专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级上册

专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型 目录 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 6 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 10 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 16 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 23 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键．根据的几何含义可得答案． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴， 故答案为：4． 反比例函数中求三角形的面积 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的面积的计算．根据题意可得，再由反比例函数比例系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为：8 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则 （填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，已知轴，垂足为分别交反比例函数的图像于点、．若是的中点，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，故的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，的顶点、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称，点在轴上，轴于点，点在点右侧，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，三角形的面积．先根据反比例函数中系数的几何意义求出，结合题意求出的面积，即可得出的面积，根据对称得出与的面积相等，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数的性质可得：的面积为， 即， 故， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称， ∴与的面积相等， 即的面积为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】过点A作于点E，过点B作于点D， 则四边形，，都是矩形，利用反比例函数k的几何意义，平行线的性质解答即可． 本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线的性质，熟练掌握几何意义是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点D， 则四边形，，都是矩形， ∵点A在反比例函数上，点B在反比例函数上， ∴，，， ∴， 故答案为：5． 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 反比例函数中求等腰三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 3．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 反比例函数中求平行四边形的面积 【变式训练】 1．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了平行四边形的性质． 延长交y轴于E，利用反比例函数向上k的几何意义得出，利用平行四边形的性质得，，，，由点D是边的中点，点D到x轴的距离为2可知B点的纵坐标为4，即，利用三角形面积公式求得，解直角三角形求得，由反比例函数的图象经过点经过边的中点D，求得，进而求得，然后利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， 轴， ， 点D是边的中点，点D到x轴的距离为2， 点的纵坐标为4， ， ∵， ， ， ， ， ∴，即， ， ∵反比例函数的图象边的中点D， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：36．    2．如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，作轴，轴，证明，可得，利用的几何意义求出的面积，再求出的面积，从而求出矩形及平行四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：作轴，轴，则，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 4．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．过点A作轴于E，过点B作轴于F，设与y轴交于G，，，再根据平行四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于E，过点B作轴于F，记与轴的交点为，    ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵轴，轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】题考查平行四边形的性质、反比例函数系数的几何意义，过点作轴于点，过点作轴于点，得出四边形是矩形，则利用反比例函数的比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故答案为：． 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 反比例函数中求矩形的面积 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 2．如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的面积公式，是解题的关键． 设，则，根据，推得，即可求得． 【详解】设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 4．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 反比例函数中求阴影部分的面积 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 2．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：． 5．如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【答案】(1)，9 (2)点的坐标（，6）或（6，） (3) 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．   【详解】（1）∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． （2）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴，   又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． （3）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴，   又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01反比例函数中k的几何意义的五种模型 题型归纳 目录 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积… .1 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积… 6 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积… 10 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积…16 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 .23 题型专练 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：(2425九年级上安徽六安期末)如图，点A是双曲线y=8的图象上一点，AB1x轴于点B,则 AOB的面积为」 方法技巧 反比例函数中求三角形的面积 S..0= 【变式训练】 1.(2425九年级上广东河源阶段练习)如图，点A在反比例函数，=18x>0)的图象上，过点4作 轴，垂足为B,交反比例函数乃=x>0)的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA、P0 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △APC的面积为】 2.(2025江苏徐州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，4、B两点均在反比例函数y=-8的图象上， 线段AB经过坐标原点O,AC⊥y轴于点C,则ABC的面积为一 3.(24-25九年级上北京平谷期末)如图，点A、B在双曲线y=3上，过点A作4C1x轴于点C,过点 B作BD⊥y轴于点D,连接OA、OB,设△OBD的面积为S,设aOAC的面积为S2,则S, S2(填 “>,<,或=”). y=x B 4.(24-25八年级下江苏连云港期末)如图，已知cD1x轴，垂足为D,C0、CD分别交反比例函数y=4的 图像于点A、B.若A是OC的中点，则△OBC的面积为」 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 5.(2025陕西榆林模拟预测)如图，ABC的顶点A、B均在反比例函数y=-的图象上，且关于原点0对 称，点C在x轴上，AD⊥x轴于点D,点C在点D右侧，若OD=2CD,则△BOC的面积为 B 6.(24-25九年级上山西晋中期末)如图，过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例 函数y=-6和y=4的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC,则ABC的面积 为 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数y=5的图象经过正△PO0的顶点P,则△PO0的面积为 方法技巧 反比例函数中求等腰三角形的面积 0 BC-x S△Aoc=lk(OA=AC) 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练】 1.如图，点A在反比例函数y=-4第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若OA=AB,则a4OB 的面积为 2.如图，若反比例函数y=3的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则A0B的 面积是 3.如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=(x>0)的图象上，且 它们的底边都相等.若△0A,B1,△A4,B2,△A24B,,△Ao24024Bo24的面积分别为S,S2,S3,…, S224,则S2024的值—， B1 B2 名 B4 A1 A2 A3 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 2 例题：如题图，点D在反比例函数y=二的图象上，DA⊥y轴于点A,点B在x轴上，则平行四边形 ABOD的面积为 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方法技巧 反比例函数中求平行四边形的面积 y B SOARCD=kl 【变式训练】 1.如图，平面直角坐标系中，口OABC的边OA在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数 (x>O)的图象经过点C和AB边的中点D,点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 B D 2.如图，已知口4BCD,边BC在x轴上，点D在y轴上，连接OA交反比例函数y=-2(x<0)的图象于点 P,若AP=2OP,则ABCD的面积为一 A D D B 3.如图，在平面直角坐标系中，口OABC的边BC与y轴交于点D,且D是BC边的中点，反比例函数 P三x<O)与yx>0)的图象分别经过B,C两点，则口0ABC的面积为一 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B分别在反比例函数y=-4(x<0)和y=(x>0)的图象上， 点C、D都在x轴上，则▣ABCD的面积为 A D 5。如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边BC在X铺上，反比例函数y=-55K<0)和 x y=(K>O)的图象分别过顶点A,D,若S行选形BCD=85,则k的值为 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线y=4上，点B在双曲线y=2上，且4B∥x轴，过么B两点分别作x轴的垂线 交x轴于点D,C,则四边形ABCD的面积为一 O D 方法技巧 反比例函数中求矩形的面积 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S矩形ABOC=| 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系xO中，B是反比例函数y=2(x>0)的图象上的一点，则矩形0ABC的面积 为 2.如图，若点A与点B是反比例函数y=《(k≠O)的图象上的两点，过点A作AM1x轴于点M,AN⊥y 轴于点N,过点B作BG⊥x轴于点G,BH⊥y轴于点H,设矩形OMAN的面积为S,矩形BHOG的面积 为S,则S与S的大小关系为：SS,(填“>”，“="”或“<"). G B H 3.如图，过y=《(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交y=-1的图象于B,D两点，以AB,AD 5 为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S,S,S,S4,若S,+S,+S,=2,则k的值 为 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，过一《(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交=-】的图象于B,D两点，以AB, 9 AD为邻边的矩形ABCD的面积是)，则k的值是 B 5.(2025九年级上全国专题练习)知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是 反比例函数y=《上任意一点，则矩形ABOC的面积为M。 图1 图2 图3 图4 图5 (1)初步尝试 如图2，点A,E分别在反比例函数y=2和y=4的图象上，四边形AB0C和EFOB都是矩形，易知四边 4 形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. (2)类比探究 如图3，点A,C在反比例函数y=C(a>0)的图象上，点B,D在反比例函数y-(b<0)的图象上， 无 AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数y=”和y=”,m>>0,若点B,C在y=”图象上，点A,D在y=”图象上， 目B∥CD∥x轴，AB,CD=AB和CD间的距离为2，求m-N的值 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：如图，4B两点在双曲线y=3(x>0)上，分别过AB两点向坐标轴作垂线.若S=1,则图中阴影部 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分的面积为 B S 方法技巧 反比例函数中求阴影部分的面积 B B D S, S-S2 S阴影k-k匀 【变式训练】 1.(24-25九年级上湖南长沙期末)如图，点M,N在y=4(x>0)的图象上，分别过点M,N作坐标轴的 垂线，若S影=2，则S+S2的值为一· S N S2 2.(2425九年级上湖南阶段练习)如图，两个反比例函数y=8和y=65在第一象限内的图象依次是G和 C,设点P在C上，PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点B,则四边形PAOB的 面积为 C B\P D 3.(24-25九年级上山东东营期末)如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有R,乃，B,,B 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等点，它们的横坐标依次为1,2,3，..，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影 部分的面积从左到右依次为S,S2,S3,…,S224,则S,+S2+S3+…+S224= 本y P 2 O1234 2025主 10 4.(24-25八年级上·上海阶段练习)如图，在反比例函数y=(x>0)的图像上，有一系列点A、4、A、、 A,、A+1,若A的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.分别过点A、4、 A、、A、A+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依 次记为S、S2、S、、Sn,则S,+S2+S,= A2 S3 A3 68 5.如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数 y=(k>0,>0)图象上，点P是函数y=(k>0,x>0)图象上异于点B的任意一点，过点P 分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F.设矩形OFPE和正方形OABC不重合部分的面积为S. B P(m,n) F S 0 A E (1)点B的坐标是 ,k=; 2当S三号，求点P的坐标 10/11