MN(结果精确到0.1m, 处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一 参考数据：sin55°≈0.82，sin65°≈0.91，√5≈ 平面内，B,D在同一水平面上)，则建筑物 CD的高为 1.73). A.20m B.15m C.12m D.(10+5√5)m 5.如下图，从热气球C处测得两建筑物A,B底 部的俯角分别为29.5°和45°.如果这时热气球 图② 的高度CD为100m,且点A,D,B在同一直线 上，求建筑物A,B之间的距离（结果精确到 1m,参考数据：sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈ 0.87,tan29.5°≈0.57) ◆O3拓思维 6.(2025宜春模拟)课本再现 (1)如图①，在锐角三角形ABC中，探究 nA'sinB'snC之间的关系（提示：分别作 b AB和BC边上的高) 数学九年级BS版12.解：(1)如图①，过点B作BD⊥AC于点D, 3 则∠ADB=90°. 六AB=sn4F=3E(km. 'AB=c,∠A=a, 故该船航行的距离为3√瓦km. ∴.BD=AB·sina=csina, 6.C 1 .S△ABe= 2AC·BD=2 sina. 7.137【解析】如图，过点B作AD的 C上…yB 垂线，交DA延长线于点C. 1 (2)Souc=adsing. 由题意得AD=50m,∠BAC=60°， ∠D=45 50 【解析】(2)如图②，过点D作DH⊥AC于点H,则 设AC=xm,则CD=AC+AD=(xD ∠DHO=90°. +50)m. :四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△BCD中，BC=CD·tanD=(x+50)m 0D=2BD=2d. 2 在Rt△ABC中，BC=AC·tan∠BAC=√3xm, :∠DOH=B, cOsZBAC=2x m.50=x AC AB= 1 ∴DH=OD·sing=dsing, 解得x=25√5+25，则AB=2x=50√5+50≈137 11 (m). 六Saem=zAC,DH=2a·dsing=-7 ad sin3, 8.解：(1)：∠CAB=30°，BC=9m, ∴.AB=9√5m,即BF=95+35=125(m. 六Saam=25am=2adsing. :AC∥DF, 5三角函数的应用 .∠DFB=∠CAB=30°， 第1课时方向角问题 .DB=BF·tan∠DFB=12m, .DC=12-9=3(m). 1.C2.D3.(20+203) 故看台顶端C与挡雨橱端点D之间的距离CD 4.解：(1)如图，过点B作BM⊥AD,垂足为M. 是3m. :AC⊥AD,∴.BM∥AC, 北 (2)过点E作EG⊥DF于点G,如图. BM BD ÷△BDMn△CDA.∴CX=CD 由(1)，得∠DFB=30°.DB= 12m, 5 DC=7BD.AC=6, ∴.DF=2DB=24m. .BM 2 12 设FG=xm. 6、 心BM=5 EF⊥FB, 12 ∠EFG=90°-30=60 BM 5 3 :∠MDE=75°，∠FDB=60, 在Rt△ABM中，sin∠BAD= AB=AB*写 .∠EDG=180°-75°-60°=45° AB≈4. 在Rt△EFG中，EG=√5FG=√5xm, 故岛A与港口B之间的距离约为4km. ∴在Rt△EDG中，DG=EG=√5xm, (②)在R△ABM中，AM=AB·cos37°≈4X4=15. ∴.x+3x=24,解得x=12(5-1), DM BD 2 .EF=2FG=24(5-1)≈16.8(m). :△BDMn△CDA一D六=CD=亏 16.8>16.5,这一设计符合要求. AD=号AM=号-9 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.13000m 16 2.解：如图，过点D作DG⊥AF,垂足为G. 在RaAC中mC=记-名-号 设EG=xm,则FG=(x+2.2)m. 在Rt△EGD中，DG=EG·tan53°≈ 5.3√2km【解析】如图，过点A作AC⊥OB于点C. 依题意，得∠AOB=30°，∴∠B= 3xm. 180°-30°-90°-15°=45° 在R△DFG中，an5-F元 DG =1 AC⊥OB, .∠ACO=∠ACB=90° 60 4 六DG=FG.3x=x+2.2,解得x=6.6, 在Rt△OCA中，AC=乞OA=2 .DG=FG=6.6+2.2=8.8(m), ×6=3(km). ∴灯管D距地面AF的高度约为8.8m. 3.解：(1)不会 在Rt△ACB中，sinB= AC AB' (2)在Rt△ACD中，AD=9m,∠ACD=20°， 数学九年级BS版 AD CD-tanZACD~25 m. ∠C'N'M=∠BAC'=37°.在Rt△ABC中，BC= AB MN 如图，过点F作FM⊥底基A6m一小心碰头 am30=5AB.在Rt△CNM中，CM=am30= CD于点M, √5MN≈1.73×2=3.46(m).在Rt△C'N'M中， 过点E作EN⊥AD于 9 B层， C'M=M'N'·tan37°≈2×0.75=1.5(m）.在 点N, Rt△C'BA中，C'B=AB·tan37≈0.75AB,而MM 设FM=DN=xm,则 =BC-CM-(CB-C'M),即月AB-3.46- AN=(9-x)m. AE段和FC段的坡度i=1:2, (0.75AB-1.5)=30,:AB 30+3.46-1.5≈ 5-0.75 .CM=2xm,NE=2(9-x)=(18-2x)m 33(m).故古塔的高度AB约为33m. ∴.CM+NE=2x+18-2x=18(m), ∴.EF=CD-(CM+NE)=7m. 8.解：(1)88.00 答：平台EF的长度约为7m (2)延长PQ交MN于点T,过 点G作GH⊥NM于点H,过点 4.B 5.解：由已知得，∠ECA=29.5°，∠FCB=45°，CD= P作PR⊥GH于点R,如图①， 则四边形PRHT是矩形， 40 100,EF∥AB,CD⊥AB, ..RH=PT. ∴.∠A=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， :坡度i=1:5,且MQ= ∴.BD=CD=100. 39m, 在Rt△ACD中，∠CDA=90,tamA=C2 .设QT=xm,则MT=√3xm QTi+MT=MQ..+3x)=39. anM0.57≈175.4. CD100 解得x=19.5(负值已舍去)， ∴.QT=19.5m. ∴.AB=AD+BD=175.4+100≈275， PQ=1.65m, 即建筑物A,B之间的距离约为275m. ,.PT=PQ+QT=1.65+19.5=21.15(m), 6.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥ .RH=21.15m. AB于点E,如图. 在Rt△GPR中，∠GPR=40°，PG=105m, 在Rt△ABD中，sinB= AD .GR AB 六PG=sim40, ∴.AD=c·sinB. ∴.GR=PG·sin40°≈105×0.64=67.20(m), 在Rt△ACD中，：sin∠ACD= AD .GH=GR+RH=67.20+21.15=88.35(m). AC 88.35>88.00, ∴.AD=b·sin∠ACD, ∴小明放的风筝离水平地面更高。 c·sinB=b·sin∠ACD, 【解析1)如图②，过点A作AE⊥DC于点E,过点B sinB sin∠ACD 作BF⊥AE于点F, 同理可得 a snB=sn∠CAE 则四边形BDEF为矩形 ∴.EF=BD=1.5m. a b c 六sin∠CAE-nB-in∠ACD 在Rt△ABF中，∠ABF=60°，AB= 100m, 即品-c b (2)根据题意，得∠BAN=90°-25°=65°，∠BNA= =sin∠ABF, D 90°-35°=55°，∴∠B=180°-65°-55°=60. =50g 六AF=AB·Sm60°=10x5 ② AN 由)的结论得B乙W砌 AB 207 sin60sin55* ≈86.50m ∴.AN≈207X 6÷0.82≈218.36(m ∴.AE=AF+EF=86.50+1.5=88.00(m) 故妹妹的风筝离水平地面的高度约为88.00m 在R△AMN中，：tan∠MAN=AN, MN 本章小结 1.D2.C3.D4.C5.426.78 ∴MN=218.36×tan30°≈125.9(m). 故塔的高度MN约为125.9m. 12 1. 【解析】如图，过点E作EG⊥AB于点G,则GE 6利用三角函数测高 5 1.52.113.D4.(6+33)5.D6.25 =AD=3 7.33【解析】由题意可知，MN⊥BC.M'N'⊥BC ∠EGP=∠B=∠EPF=90°， ∠NCM=30°，∠N'C'M'=53°，MN=M'N'=2m,则 ∴.∠GEP+∠GPE=90°，∠BPF+∠GPE=90°， 下册参考答案