专题02 勾股定理的逆定理（四大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题02 勾股定理的逆定理（四大题型） 【题型1勾股树(数)问题】....................................................................................................1 【题型2判断三边能否构成直角三角形】.............................................................................1 【题型3在网格中判断直角三角形】.....................................................................................2 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】.................................................................................4 【题型1勾股树(数)问题】 1．下列各组数为勾股数的是（　　） A．1，2，5 B．15，8，17 C．9，12，13 D．0.3，0.4，0.5 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 3．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 4．下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 1.（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列由、、组成的三角形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若、、为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.（24-25八年级上·陕西西安·期末）以下列各组数为边，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．8，15，17 D．9，24，25 4.（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型3在网格中判断直角三角形】 1.（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 2.（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． (1)若与关于x轴成轴对称，画出； (2)①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 3.（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 4.（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 1.（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 2.（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： (1)的度数； (2)四边形的面积． 3.（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，求的长是多少？ 4.（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形内，正方形边长为13，，，求阴影部分的面积是多少？ 5.（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 6．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果两点同时出发，则过4秒时，的面积为（） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理的逆定理（四大题型） 【题型1勾股树(数)问题】....................................................................................................1 【题型2判断三边能否构成直角三角形】.............................................................................3 【题型3在网格中判断直角三角形】.....................................................................................5 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】..................................................................................9 【题型1勾股树(数)问题】 1．下列各组数为勾股数的是（　　） A．1，2，5 B．15，8，17 C．9，12，13 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行检验即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B正确； C、，故选项C错误； D、，但不都是正整数，故选项D错误． 故选：B． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股数的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C．∵，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选C． 3．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 4．下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、,不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 5．下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，正确记忆勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合勾股数的定义； B、0.3，0.4，0.5不是整数，不符合勾股数的定义； C、，，，，不符合勾股数的定义； D、，符合勾股数的定义； 故选：D． 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 1.（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列由、、组成的三角形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； B、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； C、，故线段、、组成的三角形是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意； D、，故线段、、组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 2.（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若、、为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“”判定三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符题意； C、，能构成直角三角形，不符题意； D、，能构成直角三角形，不符题意； 故选：A． 3.（24-25八年级上·陕西西安·期末）以下列各组数为边，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．8，15，17 D．9，24，25 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可，熟记常见的勾股数可以快速解题． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 4.（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【题型3在网格中判断直角三角形】 1.（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 2.（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． (1)若与关于x轴成轴对称，画出； (2)①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）按照画轴对称图形的方法作图即可； （2）①由勾股定理及其逆定理即可得出结论；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 由勾股定理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； ②的面积， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，勾股定理与网格问题，在网格中判断直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称及画轴对称图形的方法是解题的关键． 3.（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 4.（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)13、52、65； (2)是直角三角形，证明见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为：13、52、65； （2）解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 1.（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【答案】(1)是；见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； （2）解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 2.（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： (1)的度数； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积． （1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数； （2）由（1）可知和是直角三角形，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知和是直角三角形， ∴ ． 3.（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，求的长是多少？ 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，等面积法求高，掌握勾股定理，等面积法的计算是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴是的高， ∵， ∴， ∴的长为． 4.（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形内，正方形边长为13，，，求阴影部分的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵正方形边长为13， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴阴影部分的面积． 5.（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 答：蔬菜区边的长为； （2）解：∵，，， ∴，而， ∴， ∴， 花卉区的面积为：． 答：花卉区的面积为． 6．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ∴满足， ∴是直角三角形且． ∴零件的面积 ． 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果两点同时出发，则过4秒时，的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，解一元一次方程，三角形的面积公式等知识， 首先设为，为，为，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再求出秒后的，，的长，利用三角形的面积公式计算求解，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设为，为，为， ∵周长为， 即 解得： 是直角三角形， 过秒时， ， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $