第01讲 勾股定理（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第01讲 勾股定理 知识点1：勾股定理 知识点2：勾股定理的证明 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1用勾股定理解三角形】 【典例1】在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【变式1】如图，在中，，，，过点作于点，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】已知直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为（     ）． A． B． C． D． 【变式3】如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（    ） A．36 B．54 C．72 D．108 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例2】如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（    ） A．9 B．11 C．36 D．41 【变式1】如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 【变式3】如图，，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 【题型3勾股定理与无理数】 【典例3】如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在数轴上点表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【题型4利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例4】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【变式1】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【变式2】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【变式3】问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型5勾股定理的证明方法】 【典例5】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【变式1】面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 【变式2】如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【变式3】如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【题型6以弦图为背景的计算题】 【典例6】[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【变式1】如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【变式3】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 1．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 3．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 5．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 6．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 7．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 8．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 9．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 11．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 12．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 13．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 14．如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ． 15．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 16．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 17．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 勾股定理 知识点1：勾股定理 知识点2：勾股定理的证明 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1用勾股定理解三角形】 【典例1】在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：在中， 由勾股定理得， 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，，过点作于点，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故选：C． 【变式2】已知直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算即可，解题的关键是掌握直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为， ∴斜边长为， 故选：． 【变式3】如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（    ） A．36 B．54 C．72 D．108 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键； 先在直角三角形中，通过勾股定理求出，再在直角三角形中，通过勾股定理求出，进而可得到的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴的面积为：， 故选：B． 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例2】如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（    ） A．9 B．11 C．36 D．41 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， 即正方形的面积为9． 故选：A． 【变式1】如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出长方形的长，再根据面积公式计算即可 【详解】解：长方形的长为， 长方形的面积是 故选：B 【变式2】如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选：D． 【变式3】如图，，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，再分别计算出两半圆的面积分别、，然后由半圆m的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两半圆的面积分别为132和108， ∴， ， ∴半圆m的面积 ， 故选：D． 【题型3勾股定理与无理数】 【典例3】如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 【变式1】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的点表示无理数，利用勾股定理求出，根据点表示的数是求出点表示的数即可． 【详解】解：由图可知，，， ， ， 点表示的数是． 故选： B． 【变式2】如图，在数轴上点表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长． 首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定的值． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 【变式3】如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 【题型4利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例4】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 【变式1】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式2】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型5勾股定理的证明方法】 【典例5】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【答案】（1）方法一：；方法二：；推理见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示，进而得到等式即可； （2）利用全等三角形的性质，得出是直角三角形，再用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】解：（1）方法一：； 方法二：； 整理得：，即． （2）证明：由已知可得，， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 【变式1】面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理；结合两个全等的直角三角形，分别列出的式子，再结合，列出等式即可求出结果． 【详解】解：根据题意可得， 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． 因为，易得在中，边上的高与相等， 所以， 所以． 因为， ， 所以， 所以， 整理，得． 【变式2】如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 【变式3】如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 证明，得出，根据，，的面积分别为，和，梯形的面积为，得出，再化简即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为， ∴， ∴， 化简，得． 【题型6以弦图为背景的计算题】 【典例6】[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可知小正方形的边长，根据正方形面积公式计算即可； （2）由题意可知,，由勾股定理得，求出，进而计算即可. 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可知小正方形的边长， ∴， ∴图①中小正方形的面积为； （2）解：由题意可知,， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴这个风车的外围周长为． 【变式1】如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据大正方形的面积和勾股定理可判断；根据小正方形的面积和四个直角三角形全等可判断；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，可判断；利用完全平方公式先求得，进而可判断． 【详解】解： 大正方形的面积是， 大正方形的边长是， 利用勾股定理可得， 故说法正确，符合题意； 小正方形面积为， 小正方形的边长是， 四个直角三角形全等， ， ， 故说法正确，符合题意； 根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， 即，化简得，  故说法正确，符合题意； ， ， ， ， 故说法不正确，不符合题意； 综上所述，说法正确的是． 故选：B ． 【变式2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 【变式3】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 1．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：B 3．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质与勾股定理解三角形，求解出中间直角三角形的一条直角边和斜边是解决本题的关键． 根据图示中正方形的面积分别为25和16，可求解这两个正方形的边长，再由勾股定理即可求解另外一条直角边，由此可计算字母B所代表的正方形的面积． 【详解】解：由图示可知，正方形的面积分别为25和16， ∴可知这两个正方形的边长分别为5和4， ∵中间的三角形为直角三角形，一条直角边为4，斜边为5， ∴由勾股定理可知，字母B所代表的正方形的边长为， ∴字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 5．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：B． 6．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 7．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 【答案】17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 8．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题在直角三角形背景下考查了正方形面积的计算，熟练掌握面积公式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由图可知小正方形边长为：， 小正方形面积为：， 故答案为：1． 9．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 先用勾股定理求长度，再求即可． 【详解】解： 在中， 同理， 故答案为：． 10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 11．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 12．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 【答案】48 【分析】利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，， ， 故答案为：48 【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的计算是解题的关键． 13．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质得，，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：，，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 15．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 16．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中根据勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴． 在中， ． 在中， ． 17．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式．首先根据勾股定理求出的斜边的长度，再根据三角形的面积公式得到等式，把、、代入即可求得的长． 【详解】解：如图所示 在中，，，， 由勾股定理得 ， 中，为斜边上的高， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $