专题02 常用逻辑用语(3考点30题）（高效培优期中专项训练）数学沪教版高一必修第一册

专题02常用逻辑用语 考点01命题的定义与真假的判断 考点02充分条件与必要条件 考点03反证法 考点01命题的定义与真假的判断 1．已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】根据素数的概念判断命题的真假，再由命题的否定与命题真假的关系得解. 【详解】因为是素数， 所以命题是假命题，是真命题， 所以是真命题，是假命题， 故和都是真命题， 故选：C 2．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 3．下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【分析】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【详解】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 4．下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 【答案】D 【分析】将其改写为“若p，则q”的形式，从而判断A；根据命题的定义判断B；举反例判断C，D； 【详解】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误； 对于B，所给语句是命题，则B错误； 对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误； 对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的概念以及判断命题的真假，属于中档题. 5．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 6．将命题“”改写成“若则”的形式： ． 【答案】若则 【分析】由命题分析出条件和结论，即可写出“若则”的形式. 【详解】由题意可知，条件为角度，结论为对应角的正切值， 所以“若则”的形式为：若则． 故答案为：若则． 7．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断. 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 8．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 9．判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 考点02充分条件与必要条件 11．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】取，满足，但推不出； 当时，一定有成立， 故“”是“”成立的必要不充分条件， 故选：B 12．已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为列不等式，即可求解. 【详解】由于是的充分不必要条件，故且， 所以（端点处等号不能同时成立），得. 故选：A 13．已知均为非零实数，不等式与不等式的解集分别为集合和集合，那么“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 【答案】A 【分析】先根据，赋值说明不能推出，再由“”，结合充分必要条件关系判断. 【详解】若，取，则，，， 所以“”不能推出， 当时，，，若，则，即， 当时，，，若，则，即， 当时，，，不合题意， 当时，，，不合题意， 故可以推出； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，由，得到，故必要性成立，得到答案. 【详解】A选项，充分性，，不妨令，满足， 但此时，，充分性不成立， 必要性，画出的图象，如下： 因为，所以，故，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B 15．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求出和的等价关系，再根据充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】因为等价于，又等价于或， 所以可以推出，但成立不能推出， 故是的充分不必要条件. 故选：A. 16．“且”是“”的 条件.（填“充要”“充分非必要”､“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 【答案】充要 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若且，显然有，即且可以推出， 若，又，所以，即，则可以推出且， 所以“且”是“”的充要条件， 故答案为：充要. 17．“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的 条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分不必要 【分析】根据充分非必要条件的定义，结合矩形以及正方形的性质即可求解. 【详解】若四边形ABCD是正方形，则其对角线相等，故充分性成立， 若四边形ABCD的两条对角线相等，则四边形可能是等腰梯形或者矩形等，故必要性不成立， 因此“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要 18．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出命题相应的集合，根据是的必要条件，列出相应的不等式，即可求得答案. 【详解】由命题知：时，， 则为26的正因数，即为1，2，13，26， 当时，，不合题意舍；当时，； 当时，；当时，； 故命题； 由于是的必要条件，故， 只需满足，即， 即的取值范围是， 故答案为： 19．已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 【答案】(1)存在，； (2)存在，． 【分析】（1）直接根据充分条件的定义可得； （2）直接根据必要条件的定义可得. 【详解】（1）由，得. 若是的充分条件，则，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． （2）若是的必要条件，则，因，所以，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． 20．已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据条件，列出不等式组，可求的取值范围. 【详解】（1）因为是的必要条件，所以 . 所以实数的取值范围为. （2）因为是的充分条件，所以 . 所以实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件， 所以命题所表示的集合是命题所表示的集合的真子集. 由（2）可知，当时，集合. 又因为与不能同时成立（前者解得，后者解得）， 所以两个集合不可能相等. 故是的充分不必要条件的充要条件与是的充分条件等价， 所以实数的取值范围为. 考点03反证法 21．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 22．用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 【答案】B 【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论． 【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角． 故选：B． 23．已知三个不同实数，若命题：①，②，③中只有一个真命题，则最大的数不可能是：（    ）. A． B． C． D．选项不完整 【答案】A 【分析】分别假设①、②、③为真，可推出①、②分别有和，推出③为真时不成立，进而得解. 【详解】假设①为真，则由题意且且，故， 假设②为真，则由题意且且，故， 假设③为真，则由题意且且，矛盾，所以③为真不成立， 所以最大的数不可能是. 故选：A. 24．用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 25．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有两个奇数”正确的反设为（    ） A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c都是偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D 【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求. 【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立， 而命题：“自然数a,b,c中恰有两个奇数”的否定为：3个偶数或2个偶数一个奇数或3个奇数，即“a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”, 故选：D. 26．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 27．用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 28．利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 29．已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【答案】证明见解析 【分析】假设，，，利用不等式的基本性质推出矛盾，结合反证法的原理得出所证结论成立. 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 30．求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】利用反证法，即可证明结论. 【详解】（1）反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； （2）反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； （3）反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02常用逻辑用语 考点01命题的定义与真假的判断 考点02充分条件与必要条件 考点03反证法 考点01命题的定义与真假的判断 1．已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 3．下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 4．下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 5．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 6．将命题“”改写成“若则”的形式： ． 7．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 8．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 9．判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 考点02充分条件与必要条件 11．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．已知均为非零实数，不等式与不等式的解集分别为集合和集合，那么“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 14．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 16．“且”是“”的 条件.（填“充要”“充分非必要”､“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 17．“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的 条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空） 18．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是 . 19．已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 20．已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 考点03反证法 21．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 22．用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 23．已知三个不同实数，若命题：①，②，③中只有一个真命题，则最大的数不可能是：（    ）. A． B． C． D．选项不完整 24．用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 25．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有两个奇数”正确的反设为（    ） A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c都是偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 26．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 27．用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 28．利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 29．已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 30．求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $