专题02 二元一次方程组的特殊解法五类热点题型（高效培优专项训练）数学北师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02 二元一次方程组的特殊解法五类热点题型 题型归纳 目录 题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 .1 题型二：不解二元一次方程组求代数式的值.5 题型三：整体代入法解二元一次方程组.7 题型四：换元法解二元一次方程组.1】 题型五：新定义型二元一次方程组18 题型专练 题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 2x-y+2=0 1.(2025八年级上全国.专题练习)解方程组： 2x-y+5 +2y=7 3 2.(20-21七年级下·广西贵港·期中)解下列二元一次方程组： x+y=4 (1) 343 4x+2)=3(y-4) x+y+-y=7 (2) 2 2 4x+y)-5(x-y)=2 3.(25-26八年级上·全国课后作业)解下列方程组： 2x-y=5① 1x-12-② (1) [5(x-y)-4(x+y)=-2① (2) x-y+y+x=6② 3 2 4.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)解方程组 2x+3y=10 (02x+y-1+y=1 (2 4 [x+y+x-y=6 (2)23 4x+y)-5(x-y)=2 5.(25-26七年级上全国·课后作业)解下列方程组： 1/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2(x-y_x+y=-1 (1)3 4 6x+y)-42x-y)=16 「2x-1.0.3y-0.2 =2 50.4 (2) 3x+10.03y+0.02=0 5 0.04 题型二：不解二元一次方程组求代数式的值 1.(25-26八年级上·重庆开学考试)若方程组 3x-y=4k-5 2x+6y=k 的解中x+y=2025,则k等于() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 x+2y=2 2.(20-21七年级下·浙江期末)己知方程组 2x+y=5’则x+y的值为 3.(24-25七年级下·福建厦门期中)己知 2x+y=12 x-3y=5,则代数式6x-4y-24= x+3y=2 4.(24-25七年级下·浙江温州阶段练习)代数式求值：己知实数x,y满足方程组 3r+y=-1,求 xD+2xy+y2+4x+4y-1的值. 3x+5y=m+2 5.(2425七年级下山东临沂期中)已知关于x,y的方程组 的解满足x+y=-10,求代数 2x+3y=m 式m2+2m+1的值. 题型三：整体代入法解二元一次方程组 1.(24-25七年级下山东威海期中)对于二元一次方程组 2x-5y=1②，下列变形不正确的是（) x-2y=-1① A.由①变形后代入②，得4y-2-5y=1 B.把①×2整体代入②得：-2-y=1 C.由①×5-②×2得：x=-7 D.由①×2-②得：-9y=-3 2.(23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)先阅读材料，然后解方程组. x-y-1=0① 材料：解方程组 4(x-y)-y=5② 由①得，x-y=1③ 把③代入②，得4×1-y=5,解得y=-1, 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=0 把y=-1代入③得x=0,所以这个方程组的解为 y=-1 这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组： [2x-3y-2=0 2x-3y+5+2y=9 7 3m+5)-2(n+3)=-1 3.(24-25七年级下.全国·课后作业)利用整体代换思想变式解方程组 3(m+5列+2(n+3)=7，我们可以把 m+5,n+3看成一个整体，设m+5=x,n+3=y,很快可以求出原方程组的解为 4.(22-23七年级下·河北唐山期中)整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化.例 x-y-1=0① 如在解方程组 4x--y=52时，把0变形：x-y=1③，把③代入②中，求得x= 利用整体代入思想，已知 3x2-2xy+12y2=47 y= 2r2+y+8y2=36，则x2+4y2= 5.(24-25七年级下山东淄博期中)【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易. 3x+2y+z=4① 例：己知 7x+4y+3z=10② ,求2x+y+z的值. 解：②-①得：4x+2y+2z=6③ ③×得：2x+y+z=3, 2 所以2x+y+z的值为3. 【类比迁移】 x+2y+3z=10 (1)已知 5x+6y+7z=26 求3x+4y+5z的值： (2)若关于x、y的二元一次方程组 ax-by=m azx-bay= 的解是x=8 =10'那么关于xy的二元一次方程组 a,(x-2)-b,y+l)=m a2x-2)-b2y+l1)=n 的解 【实际应用】 (3)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2 支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同 学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 题型四：换元法解二元一次方程组 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3(m+5-2(n+3=-1 1.(24-25七年级下.贵州毕节阶段练习)解方程组： 3(m+5)+2(n+3=7 [(a-1)+2(b+2)=6 2.(2425七年级下河南洛阳·期末)阅读探索，知识累积.解方程组 2(a-1+(b+2)=6 x+2y=6 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可变为 2x+y=6 x=2 a-1=2 a=3 解方程组得：即 y=2'b+2=2' 所以 1b=0 这种解方程组的方法叫换元法. (1)拓展提高 gg-4 运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用 己知关于x,y的方程组 (ax+by=G的解为 x=5 ax+bay=c2 y=31 直接写出关于m、n的方程组 5a(m+3到+3弘(n-2)=G的解为 5a2(m+3+3b2n-2=c2 3.(24-25七年级下·江苏泰州期中)阅读探索： （a-1+2(b+2)=6 材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 2(a-1+b+2)=6 解：设b+2=y a-1=x x+2y=6,m x=2 a-1=2 a=3 原方程组可化为 2x+y=6解得 =2’即 +2=2解得6=0 4x+10y=6① 材料二：解方程组 8x+22y=10② 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y=10,变形为2(4x+10y)+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10,则 x=4 y=-1;把y=-1代入①得，x=4,所以方程组的解为： (y=-19 根据上述材料，解决下列问题： 2+2-2=4 (I)运用换元法解求关于a,b的方程组： 的解： 28-+b-2= (a,x+by=G的解为 x=5 (②)若关于x,y的方程组 a,(m-3到+36(n+2)=9的 ax+bay=c 6,求关于m,的方程组 5a2m-3+3b2n+2)=c2 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解. [3x+4y+6z=5 (3)己知x、y、z,满足 x+y+2z=1，试求y的值. 4.(24-25六年级下·上海宝山期末)阅读探索： [(a-1)+2(b+2)=6 材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 2(a-1)+(b+2)=6 x+2y=6 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可化为 2x+y=61 a-1=2 a=3 6+2=2’解得 b=0 [4x+10y=6① 材料二：解方程组 8x+2y=102时，采用了一种“整体代换的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y=10,变形为2(4x+10y)+2y=10③， 把方程①代入③得，2×6+2y=10,则y=-1: x=4 把y=-1代入①得，x=4,所以方程组的解为： y=-1 根据上述材料，解决下列问题： *4 (1)运用换元法解求关于a,b的方程组： 的解： (2)若关于x,y的方程组 ax+by=c x=10 ax+by=C, y=6,求关于m,n的方程 的解为 5a,(m-3)+36(n+2)=6的 5a2(m-3)+3b2(n+2)=c2 解. 5.(24-25七年级下·河南南阳·期中)数学方法： 3(2x+y)-2(x-2y)=26 在解方程组： 2(2x+以+3引x-2列=13时，如果把方程组中的2x+y,x-2y分别看作一个整体，设 3m-2n=26 1m=8 2x+y=m,x-2y=n,则原方程组可化为 (2m+3n=13’ 解此方程组得 n--1' 代入2x+y=m, 2x+y=8 x=3 [x=3 x-2y=n,得 x-2y=-1' 解此方程组得 所以原方程组的解为 y=2 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法.这种解方程组的 方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用， 请你参考这种做法，解决下面的问题： ax+by=6 (I)类比探究：已知关于x,y的二元一次方程组 r+ay=3的解为 =4,那么关于m、的二元-次方 x=-2 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a(m+n)+b(m-n)=6 1m= 程组 b(m+m+a(m-n=3的解为： n= x+y_x-Y=4 (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 23 2x+y)+x-y=16 题型五：新定义型二元一次方程组 1.(24-25七年级下·河北邯郸期末)定义：对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c),将其 x的系数a与常数c互换.得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“对称方程”，例如方程 3x+2y=7的对称方程”为7x+2y=3. (1)方程2x-3y=-1的“对称方程”为，它们组成的方程组的解为 [x=m (2)若关于x,y的二元一次方程3x+y=8与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ,求m,n的值 y=n 2.(24-25七年级下·重庆万州阶段练习)规定；形如x+y=b与x+y=b的两个关于x,y的方程互为“共 x+ky=b 轭二元一次方程”，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”，k,b称为“共轭系 kx+y=b 数” (1)方程3x+y=5的“共轭二元一次方程”为 ,它们组成的“共轭一方程组”的解为。 ②考关于x,y的二元一次方程组+？5和64为共能方程组，求此共银方程组的共别系数 (1-2b)x+y=-5-a 3.(24-25七年级下·广东广州期末)定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c)中的常 数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by=c“变更方程”为cx+by=a. (1)求方程3x+2y=4与它的变更方程”组成的方程组的解； (②)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它的“变更方程”组成 的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+y=p的一个解，求代数式(m+n)m-pn+p)+2025的 值； 4.(23-24七年级下·湖南娄底·期中)阅读材料，回答问题. 3(2x-y)+4x+3y)=11. 解方程组 5x+3列+6(2x-=25时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易 出错，如果把方程组中的2x-y)和x+3y)分别看作一个整体，设2x-y=m,x+3y=n,原方程组可化为 3m+4n=11 5n+6m=25’解得 (hs1' 气+3y=-1”所以累方程组的解为1，这种解方程红的方法时敏整 ∫m=5n∫2x-y=5 x=2 体换元法 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 mx+ny=17 (1)已知关于x、y的二元一次方程组{ x=-1 x-my=-28 的解为 y=10' 那么关于Q、b的二元一次方程组 m(a+b)+n(2a-b=17 n(a+b)-m2a-b)=-28 的解为_； x-y+2x+y=1 (2)用材料中的方法解二元一次方程组 3 44 2(2x+y川-x气y=3 2 x=4 (3)关于x、y的二元一次方程组 (a,x+by=G的解为 ax+b,y=C, =-3”求关于x、y的方程组 2ax+3动y=5C的 2a2x+3b2y=5c2 解. 5.(24-25七年级下.重庆巴南·期末)阅读下面文字，然后回答问题 给出定义：对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c),若将其x的系数a与常数c互换，得 到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“镜像方程”.例如方程5x+6y=8的镜像方程”为8x+6y=5 (①)写出3x-2y=-1的“镜像方程”，以及它们组成的方程组的解为： =n’求m的平方根， x=m (2)若关于x,y的二元一次方程7x+y=9与其“镜像方程”组成的方程组的解为 (3)若关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且与它的“镜像方程”组成的方程组的解 恰是关于x,y的二元一次方程mx-y=p(m≠n)的一个解，请直接写出代数式mn-m)+pp-n)+52的 值. 6.(24-25六年级下·上海闵行·期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by,x⑧y=x-by,其中 a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b. 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ,b= (2)若x*y+x⑧2y=6,求x+y的值； x*y=2m-4 (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=4,求m的值； x⑧y=8m x=6 (4)若关于x,y的方程组 6y=的解为v=15’则关于x,y的方程组 axbay=c2 「3a,(2x-月*5h(+2列=9的解为 3a22x-y)⑧5bx+2y)=c2 7/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8/8 专题02 二元一次方程组的特殊解法五类热点题型 目录 题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1 题型二：不解二元一次方程组求代数式的值 5 题型三：整体代入法解二元一次方程组 7 题型四：换元法解二元一次方程组 11 题型五：新定义型二元一次方程组 18 题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——代入消元法是解题的关键．利用加代入消元法解答，即可求解． 【详解】解：， 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以原方程组的解为． 2．（20-21七年级下·广西贵港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）先化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简，再根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：方程组整理得：， 得：，即， 得：，即， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理得：， 由①得，， 把代入②得：，解得， 则方程组的解为． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理方程组得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先整理方程组得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：整理方程组，得 ，得． 把代入②，得． ∴方程组的解为； （2）解：整理方程组，得 ，得， 解得． 把代入①，得， 则方程组转化为 由得， 解得． 把代入④，得，解得． 则方程组的解为 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）解： 由②得到，③ 由得：， 解得 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）将方程组化简后，根据①②×5求出的值，代入②求出的值即可； （2）将方程组变形后，根据①+②求出的值，代入①求出的值即可． 【详解】（1）解：整理，得 ①-②×5，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以原方程组的解为 （2）原方程组可变形为 ①+②，得 ，解得． 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 题型二：不解二元一次方程组求代数式的值 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若方程组的解中，则k等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用后整理可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除以5可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（20-21七年级下·浙江·期末）已知方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，由此即可得． 【详解】解：， 将两个方程相加得：， 则， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知，则代数式 【答案】10 【分析】本题考查了方程组的解法以及求代数式的值．观察方程组中方程的特点，用两个方程相加，求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∴． 故答案为：10． 4．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）代数式求值：已知实数 满足方程组 ，求的值． 【答案】 【分析】本题解二元一次方程组，代数式求值，运用加减法变形得到，再将所求代数式变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解： 由得：， ∴， ，              ． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知关于，的方程组的解满足，求代数式的值． 【答案】49 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，进而得到方程组，解方程组即可得到，然后代入求值即可． 【详解】解：， 由得， ∴， 由得，解得， 将代入③得，解得， ∴， 将代入②得， ∴， ． 题型三：整体代入法解二元一次方程组 1．（24-25七年级下·山东威海·期中）对于二元一次方程组，下列变形不正确的是（    ） A．由①变形后代入②，得 B．把①×2整体代入②得： C．由得： D．由得： 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，利用加减法或者代入法进行变形即可得到答案． 【详解】解：A.得到，则，代入②得到，故选项正确，不符合题意； B. 得到，由得到，故选项正确，不符合题意； C. 得：，故选项正确，不符合题意； D. 由得：，故选项错误，符合题意； 故选：D 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 先根据题意建立新的方程组，再利用加减消元法解方程组，然后将方程组的解代入，最后求解即可． 【详解】解： 设， 则原方程组转化为 ①+②得，， 解得， 将代入①，得， 解得：， 方程组的解为， ， ， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ． 【答案】 17 【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答； 【详解】（1）解：代入式即可得到，进而得到， 故答案为； （2）解：， ②得：， ③②得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 5．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2），（3）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可； （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）解： 关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于x、y的二元一次方程组中，， 解得：， （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 题型四：换元法解二元一次方程组 1．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设，进行换元构造新的方程组，求解后再求原方程组的解． 【详解】解：设，，则原方程组变形为， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 解得， 原方程组的解为． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的，分别看作一个整体，设，，则原方程组可化为，解此方程组得，代入，，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： (1)类比探究：已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为： (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组化为：， 由已知，得， 则有， 解得：； （2）设，， 则原方程组可化为， 解得：， 即有 解得， 原方程组的解为； 另解，设，， 则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 原方程组的解为． 题型五：新定义型二元一次方程组 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； （2）由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 2．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， ②①得， 将代入①得， 解得： 方程组的解为： （2）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得， ∴把代入可得，即，， ∴． 4．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 5．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“镜像方程”． 则；由得： 则：，带入得； ∴ （2）由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得， ∵方程组的解为， ∴． 解得． ∴． 故的平方根为． （3）， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得． 将代入方程中，得． 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $