专题03 等式与不等式(3考点40题）（高效培优期中专项训练）数学沪教版高一必修第一册

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03等式与不等式 考点归纳 考点01等式与不等式的性质 考点02不等式的解法 考点03基本不等式及其应用 考点专练 考点01等式与不等式的性质 1.下列命题为假命题的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若-2<a<3,1<b<2,则-4<a-b<2 C.若a>b>0且c<0,则点> D.若c>a>b,则局>品 2.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围是() A.5≤4a-2b≤14 B.-2≤4a-2b≤14 C.-2≤4a-2b≤10 D.5≤4a-2b≤10 3.下列命题为真命题的是() A.若a>b>0,则ac2>bc B.若a>b>c>0,则唱> C.若a>b,c>d,则a-c>b-dD.若x,y均为实数，则x2+y2≥2x+y-1 4.已知a,b,c是实数，则下列说法正确的个数是() ①若c>a>b>0,则晨>品；②若a>b>c>0,则层>， ③“a<b<0”是“言>言"的充分条件；④“a<b”是“ac2<bc2"的必要条件 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.己知-4≤3x-y≤6,0≤x+y≤4，则x-y的值不可能是() A.-5 B.-3 C.0 D.3 6.已知x>1,U=2x3V=2x2-x+1,则U和V之间的大小关系是」 7.比较大小：(2x-1)23x2.4.(填”或“<”) 8.已知0<a<,且M=中a+中，N=异十中，则MN(填>，≥，=，<，≤中最恰当 的一个) 9.已知实数a,b满足1<a<2,2<b<6,求a-b,2a十b,号的取值范围 10.己知实数x满足0≤x≤1· ()比较和1-x的大小； 1/4 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若y=x3+,证明： (i)y≥1-x+x2; (i)景<y≤号， 考点02不等式的解法 1.若关于x的不等式x2+px十9<0的解集是-1<x<2小则关于x的不等式器>0的解集是 () A.{x-3<x<-2或x>4} B.{x-3<x<2或x>4} C.{x-3<x<0或2<x<4} D.{xw<-2或3<x<4} 12.对于任意x∈R,Vmx2+2mx+2都有意义，则m的取值范围是() A.m≥2 B.0<m≤2 C.0≤m≤2 D.0≤m≤4 13.“爱≥0成立的一个必要不充分条件是（) A.2≤x≤3 B.2<x≤3 C.x≤2或x≥3 D.x<2或x≥3 14.若臼x∈R,使得|2x+1-3-2x<m成立”是假命题，则实数m可能为() A.-5 B.5 C.-3 D.3 15.分式不等式费≥2的解为() A.1≤x≤4B.1<x<4 C.1<x≤4 D.1≤x<4 16.若不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-2<x<1},则不等式cx2+bx+a<0的解集为() A.{x-1<x<克} B.(xx<-1或x>} C.{x-克<x<1} D.{x|x<-或x>1} 17.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x21=15,则a=() A. B. C. D.号 18.若对任意x>0,不等式(x-1)(2x2-ax-4)≥0恒成立，则实数a= s+1mg≥0的解集为 19.不等式(s 20.已知：关于x的不等式ax2+bx十c>0的解集为(-1,2)，则关于x的不等式ax2-bx十c>0的解集 为 21,关于x的不等式ax2+ax-1<0在R上恒成立，则实数a的取值范围为 22.关于x的不等式x-2-4-2x≤-1的解集为 23.已知函数y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. (1)若关于x的不等式(m+1)2-(m-1)x+m-1<1的解集为R,求m的取值范围； (2)解关于x的不等式(m+1)x2-2mx+m-1≥0 24.解下列不等式： 2/4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2-6x+8<0 (2器21： (3)x2-5ax-6a2>0(a≠0) 25.求下列不等式的解集： (1)x2-6x+9≤0 (2)-2x2+x+1<0 3≥1 (4)1-2x<3 考点3基本不等式及其应用 26.已知a>0,b>0,若a+号=1，则片+号的最小值为() A.V2 B.2V2 C.4 D.42 27.已知正实数x,y满足x+y=1,则音+的最小值为() A.9 B.8 C.7 D.6 28.已知正数x,y满足x+y=1,则安+的最小值为() A.号 B.4 c.号 D.5 29.已知m2+4n2=9(m>0,n>0),则mn的最大值为() A. B.号 c. D. 30.已知a,b>0,且ab=a十b十3，则a+4b的最小值是() A.6 B.9 C.13 D.7+43 31.设正实数xy满足x+y=1,则() A.xy有最大值为 B.x2+y2有最小值为1 C.努+方有最小值为5 D.V区+1+Vy+2有最大值为2W2 32.已知正实数a,b满足a+4b+ab=5,则下列说法正确的是() A.0<a<5,0<b<1 B.ab的最大值为1 C.a+b的最小值为1 D.品十的最小值为 33.,已知3x+2y-2xy=0(x,y>0),则2x+的最小值为】 34.若a>b>0,则+b的最小值为 35.已知正实数x,y满足x+y=4,则发+号的最小值为 36.已知xy均为正数，且xy=4x+y,则2x+y的最小值】 37.己知正数a,b满足a+4b十ab=12,则ab的最大值为 38.已知a>0,b>0,且2a+3b=3 3/4 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求ab的最大值； 2)求a~品的最大值； (3)求号+品的最小值. 39.求下列各式的最值 (1)已知0<x<专，求函数y=x(1-2x)的最大值 (x+1以2y+1) 2设x>0,y>0,x+2y=5,则y的最小值 (3)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,当受取得最大值时，求是+吉-的最大值. 40.为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD,如图）上设计三个 等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯胸，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.设直角梯形的高为xcm, B 水平方向 (1)当x=20时，求海报纸的面积： (②)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小），最小面积是多少？ 4/4 专题03等式与不等式 考点01等式与不等式的性质 考点02不等式的解法 考点03基本不等式及其应用 考点01等式与不等式的性质 1．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求的取值范围. 【详解】由 ； 又， 两式相加得：， 即. 故选：C 3．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，均为实数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断AC；作差推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，，B错误； 对于C，当时，满足，，而，C错误； 对于D，由， 得，D正确. 故选：D． 4．已知是实数，则下列说法正确的个数是（　　） ①若，则；②若，则； ③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，可判定①正确；利用作差比较法，可判定②正确；根据不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定③正确，④正确. 【详解】对于①，由，可得，所以， 又由，根据不等式的性质，可得，所以①正确； 对于②，由， 因为，可得，所以， 所以，所以②正确； 对于③，由，可得，则， 因为，可得，所以，所以充分性成立，所以③正确； 对于④，由，可得，则，所以， 所以，所以必要性成立，所以④正确. 故选D. 5．已知，，则的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】变形得，再根据不等式性质计算其范围即可. 【详解】依题意，由，得， 由 ，，得，， 所以，即的值可能是，0，3，不可能是，BCD正确，A错误. 故选A. 6．已知，，则U和V之间的大小关系是 . 【答案】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，，所以，故. 故答案为： 7．比较大小： ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【分析】通过作差法，将两式相减后分析其符号即可. 【详解】 令函数，其图象为开口向上的抛物线， 故对所有实数成立. 因此， 所以 故答案为：>. 8．已知，且，则 .（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 9．已知实数，满足 ，，求，，的取值范围. 【答案】的取值范围为，的取值范围为，的取值范围为. 【分析】先由不等式的基本性质求的范围，根据同向不等式的可加性求的范围， 先由不等式的基本性质求的范围，根据同向不等式的可加性求的范围， 先由条件求的范围，再根据同向正不等式的可乘性求的范围； 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以， 又因为，所以； 因为，所以， 又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为，的取值范围为. 10．已知实数满足． (1)比较和的大小； (2)若，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用作差法即可判断大小； （2）（i）结合（1）的结论可得，继而构造函数，即可证明结论；（ii）利用配方法可证，利用放缩法可得，继而换元，设，可得，变形后即可证明，即可证明结论. 【详解】（1）比较和的大小，可作差： ， 因为，故，仅当时等号成立， 故； （2）（i）因为，故，结合（1）可知， 故，仅当时等号成立， 令，则， 因为，故，仅当或时等号成立， 故，即，即； （ii）由于，而，仅当时等号成立， 由于在时等号成立，即两不等式取等号条件不一致， 故； 又，则，仅当或时等号成立， 故， 设，则， 故， 因为，故， 故，即，仅当时等号成立， 综合可得. 考点02不等式的解法 11．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由条件确定，将原不等式转换成，即可求解. 【详解】由题意可得，，即， 则有， 即， 解得或， 即解集为或 故选：B 12．对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可. 【详解】易知恒成立， 显然当时，符合题意； 当时，要满足题意需，即， 综上. 故选：C 13．“”成立的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先解出不等式，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是成立的充要条件， 是成立的必要不充分条件， 或是成立的既不充分也不必要条件， 或是成立的既不充分也不必要条件. 故选：A 14．若“，使得成立”是假命题，则实数可能为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】先得到，为真命题，求出的最小值，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得，为真命题， 由于， 显然的最小值为， 故只需，所以满足要求. 故选：A 15．分式不等式的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式不等式移项通分得到即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 即， 解得：， 故选：C 16．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 17．关于的不等式的解集为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，是方程的两根，利用韦达定理可求得，，再根据即可得出答案. 【详解】由题意知，是方程的两根， 所以，， 则. 又，所以，解得. 又因为，所以. 故选：B 18．若对任意，不等式恒成立，则实数 ． 【答案】2 【分析】设，，根据两函数在上符号相同求实数的值. 【详解】的图象恒过，与轴有一正一负的2个交点，设方程的两个根分别， 则在上，在上， 当时，在上，而不恒成立. 故当时，不等式不恒成立； 当时，由， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 将把代入方程， 即． 故答案为：2 19．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合分式不等式运算求解，注意符合不等式. 【详解】对于不等式， 显然，则，可得， 等价于，解得， 注意到时，， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20．已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，且，从而得所求不等式等价于，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 则方程的两根为和，且， 所以，得到，且， 由，得到，即， 即，解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 21．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可. 【详解】若,得,符合题意； 若，由题知，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 22．关于x的不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】将原不等式整理为，运算得解. 【详解】由，则，整理得， 或，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 23．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因不等式的解集为， 则当，即时，不等式即为，解得，不符合题意； 当时，由不等式的解集为， 等价于，即，解得， 故实数的取值范围为. （2）不等式，即， 当时，即时，不等式为，解得； 当时，即时，不等式化为， 而，解不等式得或； 当时，即时，不等式化为， 而，解不等式得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 24．解下列不等式： (1) (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式求解集； （2）将分式化为求解集； （3）由题设，讨论参数求对应的解集. 【详解】（1）由，可得，故解集为； （2）由，则，可得，故解集为； （3）由， 当时，得或，故解集为， 当时，得或，故解集为. 25．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)x∈ (4) 【分析】（1）利用配方法即可解得； （2）因式分解后解一元二次不等式； （3）移项通分，转化成积的形式即一元二次不等式可求解； （4）利用绝对值的概念去绝对值即可求解. 【详解】（1）由，得，解得， 所以不等式的解集为. （2）由，得，即，求得或， 所以不等式的解集为. （3）由，得，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. （4）由，得，解得， 不等式的解集为. 考点03基本不等式及其应用 26．已知，若，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由基本不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 27．已知正实数满足，则的最小值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】应用1的代换得，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题意， 当且仅当时取等号，故的最小值为8. 故选：B 28．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 29．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式，应用基本不等式求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，则，当且仅当，即时取等号. 故选：D 30．已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 31．设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为1 C．有最小值为5 D．有最大值为 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可判断AB，由，利用基本不等式即可判断C，利用(当且仅当时，等号成立)，即可判断D. 【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C：由，又， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：由，所以， 当且仅当时，所以等号不成立，故D错误. 故选：C. 32．已知正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】B 【分析】根据已知双变量的等式进行变量分离即可得，从而得的范围，同理可得的范围，即可判断A；利用进行换元，结合基本不等式分别求解，，的最值，即可判断B,C,D. 【详解】因为，所以，可得， 同理，可得，故A不正确； 由于，，所以， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1，故B正确； 则， 当且仅当，即时，等号成立，又，取等条件无法成立，故的最小值不为1，故C不正确； 又， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D不正确. 故选：B. 33．已知，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】利用条件等式变形，结合基本不等式计算最值即可. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为： 34．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由得，令，则，原式可化为，利用基本不等式即可求解． 【详解】∵，∴．设，则（其中），代入原式进行化简： ， 根据基本不等式得，当且仅当，即时取等号． 根据基本不等式得，当且仅当，即时取等号． 将两组不等式相加，可得：． 等号成立条件： 第一组等号成立条件，代入第二组等号条件，得， 此时，满足． 综上，原式的最小值为． 35．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 36．已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【分析】通过已知等式变形得到，再利用“”的代换将目标表达式展开，最后应用基本不等式求得最小值. 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 37．已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 38．已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 39．求下列各式的最值 (1)已知，求函数 的最大值 (2)设，则的最小值 (3)设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式可得即可求解； （2）由再利用基本不等式即可求解； （3）由题意可得可得，从而可得得到取等条件及，从而可求得，从而可求解. 【详解】（1）由题知，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数 的最大值为. （2）由，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以则的最小值为. （3）由，且，可得， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，当时取到最大值， 所以当取得最大值时的最大值为. 40．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. (1)当x＝20时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 【答案】(1)海报面积为， (2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 【分析】（1）根据已知条件，先求出每个梯形的下底（较长的底边）边长，再分别求出，，即可求解； （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】（1）依题意，图中阴影部分的面积之和为，直角梯形的高为， 则其中每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， ，， 故海报纸面积为． （2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， ， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $