专题01 空间直线与平面(5考点50题）（高效培优期中专项训练）数学沪教版高二必修第三册

专题01空间直线与平面 考点01平面及其基本性质 考点02直观图的画法 考点03直线与直线的位置关系 考点04直线与平面的位置关系 考点05平面与平面的位置关系 考点01平面及其基本性质 1．下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 2．已知四面体，若点，，，到平面的距离，，，满足，则这样的平面的个数为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 【答案】D 【分析】分别讨论点，，，与平面的位置关系，根据已知的距离的比例关系确定平面的个数. 【详解】当点，，，在平面的同侧时，如下图： 分别延长到，使得，，. 则平面满足.且这样的平面只有1个. 当点，，，中有1个点在平面的一侧，另外三点在平面的另一侧时： 如下图： 在线段上分别取点，使得，，，再取的中点， 则平面，平面，平面，平面，均满足，这样的平面有4个； 若点有两点在平面的一侧，另两点在平面的另一侧，则平面，平面，平面满足，这样的平面有3个. 综上可知：满足条件的平面有8个. 故选：D 3．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 4．已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 5．如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 6．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据平面的性质与公理找出截面，进行求解即可. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 则四边形即为所求截面图形,如图， 因为为的中点，由相似比可知为的中点， 则，因为，分别为，中点， 所以， 所以，， 同理，， 所以周长为. 故答案为：. 7．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为 . 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 8．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 9．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【分析】过点作的平行线即可. 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 10．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 考点02直观图的画法 11．如图，已知的平面直观图是等腰直角，且，，则的面积是（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据直观图的画法求出原图形的长度即可求出面积. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以，且，， ，所以原平面图形的面积是. 故选：A． 12．如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求得原图形三角形中的值，再根据斜二测画法的规则进而求得. 【详解】画出的原图为直角三角形，且， 因为，所以，所以. 故选：B 13．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴， ，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理可求得，根据斜二测画法得到原图形边长即可． 【详解】因为其中轴，轴， 所以，由余弦定理得， ， 即，解得， 由斜二测画法知原为直角三角形，，， ， 所以周长为． 故选：A． 14．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ）    A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据题设条件及斜二测画法确定原图中相关线段长，比较即得. 【详解】将直观图还原为原图，如图，    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，而， 所以原四边形ABCD中最长边为6. 故选：D 15．如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为 .    【答案】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算可得. 【详解】    如图，将直观图还原成平面图， 则，，， 所以， 所以边的实际长度为. 故答案为：. 16．一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．    【答案】8 【分析】由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 【详解】根据斜二测画法还原图形，根据直观图可得正方形的对角线的长为， 所以原图形中对应线段的长度为. 如图所示：    所以原图形中平行四边形的一条边的边长为：. 所以周长为：. 故答案为：. 17．如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为 ． 【答案】2 【分析】由斜二测画法进行求解即可． 【详解】在直观图中，等腰直角三角形，且斜边， 得，， 在原平面图形中，如图所示： 则， 则在原平面图形中，点到的距离为2. 故答案为：2 18．如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 【答案】 2 3 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空由直观图求出原图梯形的相关长度，计算可得. 【详解】根据题意，直观图梯形中，，， 还原原图可得： 则原图中，，，，， 则其面积. 故答案为：；. 19．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 20．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 考点03直线与直线的位置关系 21．在正三棱柱中，已知，D，E分别在棱上，且，，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱上取点G，使得，异面直线BC与DE所成的角为或其补角，结合余弦定理求解即可. 【详解】在棱上取点G，使得，连接BG，CG，如图所示． 由，，所以，， 又，所以且，得四边形为平行四边形 ， 则有，所以异面直线BC与DE所成的角为或其补角． 设，则，， 在中，，， 由余弦定理得． 所以异面直线BC与DE所成角的余弦值为. 故选：A 22．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线线角的求法，将异面直线平移至同一平面内，求得正确答案. 【详解】画出图象如下图所示 根据正方形的性质可知 所以是直线与所成角 由于三角形是等边三角形 所以 即直线与所成的角的大小为 故选： 23．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把正四面体放置在一个正方体中，证得，得到异面直线与所成角，即为直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，利用余弦定理，求得的值，进而得到答案. 【详解】把正四面体放置在一个正方体中，如图所示， 因为点分别是棱中点， 则在正方体中，分别为上下底面正方形的对角线的中点， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角，即为直线与所成角， 设正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得， 因为，所以. 故选：A.      24．如图，过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点A的体对角线或体对角线的平行线，都满足题意 【详解】正方体中，与棱所成的角都相等； 过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱所成的角也都相等. 故这样的直线l可以作4条. 故选：D. 25．若为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（    ） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数条 【答案】D 【分析】根据异面直线距离得概念即可求解. 【详解】过公垂线段中点的双曲面上的直线满足要求． 故选：D. 26．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 【答案】/0.2 【分析】连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可. 【详解】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 则异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：.    27．在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    28．如图，已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则直线与直线所成的角的正弦值为 ．    【答案】 【分析】由异面直线所成角的定义即可求解. 【详解】    由题意垂直且平分，且， 所以三角形为等边三角形， 因为， 所以直线与直线所成的角的正弦值为. 故答案为：. 29．如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】只需证明，且即可，依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行． 【详解】因为在空间四边形中，E，F，G，H分别为、、、的中点， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形． 30．如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接、、，证明出，，可知、是梯形的两腰，即可证得结论成立； （2）连接、、，分析可知、所成的角为或其补角，判断出的形状，即可得解； （3）连接、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线与所成角为，结合余弦定理可求得结果. 【详解】（1）连接、、，如下图所示，    因为、分别为、的中点，所以，， 在正方体中，，， 因为、分别是、的中点，所以，， 因为四边形为平行四边形，所以，， 所以，，所以、是梯形的两腰. 因此直线与相交. （2）连接、、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以、所成的角为或其补角， 易知为等边三角形，故， 因此异面直线与所成的角为. （3）取线段的中点，连接、、，如下图所示：      在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角为， 不妨设正方体的棱长为，则， 同理可得，， 由余弦定理可得. 因此，异面直线与所成角为. 考点04直线与平面的位置关系 31．如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】对于AB选项，若平面、平面成立，则必有、成立，根据题目条件判断这两垂直条件是否成立即可；对于C，由即可得到；对于D，取AC中点H，连接GH，可知面GHF，再和平面EFG比对即可判断． 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． 32．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，证明为平行四边形，结合线面平行判定定理即可作出判断. 【详解】连接交于点，连接，，而分别是的中点，    所以，即，且，即， 则为平行四边形，故， 由平面平面，则平面． 故选：B 33．在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质，依次找到不成立的理由可排除A,C,D，对于B，利用三角形全等证得，结合线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理可证得平面. 【详解】 对于A，若平面，平面，则， 在正方形中，，与过有且仅有一条直线与垂直矛盾，故A错误； 对于B，取中点，连接，易知， 在正方形中，， 与全等， ，则，即. 又平面，平面，， 平面，且， 平面，故B正确； 对于C，若平面，平面，则， 由A分析，此处有矛盾，不可能成立，故C错误； 对于D，若平面，平面，则， 取中点，连接，易知， ，这显然不成立，故D错误. 故选：B. 34．已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（    ） A．平面 B．平面或平面 C．平面 D．平面或平面 【答案】D 【分析】根据空间中的线、面位置关系，和线面平行的性质和判定定理，即可判断结果. 【详解】如图所示， 因为平面，所以存在直线平面，使得， 因为，所以或与重合，此时平面或平面， 当平面时，因为平面且，所以平面， 综上，平面或平面. 故选：D. 35．设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且．下述说法正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则或 D．若与所成的角相等，则 【答案】B 【分析】根据线面关系利用相关平行的判定定理和性质定理可推出B项正确，通过作图推理可逐一排除其他选项. 【详解】对于A，因，由，则有或，故A错误； 对于B，如图所示，因，经过直线和平面内一点A可作一个平面， 使，则，又因，同理可作平面，使，则， 故，又因，则得，因 ，故得，故，即B正确； 对于C，如图，在长方体中，，显然有，但与平面都不垂直，故C错误； 对于D，如图在长方体中，若，取直线为直线， 平面为平面，平面为平面，则直线即直线， 因，故和即b与平面α，β所成的角， 显然，但直线与不垂直，故D错误. 故选：B. 36．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为 .    【答案】/ 【分析】连接，利用正方体的特征，可得平面，依据线面角的定义，可得是直线与平面所成角，再通过计算可求得、，进而可得其正切值. 【详解】连接，因为是正方体，所以平面， 又平面，所以，即是直线与平面所成角，    由题意，正方体的棱长为1，所以， 又是棱的中点，所以，所以， 所以. 故答案为： 37．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角为 （用反三角函数表示）．    【答案】. 【分析】先根据正方体特征得出平面，再根据线面角定义得出是直线与平面所成的角，最后计算边长计算正切即可求解. 【详解】    连接，因为是正方体，所以 平面， 是直线与平面所成的角. 由题意，得. ， . ，. 故直线与平面所成角的大小是. 故答案为：. 38．如图，在正方体中，与平面所成的角等于 . 【答案】/ 【分析】由线面角的定义结合正方体性质即可求解. 【详解】由正方体性质可知，平面， 从而与平面所成的角为， 因为为等腰直角三角形，所以. 故答案为：. 39．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 40．如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取PB 中点M，连接MF、AM，根据几何性质，可得四边形AEFM为平行四边形，进而可得，根据线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据线面垂直的性质、判定定理，可证，结合等腰三角形性质，可证平面PBC，即可得证； （3）根据题干条件，可分别计算PE、BE、CE、DE的长度，结合条件，即可得证. 【详解】（1）证明：取PB 中点M，连接MF、AM， M、F分别为PB、PC的中点， ， ，点在上，， ， 且， 四边形AEFM为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB. （2）证明：，， ， 平面， ， ，平面PAB，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB， ， ，M为PB的中点， ， ，平面PBC，平面PBC， 平面PBC， ， 平面PBC. （3）证明：平面， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 在同一个球面上，且， 为球心， 球心在平面ABCD上. 考点05平面与平面的位置关系 41．已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由面面垂直性质，平行线传递性，线面平行判定定理结合面面平行性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，由，，则与相交或（为两个平面的交线时），故A错误； 对于B，由线面垂直的性质知时，，故B正确； 对于C，当，则或，故C错误； 对于D，若，则与无公共点，则或与异面，故D错误. 故选：B 42．已知平面平面，．下列结论中正确的是（ ） A．若直线平面，则 B．若平面平面，则 C．若直线直线，则 D．若平面直线，则 【答案】D 【分析】A，利用线面平行的判定定理；B，面面垂直没有传递性；C，利用面面垂直的性质定理；D，利用面面垂直的判定定理； 【详解】A，若，，则或，故A错误； B，若，，则或与相交，故B错误； C，若，，，必须，利用面面垂直的性质定理可知，故C错误； D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正确； 故选：D. 43．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 44．正三棱柱中，，点分别是侧棱上的点，则平面与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，由平面夹角的定义可得为所求的角，解三角形求其大小可得结论. 【详解】如图，延长，交于点，连接，则为平面与平面的交线． 因为，所以，又， 所以，故． 因为，所以，， 所以，即 又，所以， 所以． 由正三棱柱性质可得，平面，故平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，又平面， 所以，故为所求的角． 在中，，所以． 故选：A．    45．如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 46．在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用几何法确定二面角的平面角，再利用直角三角形边角关系求出目标值. 【详解】在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得， 在平面内过作于，连接FG，由平面，平面,得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又平面，则平面， 平面,故, 故二面角的平面角，即，依题意，，又，， 因此，所以. 故答案为：1 47．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小    【答案】 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接，    因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角的大小为， 故答案为： 48．已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【详解】如图，    设，取的中点为，连接, 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 49．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 50．如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由条件证明，同理可得，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）由（1）证明，根据线面平行判定定理证明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． （2）由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间直线与平面 考点01平面及其基本性质 考点02直观图的画法 考点03直线与直线的位置关系 考点04直线与平面的位置关系 考点05平面与平面的位置关系 考点01平面及其基本性质 1．下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 2．已知四面体，若点，，，到平面的距离，，，满足，则这样的平面的个数为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 3．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 4．已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 ． 7．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为 . 8．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 9．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 10．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 考点02直观图的画法 11．如图，已知的平面直观图是等腰直角，且，，则的面积是（   ）    A． B． C．1 D． 12．如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴， ，则的周长为（   ） A． B． C． D． 14．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ）    A．2 B． C．4 D．6 15．如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为 .    16．一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．    17．如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为 ． 18．如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 19．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 20．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 考点03直线与直线的位置关系 21．在正三棱柱中，已知，D，E分别在棱上，且，，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 22．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 23．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 25．若为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（    ） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数条 26．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 27．在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 ．    28．如图，已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则直线与直线所成的角的正弦值为 ．    29．如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 30．如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求异面直线与所成角的大小. 考点04直线与平面的位置关系 31．如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 32．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 33．在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 34．已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（    ） A．平面 B．平面或平面 C．平面 D．平面或平面 35．设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且．下述说法正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则或 D．若与所成的角相等，则 36．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为 .    37．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角为 （用反三角函数表示）．    38．如图，在正方体中，与平面所成的角等于 . 39．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 40．如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上 考点05平面与平面的位置关系 41．已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 42．已知平面平面，．下列结论中正确的是（ ） A．若直线平面，则 B．若平面平面，则 C．若直线直线，则 D．若平面直线，则 43．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   44．正三棱柱中，，点分别是侧棱上的点，则平面与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 45．如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 46．在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则 . 47．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小    48．已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为 . 49．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 50．如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $