暑假预习专题 第5讲 反证法（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第5讲 反证法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反证法 命题的否定形式 反证法的步骤 1. 反证法的思想。 2. 反证法的表达形式。 3. 反证法的证明步骤。 学习重点：了解反证法的思想以及反证法的表达方式。 学习难点：会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用 反证法证明一些典型问题。 1、反证法 （1）证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论； （2）反证法的一般步骤： ①分清命题的条件和结论； ②作出与命题结论相矛盾的假设； ③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； ④断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行；但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ， 有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑 推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 【经典例题】 【例1】命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为________． 【答案】且【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”； 故答案为：且. 【技巧归纳】由或的否定为且，从而可得结果. 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除， 则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除” 反证法应假设a，b都不能被5整除；故答案为：a，b都不能被5整除. 【技巧归纳】根据反证法的步骤填写即可. 【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题； 这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且；故答案为：且 【技巧归纳】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”， 应假设为 【答案】或【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 求得要证命题的否定，可得结果.【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或； 故答案为：或. 【练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明： “若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”，利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数； 故答案为：m、n不都是奇数. 知识点02 反证法的证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的 真实性的论证方法。反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的。反证法是 一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了； 如果有多种，那么必须一一否定。 反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立,则结论成立. 【经典例题】 【例4】若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b,则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立；综上，中至少有一个小于2． 【易错提醒】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾， 以此来证明结论成立． .【例5】（24-25高一上·上海·阶段练习） （1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】解：（1）假设均大于等于，则， 则，且互不相同， ，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，这与均大于等于矛盾， 故假设不成立，则且互不相同时，中至少有一个小于． （2），，，， 则， 故，假设中都小于， 即，，， 即与矛盾， 故中至少有一个不小于． 【易错提醒】（1）先假设均大于等于，则， 再根据基本不等式推出，与假设矛盾，即可证明；（2）先根据已知条件求出，再假设中都小于，求出的范围与已知 矛盾，即得证. 【例6】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个 8元子集．求证：(1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）不妨设，记，，共13个数，假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、 两个6，从而①， 又因为 ，这与①矛盾，故假设不成立，结论成立. 即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解； （2）例如， 则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个， 即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【易错提醒】（1）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可； （2）举例说明即可. 【对点练习】 【练习3】设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【答案】证明见解析【分析】假设不是奇数，然后推出为偶数，这与题设矛盾，即可证. 【详解】证明：假设不是奇数，则是偶数，设，则，因为，所以， 则是偶数，即为偶数，这与题设为奇数矛盾，所以假设不成立，即是奇数. 【练习4】（23-24高一上·上海静安·阶段练习） （1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于； （2）已知，判断 “”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，理由见解析 【分析】（1）先假设结论不成立，推理得出矛盾，解决问题； （2）由（1）可知充分性成立，列举出反例推翻必要性的成立，从而得出本题结论. 【详解】（1）证明：假设则， 与已知条件矛盾，所以中至少有一个小于； （2）由（1） 可得“”可以推出“中至少有一个小于”，反之不一定成立， 例如：，，，则， 所以“”是“中至少有一个小于”的充分非必要条件. 1．如果用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”， 那么首先假设方程 【答案】没有实数根【分析】考察反证法的一般步骤，先假设命题的否定是正确的 【详解】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设，， 则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实数根； 故答案为：没有实数根. 2．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”； 命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是 A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 【答案】C【详解】①的命题否定为，故①的假设正确. 或”的否定应是“且”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C. 3．已知平面直角坐标系内曲线，曲线，若点不在曲线上，则下列说法正确的是（    ） A．曲线与无公共点 B．曲线与至少有一个公共点 C．曲线与至多有一个公共点 D．曲线与的公共点的个数无法确定 【答案】A【解析】利用反证法，假设曲线与有公共点，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线与有公共点，则和同时成立， ，点在曲线上，这与已知条件点不在曲线上矛盾. 假设不成立，所以曲线与无公共点.故选：. 4．设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【答案】证明见解析【分析】结合数论知识以及反证法即可得证. 【详解】用反证法证明，理由如下：若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数，所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 5．用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程 有实根．【答案】证明见解析. 【详解】要证命题的否定为：关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根， 假设关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根， 则有△=25﹣4m＜0，且△′=1﹣8（6﹣m）=8m﹣47＜0．解得m＞，且，矛盾， 故假设不正确，原命题得证． 6．证明：是无理数. 【答案】证明见解析【分析】即证是无理数，假设是有理数，则可设， 其中m与n是互素的正整数，推出矛盾，假设不成立，故是无理数. 【详解】因为，假设是有理数.则可设，其中m与n是互素的正整数. 于是.两边平方，得.（*），所以是3的倍数.又因为n是正整数， 所以n是3的倍数.设（t为正整数），代入（*）式得， 所以是3的倍数.又因为m是正整数，所以m是3的倍数. 这与m与n是互素的正整数矛盾，因此假设是有理数不成立. 即是无理数，故是无理数. 7．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数． （用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为， 则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数，因为，，所以， 又，故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集，若，则，解得； 若，则，解得，综上所述，的取值范围是. 8．在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数；(2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）假设是有理数，可设，互质，且，分析可知2为的公约数， 即可得矛盾；（2）根据题意可得，假设均小于， 可得，即可得矛盾. 【详解】（1）假设是有理数，可设，互质，且，可得，可知为2的倍数，则为8的倍数，可知为2的倍数，即2为的公约数，这与互质相矛盾，所以是无理数； （2）因为，则， 可得， 假设均小于，即， 则， 即，即假设不成立，所以中至少有一个不小于. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第5讲 反证法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反证法 命题的否定形式 反证法的步骤 1. 反证法的思想。 2. 反证法的表达形式。 3. 反证法的证明步骤。 学习重点：了解反证法的思想以及反证法的表达方式。 学习难点：会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用 反证法证明一些典型问题。 1、反证法 （1）证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论； （2）反证法的一般步骤： ①分清命题的条件和结论； ②作出与命题结论相矛盾的假设； ③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； ④断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行；但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ， 有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑 推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 【经典例题】 【例1】命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为________． 【技巧归纳】由或的否定为且，从而可得结果. 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除， 则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【技巧归纳】根据反证法的步骤填写即可. 【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题； 这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【技巧归纳】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”， 应假设为 【练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明： “若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 知识点02 反证法的证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的 真实性的论证方法。反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的。反证法是 一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了； 如果有多种，那么必须一一否定。 反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立,则结论成立. 【经典例题】 【例4】若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【易错提醒】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾， 以此来证明结论成立． .【例5】（24-25高一上·上海·阶段练习） （1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【易错提醒】（1）先假设均大于等于，则， 再根据基本不等式推出，与假设矛盾，即可证明；（2）先根据已知条件求出，再假设中都小于，求出的范围与已知 矛盾，即得证. 【例6】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个 8元子集．求证：(1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【易错提醒】（1）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可； （2）举例说明即可. 【对点练习】 【练习3】设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【练习4】（23-24高一上·上海静安·阶段练习） （1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于； （2）已知，判断 “”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 1．如果用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”， 那么首先假设方程 2．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”； 命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是 A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 3．已知平面直角坐标系内曲线，曲线，若点不在曲线上，则下列说法正确的是（    ） A．曲线与无公共点 B．曲线与至少有一个公共点 C．曲线与至多有一个公共点 D．曲线与的公共点的个数无法确定 4．设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 5．用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程 有实根． 6．证明：是无理数. 7．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数． （用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为， 则的取值范围是？ 8．在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数；(2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $