专题03 勾股定理的应用（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题03 勾股定理的应用（九大题型） 【题型1勾股定理与折叠问题】......................................................................................1 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】.................................................................5 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】..........................................................8 【题型4求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】..............................................................10 【题型5解决航行问题(勾股定理的应用)】......................................................................12 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】..............................................................18 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】...........................................................22 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】.......................................................30 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】..........................................................................33 【题型1勾股定理与折叠问题】 1．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 2．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 3．如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．由折叠的性质得：，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵将沿翻折与重合， ∴， ∵， ∴， ∵∠C=90°， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理计算出，由折叠的性质得出，，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 所以． 由折叠的性质可知，， 所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； 【详解】解：（1）在中，， 答：长为； （2）， ， 在中，， ， 答：的长度为． 2.（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)24米 (2)能 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． （1）先说明，再根据勾股定理求出的长即可； （2）设米，运用勾股定理求得的长，然后与云梯长度的比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． 答：的长为24米． （2）解：设米，则． ∵， ∴能达到． 3.（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为. （2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处， 则， 则， ∴ 4.（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度， 他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高米． (1)求风筝的高度． (2)过点作，垂足为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)12米 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得： （米， 所以（米． 答：风筝的高度为米． （2）解：由等积法知：， 解得：（米． 答：的长度为12米． 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 2.（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池里水的深度为尺，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水池里水的深度为尺，则芦苇的长度为尺， 由题意可得，， 解得， ∴水池里水的深度为尺， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【答案】芦苇长13尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 首先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：设水池的深度为尺， 由题意得： 解得：， 则， 答：芦苇长13尺． 【题型4求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 【答案】1400 【解析】略 3.（2023八年级上·全国·专题练习）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答． 【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米）， ∴（米）， 则需要7米的地毯 故答案为：7 4.（23-24七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【题型5解决航行问题(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)点与点之间的距离为50海里 (2)有0.7小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离； （2）过点作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：由题意，得：，； ； 海里，海里； （海里）， 即：点与点之间的距离为50海里； （2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有0.7小时可以接收到信号． 2.（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 3.（24-25八年级上·河北保定·期中）现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置， 所以， 在中，， 所以快艇距离岸边还有； （2）解：因为在中，， 所以， 所以， ， 所以绳子被收上来． 4.（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握． （1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离； （2）证明，根据即可求解． 【详解】（1）如图，由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 答：A，C两岛之间的距离是； （2）又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C岛在A岛北偏西的方向上． 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】 1.（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 2.（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 3.（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 4.（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为 ， ∴此车超过的限制速度． 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 1．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 2．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】会受到影响，影响时间为4分钟 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积等知识，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段）的长度是解题的关键．在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法可求出的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线上点到点的距离为，连接，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴学校会受到影响． 设直线上点到点的距离为，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴受影响时间为（分钟）， 答：学校会受到影响，受4分钟影响． 3．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 4．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】(1) (2)会受到影响，时长4分钟 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，读懂题意，根据勾股定理知识解题是做题的关键； （1）过点C作于D，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等面积法求解即可； （2）当时，正好影响C学校，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，再根据速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． 5．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 【答案】(1)A市受到这次台风影响，理由见解析 (2)A市所受的最大风力是7级，市受到台风影响的时间为小时 【分析】（1）过A作于点D，利用含30°角的直角三角形的性质求得的长度，再根据题意计算出受台风影响的半径，即可解答； （2）由的长度可求得台风中心在D处时，A处的风的级别，从而确定受到的最大风力．再在上取使，而于，可得；，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：过A作于点D． ∵在直角中， ， ， 由题意知：受台风影响范围的半径为， ∴A市受到这次台风影响． （2）解：当台风中心位于点D处时，A市所受风力最大， 风力为（级） 故A市所受的最大风力是7级． 如图，由（1）可得：受台风影响范围的半径为， 在上取使，而于， ∴； ∴， ∴（小时）； ∴市受到台风影响的时间为小时． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，理解题意，构建图形解题是解本题的关键． 6．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿方向移动，A到的距离，在距台风中心的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 【答案】(1)小时 (2)4小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键． （1）根据勾股定理求得的长，再计算时间即可得结论； （2）根据题意求出的长即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得：在中，， 则， 台风中心以每小时20的速度沿方向移动， （小时）， 答：台风中心经过小时将到达D点； （2）解：如图所示：当，则， 故， 则（小时）． 答：A城受这次台风的影响的时间为4小时． 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 1.（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 【答案】E站应建在离A地的地方 【分析】本题考查勾股定理，根据设，则，利用勾股定理结合C，D两村到E站距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：， 答：E站应建在离A地的地方． 2.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点 千米处． 3.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】 1．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 2．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 4．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用——最短路径问题，根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：圆柱体的底面周长为，高， 把圆柱侧面沿展开，得到长方形，如图， ， ， 故答案为：． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 1．一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为2AB，据此分析解答．本题考查了平面展开 - 最短路线问题，关键是能理解题意知道求出哪一条线段长． 【详解】解：展开后图形是： ∵底面周长为12cm，高18cm， ∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（）， 故答案为：30． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的应用（九大题型） 【题型1勾股定理与折叠问题】......................................................................................1 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】.................................................................2 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】..........................................................4 【题型4求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】..............................................................5 【题型5解决航行问题(勾股定理的应用)】......................................................................6 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】..............................................................9 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】...........................................................11 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】.......................................................14 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】..........................................................................15 【题型1勾股定理与折叠问题】 1．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 2．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 3．如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 4．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 5．如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 2.（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 3.（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 4.（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度， 他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高米． (1)求风筝的高度． (2)过点作，垂足为，求的长度． 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 2.（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 3.（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【题型4求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 3.（2023八年级上·全国·专题练习）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    4.（23-24七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【题型5解决航行问题(勾股定理的应用)】 1.（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 2.（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 3.（24-25八年级上·河北保定·期中）现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 4.（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】 1.（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 2.（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 3.（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 4.（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 1．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 2．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 3．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 4．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 5．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 6．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿方向移动，A到的距离，在距台风中心的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 1.（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 2.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 3.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】 1．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 2．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 4．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 1．一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $