专题03 空间向量及其应用（3大考点20题）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 空间向量专题汇编，精选上海多所中学期末/调研题20道，覆盖空间向量运算、坐标表示及应用3大考点，基础题与综合解答题结合，适配高二期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|3|方向向量夹角（考点01）、法向量与线面关系（考点03）|基础概念辨析，如异面直线方向向量夹角判断| |填空|8|正方体向量运算（考点01）、坐标表示（考点02）|结合正方体、正四面体模型，如棱长为1的正方体中异面直线成角范围| |解答|9|投影向量（考点02）、二面角计算（考点03）|分层设计，如四棱锥中面面夹角余弦值（基础）、正方体中动点线面角最大值（综合），源自上海名校真题|

专题03 空间向量及其应用 （3大考点20题） 3大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量的坐标表示 考点03空间向量及其应用 一、单选题 地 城 考点01 空间向量及其运算 1．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 3．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 4．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 5．(24-25高二下·上海宝山区·期末)在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________.    一、填空题 地 城 考点02 空间向量的坐标表示 6．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)正方体中，________．（用、、表示） 7．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知向量平行于向量，求_______，_______. 8．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)设点的坐标为，点关于平面的对称点是__________． 二、解答题 9．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 10．(24-25高二下·上海宝山区·期末)如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 一、单选题 地 城 考点03 空间向量及其应用 11．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 12．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 二、填空题 13．(23-24高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为__________． 三、解答题 14．(24-25高二下·上海虹口区·期末)如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 15．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 16．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 17．(24-25高二下·上海宝山区·期末)如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 18．(23-24高二下·上海洋泾中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 19．(23-24高二下·上海金山中学·期末)如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 20．(23-24高二下·上海闵行区·调研)已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.    (1)求直线与所成的角的大小； (2)求直线与平面所成的角的大小. / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03空间向量及其应用 (3大考点20题) 目目 考点01 空间向量及其运算 1.D 2.(别 3.5 1 4.-5a2 8 7 5. 12 目目 考点02 空间向量的坐标表示 6.AB+AD+AA 1 7. -6 3 8.（x,y,-z 9.(1)d (2)四点A、B、C、D不共面，理由如下： 因为AD=(4,4,3,AB=2,1,1,AC=1,0,1, 「4=2λ+u 设AD=入AB+uAC，,即 -4=入，该方程组无解， 3=入+4 所以四点A、B、C、D不共面 10.(1)2,2,3) (20(4,24或(-4，-2，-4；②64 目目 考点03 空间向量及其应用 11.A 12.A 13. [π5π 12'12 14.(1)设AD中点为0，连接N0,MQ, / 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以NQ∥PA,MQ∥BA, 因为NQ丈平面PAB,MQ女平面PAB, PAC平面PAB,ABC平面PAB, 所以NQI∥平面PAB,MQ∥平面PAB, WQc平面NQM,Mgc平面NQM,且NQ∩MQ=Q, 所以平面NQM∥平面PAB,因为MNc平面NQM,所以MN∥平面PAB (23V29 29 1 15.(1)∠QAB=arctan- (2② 3 16.(125 15 a 17.(1)因为G=GA+4B+BF且GA=-AD+A), BF-BC+CF-AD+CC-+ 所以际=而+网列+B+而+号=而+丽， 因此G示与AD,AB共面； (2②areos6 (③)DG=DA+上DD,时，GE与平面BDF所成的角取得最大值 5 5 18.(1)PD⊥平面ABCD,BCc平面ABCD, .BC⊥PD, 又BC⊥DC,PDODC=D,PD,DCc平面PDC, :BC⊥平面PDC,又MDc平面PDC, 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 MD⊥BC, RtAPDC中，PD⊥DC,PD=DC,M为PC的中点，：MD⊥PC, :PCOBC=C,PC,BCc平面PBC,MD⊥平面PBC, :PNc平面PBC,MD⊥PN. (3)6 3 19.(①6 (2 4 2V5 20.(1)arccos 5 (2)arc sin 3V5 7 专题03 空间向量及其应用 （3大考点20题） 3大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量的坐标表示 考点03空间向量及其应用 一、单选题 地 城 考点01 空间向量及其运算 1．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 二、填空题 2．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 4．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 5．(24-25高二下·上海宝山区·期末)在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________.    【答案】 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 一、填空题 地 城 考点02 空间向量的坐标表示 6．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)正方体中，________．（用、、表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 7．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知向量平行于向量，求_______，_______. 【答案】 【分析】根据空间向量坐标运算的性质求解即可. 【详解】由题意，设， 则，解得，. 故答案为：；. 8．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)设点的坐标为，点关于平面的对称点是__________． 【答案】 【分析】根据点的对称性质求解即可. 【详解】点关于平面的对称点是. 故答案为：. 二、解答题 9．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1) (2)四点不共面，理由见解析 【分析】（1）由关系式求解即可； （2）判断是否存在唯一实数，使成立即可； 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 10．(24-25高二下·上海宝山区·期末)如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求； （2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可. 【详解】（1）设向量在基下的坐标为， 则 因为 可得方程组，解得 所以向量在基下的坐标为. （2）①向量在基下的坐标为， 即 则. 因为向量与共线，可设， 解得， 所以在基下的坐标为或. ②， 因为与的夹角为锐角，从而，所以， 在上的投影大小为 以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥， 该圆锥的半径， 两个圆锥高值和为， 所以旋转体的体积为 一、单选题 地 城 考点03 空间向量及其应用 11．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 12．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 二、填空题 13．(23-24高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为__________． 【答案】 【分析】不妨设相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值，可得答案. 【详解】设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为， 不妨设相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为， 轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面； 大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上．    由题意，，可知, 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为； 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，最大值为， 所以，与与所成角的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 14．(24-25高二下·上海虹口区·期末)如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设中点为，连接，，通过证明平面平面可得证面； （2）设中点为，中点为，以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立坐标系，利用空间向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）设中点为，连接，， 因为M、N分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 平面，平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以平面.    （2）设中点为，中点为，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，进而，因为四边形是正方形，所以， 以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，为中点，所以. 设平面的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为.    15．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用线线平行得出异面直线所成角，再应用正切计算求角； （2）建立空间直角坐标系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解. 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离． 16．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据异面直线夹角的向量求法即可求解； （2）求出平面的一个法向量，利用点到面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1） 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为. 17．(24-25高二下·上海宝山区·期末)如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)时，与平面所成的角取得最大值. 【分析】（1）计算出，得到与共面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而利用夹角余弦公式得到平面与平面所成的锐二面角的大小； （3）在（2）基础上，根据点到平面的距离得到方程，求出，设与平面所成角为，计算出，此时，结合正弦函数单调性得到结论. 【详解】（1）因为且， ， 所以， 因此与共面； （2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为； （3），， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值. 18．(23-24高二下·上海洋泾中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 19．(23-24高二下·上海金山中学·期末)如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解. 【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为 因为为的中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以．又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度. 易知平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则二面角的正弦值为. 20．(23-24高二下·上海闵行区·调研)已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.    (1)求直线与所成的角的大小； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系标点，利用空间向量求异面直线的夹角； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）由题意可知：为等边三角形，且分别是的中点， 则，且∥，可得， 又因为平面， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成的角的大小. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角为. / 学科网（北京）股份有限公司 $