精品解析：湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷

湖北省重点高中智学联盟2025年秋季高三年级10月联考 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合是小于5的正整数}，，则元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】化简两个集合，再根据交集的定义运算求出. 【详解】由题意可知，，或， 则，则元素个数为. 故选：C 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得出，结合复数的概念，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，所以的虚部为. 故选：A. 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案. 【详解】，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 4. 已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 21 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，结合等差数列不是常数列，得到，再求即可. 【详解】因为，且，，成等比数列， 所以，解得或， 因为等差数列不是常数列，所以. 所以. 故选：C 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合奇函数性质可得，结合周期函数性质可得，故，再利用条件求可得结论. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，所以， 因为函数是定义在上且周期为的函数， 所以，所以， 所以， 因为当时，， 所以， 所以， 故选：A. 6. 已知函数（），若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式、诱导公式、两角和的正弦公式把原函数解析式化成余弦型函数形式，再利用换元法，结合余弦函数性质进行求解即可. 【详解】 令，，，所以， 问题转化为直线与函数，当时，有三个交点， 由， 于是有， 故选：C 7. 已知，在单位向量上投影向量都是，且，则当与夹角最大的时候，为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两角差的正切判断向量所成角的最值后求得对应的数量积. 【详解】设单位向量，以单位向量的起点为原点，建立平面直角坐标系. 因为，在单位向量上投影向量都是，设. 不妨设，因为，故， 则设两向量的夹角为， 若，则，故此时 若，则， 而，故，当且仅当时等号成立， 故， 综上，当，时，取最大值，此时. 故选：. 8. 若对任意正实数，都有，，且有，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题可通过对已知不等式进行变形，构成新数列，再结合数列的单调性和递推关系来分析函数值的范围. 【详解】由题意，. 记，，则有，，，2. 当时，，，……，. 累加可得：. 即，． 当时，. ，……. 累加可得：. 即，则有，. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数，满足，则 B. 若，，则 C. 若复数，，满足，则或 D. 若复数满足，，则最大值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的概念、几何意义、运算法则一一判定选项即可. 【详解】对于B项，复数不能直接比较大小，故B错误； 对于A项，显然若，，则， 但，故A错误； 对于C，不妨设， 则有，两等式同时平方作差得，则， 所以，则或，故C正确； 对于D，设， 则，故D正确. 故选：CD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 B. 的图象关于直线对称 C. 在上值域为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式与辅助角公式化简函数式，利用三角函数图象的变换，对称性、单调性与值域、三角恒等变换计算即可. 【详解】易知， 对于A，的图象向右平移得， 故A错误； 对于B，时，，则B正确； 对于C，时，，则，故C正确； 对于D，易知，设， 显然，， 解之得或（舍去），故D错误. 故选：BC 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为： 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出导函数，设切点坐标，得切线方程与已知切线方程比较可求得切点坐标和． 【详解】设切点为，，则切线方程为，即，此方程即为， 所以， 设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以方程的解为， 从而． 故答案为：2． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，已知切线方程时，解题方法是设切点坐标，由导数的几何意义得切线方程，然后与已知方程比较可求得参数值． 14. 已知函数（），若恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要使恒成立，由三个因式的正负号分析可得，，，再把转化成关于的函数，求导，根据导数计算即可. 【详解】函数的定义域为， 因为恒成立， 所以考虑，，三个因式的正负号的问题，下面分三种情况： 当时，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， ①当时，因，所以，，而时，， 所以不满足； ②当时，因，当时，，，， 所以也不满足； ③当时，因，所以，要使，必须． 而函数及在上都是单调递增的． 要使在上恒成立，必须两个函数值的正负号在相同， 所以两个函数的零点也相同，即且． 综上①②③得，当，时，恒成立． 所以（）． 令（）， 当时，， 所以在区间上单调递减，则． 故的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当，求的极值； （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 【解析】 【分析】（1）由得到，然后分别令，，再根据极值的定义求解. （2）由，分，，由，求解. 【小问1详解】 时，，（） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，且无极大值． 【小问2详解】 （） （i）当，时，，，单调递减； （ii）当，时，，，单调递减； 时，，，单调递增． 综上，时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 16. 数列满足，且时，有． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，试求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用递推公式结合等差数列的判定计算即可； （2）利用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 依题意，显然，当时，有， 即，， 故构成了以1为首项，2为公差的等差数列， 且，则， 符合上式， 故； 【小问2详解】 记，则， 且①， ② 则②①，可得 即. 17. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若内心为，求的周长范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）方法一：由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围；方法二：同法求得，设，，由余弦定理得，利用基本不等式即可求得的范围，即得周长范围. 【小问1详解】 由可得： ， 化简得， 由正弦定理， ， 又由余弦定理，，因，则． 【小问2详解】 方法一：如图，因内心为，则和分别平分和， 则，则． 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理，， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为． 方法二：与方法一同法求得，设，， 在中，由余弦定理可得，， 即，则， 因为，所以，即， 且，可得，即， 当且仅当时，即时等号成立． 综上的周长范围为． 18. 已知数列满足，，，． （1）求的通项公式； （2）的前项和记为，试求； （3）若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）通过对已知条件变形，构成新的数列，利用累加法求出新的数列通项，进而得到的通项公式. （2）根据的奇偶性，分别计算前项和. （3）先求出的表达式，再将不等式变形，通过数列的最大值来确定的范围. 【小问1详解】 已知数列满足． 当时，，两式相减得：，即． 则，，且时，. ，，且时，. 经检验，也符合通式． 综上． 【小问2详解】 依题意，当，，且时. ，也符合通式. 当，，且时，． 综上． 【小问3详解】 由（2）中结论，. 则时，原式等价于，恒成立，即恒成立. 记. 则时，. 即在时，单调递减． 可知，可得． 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 【答案】（1）证明：构造，当时，，． 可知，，单调递增； ，，单调递减． 则，故，即， 所以． （2） （3）证明：由（2）中结论，有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立， 即，变形可得 分别令，，，，可得， ，……， 累加可得证毕． 【解析】 【分析】（1）构造，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可； （2）设，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可； （3）根据（2）的结论得出，利用放缩法累加即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，设， 则， 且有，． （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，， 单调递增，． （iii）当，时，，则单调递增，，，则必然存在一个，使得， 且有时，，单调递减， 此时，不满足恒成立条件． 综上所述，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省重点高中智学联盟2025年秋季高三年级10月联考 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合是小于5的正整数}，，则元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 4. 已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 21 C. 19 D. 20 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知函数（），若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，在单位向量上投影向量都是，且，则当与夹角最大的时候，为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 8. 若对任意正实数，都有，，且有，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数，满足，则 B. 若，，则 C. 若复数，，满足，则或 D. 若复数满足，，则最大值为3 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 B. 的图象关于直线对称 C. 在上值域为 D. 若，则 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则______． 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________. 14. 已知函数（），若恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当，求的极值； （2）当时，讨论的单调性． 16. 数列满足，且时，有． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，试求． 17. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若内心为，求的周长范围． 18. 已知数列满足，，，． （1）求的通项公式； （2）的前项和记为，试求； （3）若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $