专题03 空间向量及其应用(5考点55题）（高效培优期中专项训练）数学沪教版高二选择性必修第一册

专题03空间向量及其应用 考点01空间向量及其基本定理 考点02空间向量的坐标表示 考点03利用空间向量判断位置关系 考点04利用空间向量求距离 考点05利用空间向量求夹角 考点01空间向量及其基本定理 1．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】 ． 故选：B 2．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 3．如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加法法则可得答案. 【详解】由. 故选：C 4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底定义以及空间向量共面定理对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】依题意不共面， 对于A，假设存在实数满足，显然， 由共面定理可知共面，即A错误， 同理对于B，易知存在，使得，因此共面，即B错误； 对于C，假设存在实数满足， 此时需满足，显然此方程组无解， 即不存在满足题意的，因此不共面，即C正确； 对于D，易知存在，使得， 因此共面，即D错误； 故选：C 5．在直三棱柱中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用棱柱的结构特征及向量的加减法则，应用空间向量的基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】根据棱柱的结构特征及向量的加减法则知 . 故选：B 6．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B. 7．设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由，可得， 即，因为，所以四点不共面. 故选：B 8．如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则 ．    【答案】24 【分析】根据题意，设的中点为，连接，由空间向量的运算结合四点共面定理代入计算，即可得到结果. 【详解】如图，设的中点为，连接．    因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得． 故答案为： 9．如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：    （1）的共线向量（平行向量）为 ； （2）模为的向量是 ； （3）向量，， .（填“共面”或“不共面”） 【答案】 ，，， ，，，，，，， 不共面 【分析】利用共线向量的定义直接判断第一空；求出长方体左、右两侧的面的对角线长度，直接判断第二空；利用共面向量的定义判断第三空即可. 【详解】（1）的共线向量（平行向量）为，，，. （2）由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为， 故模为的向量有，，，，，，，. （3）因为，向量，，有一个公共点， 而点，，都在平面内，点在平面外， 所以向量，，不共面. 故答案为： ，，，； ，，，，，，，；不共面. 10．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 11．如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    【答案】 【分析】结合图象根据向量加减法得出的表达式，根据向量模长公式得出的表达式，再根据平行六面体的性质结合已知条件计算得出相应的向量数量积与模长值，最后代入的表达式求解． 【详解】如下图所示：   ， 平行六面体棱长均为1， ， 又 ，，， ． 故答案为：． 12．如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 【答案】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 13．如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【详解】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以.    15．如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：过点作平面，垂足为，连接，再过点作于点，作于点，证明是的平分线，证明平面，得，所以,从而可计算面积； 方法二：令，，，用向量法证明，再计算面积； （2）在（1）方法二基础上由空间向量法计算异面直线所成的角． 【详解】（1）法一：过作平面，垂足为， 过作于，连，则， 作于，连，则， 又， ∴，， ∴，从而在平分线上， ∵是正三角形， ∴， 由，平面， 知平面， 平面， ∴， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴四边形的面积为； 法二：令，，，则，， ，， ， ∴， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴四边形的面积为；    （2）如图，连接， 由（1）方法二得， ，    所以， ， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 考点02空间向量的坐标表示 16．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 17．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 18．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的定义直接求解即可. 【详解】已知向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 19．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 20．在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标公式，求直线夹角的余弦值. 【详解】，， 设直线所成角为， . 故选：B 21．已知空间向量，若，则 【答案】16 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 22．已知向量，若与互相垂直，则 ． 【答案】或 【分析】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立方程，计算即可求解. 【详解】因为， 故，， 若与互相垂直， 则，即，解得或. 故答案为：或. 23．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 24．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可. 【详解】（1）， ， 设， ， 的值为2． （2）由（1），则， ， ， ． 25．已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知得，应用向量数量积的坐标运算求结果； （2）首先求得，再由向量平行的坐标表示列方程求参数值，最后应用向量减法、模的坐标运算求结果； （3）应用向量加减的坐标运算求，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，即， 所以，则； （3）由（1）， ， 由，则， 所以，则. 考点03利用空间向量判断位置关系 26．已知，，平面的一个法向量为，若 平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面，且平面的一个法向量为，由求解. 【详解】因为，，所以， 又因为平面的一个法向量为，且平面， 所以，则，即， 故选：D 27．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可. 【详解】对于A，因为，不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，，故A正确； 对于B，由法向量与方向向量的定义得，或，故B不正确； 对于C，因为，为平面的法向量，所以，故C不正确； 对于D，由平面法向量与平面的位置关系可得，，故D不正确． 故选：A． 28．已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 【答案】C 【分析】由题意为直线与所成的角，即可判断A；举反例判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证线线垂直和线面平行判断B、D. 【详解】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 29．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为： 30．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    【答案】/ 【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分析边界直线并计算区域的面积最大值. 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，   , 线段EF满足，     设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，    所以区域的面积最大值是. 故答案为： 31．如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题： ①四棱锥的体积为20； ②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； ③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面； ④存在唯一的点E，使得平面，且. 其中正确的是 （填写所有正确的序号）. 【答案】①②④ 【分析】由给定条件可得是平行四边形，求出三棱锥体积可判断①；求出中的最小值可判断②；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算可判断③，④即可作答. 【详解】平面与棱交于点F，连接，如图， 在长方体中，平面平面，平面平面，平面平面， 则有，同理，因此，四边形是平行四边形， 而平面，所以四棱锥的体积 ，①正确； 因截面四边形是平行四边形，则周长为， 把矩形与矩形展开在同一平面内，如图， 连接交于E，从而得的最小值为，显然点E唯一， 所以存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值，②正确； 在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点，，， 令是平面的一个法向量，则，令得， 设AD上点，而，， 当平面时，有，即，， 由得，则有， 即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含点）上移动时，在棱AD上均存在点G，使得平面， 当时，，此时点G在线段AD的延长线上， 即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含两个端点）上移动时，在棱AD上不存在点G，使得平面，③不正确； 由③中信息知，要有平面，必有， 而，因此，，解得， 所以存在唯一的点E，使得平面，且，④正确. 故答案为：①②④ 32．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证： (2)求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可证得； （2）由（1）知，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为，所以，即. （2）由（1）知：，可得， 所以的长为. 33．已知正方体的棱长为2，且P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，现以A为坐标原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向，为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    (1)证明：； (2)判断直线PQ与直线DF是否相交？若相交，求出交点坐标；若不相交，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不相交，理由见解析 【分析】（1）先求出向量，的坐标，结合空间向量的数量积的坐标表示求证即可； （2）求出直线PQ与直线DF上的点的坐标，建立方程求解判断即可. 【详解】（1）证明：由题意可得，，，，， ，，， 由于P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，故，， 则，， 则，即， 故． （2）不相交，理由如下： 由（1）知， ，，， 假设PQ与DF相交，设实数t，s，则直线PQ上的点的坐标为， 直线DF上的点的坐标为， 若直线PQ与直线DF相交，则存在t，s，使， 即，该方程组无解，故PQ与DF不相交.    34．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 35．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 考点04利用空间向量求距离 36．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 37．如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 38．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：D 39．已知正方形的边长为4，平面，，，分别是，的中点，点到平面的距离为 ．    【答案】. 【分析】根据题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，写出，，，的坐标，求出平面的法向量和，利用点到平面的距离求解即可. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以有， 设平面的法向量是，则 ， 取，则，，所以， 所以点到平面的距离为． 故答案为：．    40．如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 . 【答案】/ 【分析】可用等体积法求点到平面的距离，或直接建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离. 【详解】由题可知：平面平面,所以 所以,,, 所以,所以. 所以. 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为平面,所以平面,. . 因为,所以, 所以. 故答案为：. 方法二：如图所示， 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为侧面是矩形，取的中点F，连接,则. 因为侧棱平面，所以平面,所以两两垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 据题意可知， 则 设平面AB1D的一个法向量是 所以,所以, 令,则,所以. 因为,所以点C到平面AB1D的距离. 故答案为： 41．如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 42．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 43．在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间中两点间的距离公式求解即可. （2）根据向量和直线的方向向量的关系可求出点M到直线l的距离． 【详解】（1）因为点，点， 所以. （2）因为点，点，所以，   过点M作直线l的垂线，垂足为Q，，   点M到直线l的距离．    44．如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 45．已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为平面平面，所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求解点面距离，即可得解. （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，先利用向量法判断，然后利用平行线的向量距离公式求解即可； （ⅱ）求出平面的法向量，先利用向量法证明平面，然后利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】（1）在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，平面， 所以平面平面. 所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离． 以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则 令，得故是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离， 即平面与平面之间的距离为． （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． 所以，，则，即，则， 所以直线到直线的距离可转化成点到直线的距离． 连接，因为， 所以点到直线的距离， 所以直线到直线的距离为． （ⅱ）易得，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，得是平面的一个法向量． 因为，所以，又平面，所以平面， 所以直线到平面的距离可转化成点到平面的距离． 因为，所以直线到平面的距离． 考点05利用空间向量求夹角 46．如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用异面直线所成角的向量解法求解. 【详解】连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，． 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则． 故选：D. 47．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】先建系，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式结合余弦函数单调性判断即可. 【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系． 设所有棱长均为2， 则，， ， ，设平面BDE法向量， 则， 令，则， 故． 又平面的法向量， 故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大． 故选：D． 48．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A．    49．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足 平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据 平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示．    连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则， ， 所以 ． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 50．如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】先作出平面截正方体的截面为六边形，并得到平面与平面的交线为，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为6，写出点的坐标，平面的一个法向量为，利用公式先求出线面角的正弦值，进而求出余弦和正切值. 【详解】设直线与直线分别相交于点， 连接并延长，交于点，交的延长线与点， 连接，交于点，交于点，连接， 其中与相交于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 设与相交于点，连接，则平面与平面的交线为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为6， 因为为的中点，，， 所以，， 因为，所以，故， 故，所以，解得， 故，同理可得， 故， 显然平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故，. 故答案为： 51．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有 . ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 【答案】②③④ 【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于①，平面的法向量可取为，， 设与平面所成角为，则，故①错误； 对于②，，， 设与所成角为，则，故②正确； 对于③，因，与同方向的单位向量为， ，则点到直线的距离为，故③正确； 对于④，设平面的法向量为，， 则，故可取， 由可得平面，则和平面的距离即点到平面的距离， 由，则点到平面的距离为，故④正确. 故答案为：②③④ 52．如图，在三棱锥中，平面平面，，，E，M分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线的性质及线面平行的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式及正余弦函数的平方关系得解. 【详解】（1）因为E，M分别为棱，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）取中点为，连接， 由可知，， 因为平面平面，是交线，平面， 所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 因为平面平面，是交线，，平面, 所以平面，故平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 53．如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. (1)求证：； (2)当时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直和线面垂直的相互转化即可得出； （2）可以直接作出线线角，然后再用余弦定理计算得出，也可以直接用空间向量来求线线角. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为是的直径，所以， 又，且，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，且，，平面，所以平面， 因为平面，所以. 故. （2）解法一：因为，所以在等腰直角三角形中，，得. 又在直角三角形中，，得. 因为为等腰直角三角形，M为的中点，且，得，所以， 取的中点为S，连接，则，且， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 在中，，，，所以， 故直线与直线所成角的余弦值为. 解法二：当时，，分别是和的中点，所以. 又与所在的平面垂直，所以平面，平面，所以. 此时，，两两垂直. 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图： 得，，，， 故，. 则， 故直线PC与直线AM所成角的余弦值为. 54．如图，四棱锥中，底面，．    (1)若平面，证明：； (2)若四点共圆，且二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由线面平行的性质定理，证得，得到平面，进而证得. （2）以为原点，过点平行的直线为轴，建立坐标系，设，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为， 可得，所以， 又因为底面，且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，平面，且平面平面， 所以，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：由（1）知，因为四点共圆，可得， 以为原点，以所在直线分别为轴和轴，过点平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则， 设，则，即， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为二面角的余弦值为， 可得，解得， 因为，所以，即的长为.    55．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03空间向量及其应用 考点01空间向量及其基本定理 考点02空间向量的坐标表示 考点03利用空间向量判断位置关系 考点04利用空间向量求距离 考点05利用空间向量求夹角 考点01空间向量及其基本定理 1．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 6．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则 ．    9．如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：    （1）的共线向量（平行向量）为 ； （2）模为的向量是 ； （3）向量，， .（填“共面”或“不共面”） 10．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 11．如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    12．如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 13．如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 15．如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 考点02空间向量的坐标表示 16．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 17．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 18．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 19．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 20．在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．已知空间向量，若，则 22．已知向量，若与互相垂直，则 ． 23．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 24．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 25．已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 考点03利用空间向量判断位置关系 26．已知，，平面的一个法向量为，若 平面，则（    ） A． B． C． D． 27．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 29．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 30．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    31．如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题： ①四棱锥的体积为20； ②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； ③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面； ④存在唯一的点E，使得平面，且. 其中正确的是 （填写所有正确的序号）. 32．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证： (2)求的长； 33．已知正方体的棱长为2，且P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，现以A为坐标原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向，为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    (1)证明：； (2)判断直线PQ与直线DF是否相交？若相交，求出交点坐标；若不相交，请说明理由． 34．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 35．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 考点04利用空间向量求距离 36．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 37．如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（   ） A． B． C． D． 38．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 39．已知正方形的边长为4，平面，，，分别是，的中点，点到平面的距离为 ．    40．如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 . 41．如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 42．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 43．在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 44．如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 45．已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 考点05利用空间向量求夹角 46．如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 47．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 48．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 49．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足 平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    50．如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ． 51．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有 . ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 52．如图，在三棱锥中，平面平面，，，E，M分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 53．如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. (1)求证：； (2)当时，求直线与直线所成角的余弦值. 54．如图，四棱锥中，底面，．    (1)若平面，证明：； (2)若四点共圆，且二面角的余弦值为，求． 55．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $