专题5.4 二元一次方程与一次函数（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题5.4二元一次方程与一次函数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01二元一次方程组与一次函数的关系 知识清单 知识点02二元一次方程组确定一次函数的表达 式（待定系数法） 题型01利用两点式求一次函数的解析式 二元一次方程与一 题型02图形中求一次函数的解析式 次函数 题型03两直线的交点与二元一次方程组的解 题型精讲 题型04图象法解二元一次方程组 题型05已知两直线求围成的图形疸积 题型06二元一次方程组与一次函数综合解决实 际问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.知识与技能：阐述二元一次方程与一次函数的内在联系，能将二元一次方程转化为 一次函数形式，理解方程的解与函数图象上点的坐标的对应关系。 2.过程与方法：经历从代数到几何的转化过程，掌握用一次函数图象求二元一次方程 教学目标 组近似解的方法，培养数形结合与逻辑推理能力。 3.情感态度：感受数学知识的关联性与统一性，激发学习兴趣，增强运用数学解决实 际问题的自信心与成就感。 1.重点 (1)核心关系理解：透彻掌握二元一次方程与一次函数在“数”（方程的解）与 “形”（函数图象）上的对应关系。 (2)图象解法掌握：学会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解，建立 “数”与“形”的转化思维。 教学重难点 2.难点 (1)抽象关系转化：难以深度理解二元一次方程的解集与一次函数图象（直线）之 间的本质对应，数形结合意识薄弱。 (2)方法灵活应用：在实际问题中，无法熟练结合图象法与代数法解决问题，对近 似解的理解与运用存在困难。 1/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01二元一次方程组与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2)一次函数为：y=x+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线从“数”的角度看，解方程组相当于 考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标. 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直 线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 【即学即练1】 1.(24-25八年级下·云南丽江·期末)在平面直角坐标系中，一次函数{：y=kx+b和12：y=k,x+b2的图 y=kx+b 象如图所示，则关于的方程组 y=k,x+b3 的解为一。 x.V 2 O/1234x 2.(24-25七年级下·陕西铜川阶段练习)如图，直线1：y=2x+1与直线12：y=mx+4相交于点P(1,b), 与x轴分别交于A,B两点. y=mx+4 2/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2x-y=-1 (I)求b,m的值，并结合图象写出关于x,y的方程组 (mr-y=-4的解； (2)垂直于x轴的直线x=a与直线l,马2分别交于点C,D,若线段CD的长为2，求a的值. 知识点02二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1)两点法：设函数的解析式为：y=+b,当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于 k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2)图形：观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 【即学即练2】 3.(2025八年级上全国专题练习)在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像经过点A4,)与点 B(0,5)」 (I)求一次函数的表达式： 2为此一次函数图像上一点，且SO8=SOs,求点，面 4.(21-22八年级下·湖南长沙期中)4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动. 甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元 的部分5折.以x(单位：元)表示标价总额，y(单位：元)表示应支付金额. (1)文文购买标价总额50元的书需付款元：购买标价总额100元的书需付款_元： (2)求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围： (3)当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售：若 文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由. 题型精讲 题型01利用两点式求一次函数的解析式 【典例1】已知一次函数的图象经过A2,-3列，B(-2,5)两点. (1)求该一次函数的表达式： (2)判断点P(4,-7)是否在该函数的图象上. 【变式1】已知一次函数的图象经过点A2,-4)、B1,2). ()求这个一次函数的解析式： (2)如果点P在这个一次函数图像上且它的纵坐标为-3，求点P的坐标。 3/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】已知一次函数y=k+b的图象经过点A(1,1)和点B(-3,9). (I)求该一次函数的表达式： (2)若点C(2,a)向右平移3个单位后恰好落在直线AB上，求a的值. 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过原点，且与直线l2:y=-x+4交于点A,3),直线 12与x轴交于点B. ()求直线的函数解析式： (2)点P(n,0)在x轴上，过点P作平行于y轴的直线，分别与直线，2交于点M,N.若MN=OB,求n的 值。 题型02图形中求一次函数的解析式 【典例2】如图，已知一次函数y=:+b的图象交正比例函数y=2x于P(m,4),交y轴于点B(0,2),交x 轴于点A. (1)求该一次函数解析式： (2)求△AOP的面积. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，过点A0,6)的直线4B与直线OC相交于点C(2,4),动点P沿路 线B→0→C运动. 4/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求直线AB的表达式： 3 (②)当△CPB的面积是△OBC的面积的4时，求出相应点p的坐标. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴，y轴分别交于点A,C,经过点C的另一直 线与x轴交于点B(6,0). A C /A O B (I)求直线BC的解析式： (2)若点G是直线BC上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M,与直线y=2x+6交于点 A,且满足GH=2GM.求点G的坐标. 【变式3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,4)，点M是线段AB上任意一点( A,B两点除外)· Bì D (I)求直线AB的解析式： (2)过点M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于点D,当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的 周长是否发生变化？并说明理由： 题型03两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例3】如图，函数y=kx+b与y=k,x+b的图象的交点坐标可以看作方程组的解. 5/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+b2 y=kx+b 201234 x+2y=-4 【变式】若一次函数y=-2与y-2x-7的图象交点为2-3”则二元一次方程组2)-7的解为 21 【变式2】在同一平面直角坐系中，直线y=2x+4与y=x+b相交于点A1,m,则关于x,y的方程组 [2x-y+4=0 x-y+b=0 的解为一 【变式3】已知一次函数y=2x-5与y=-3x+m的图象的交点为P(1,-3),则关于x,y的二元一次方程组 2x-y=5 3x+y=m 的解为一 题型04图象法解二元一次方程组 x-y=-6 【典例4】如图，直线y=x+b与直线，=：+6交于点P(2,4,则关于，y二元一次方程组{y-x=b的 解是一 v=kx+6 /=x+b P(2,4) [y=x+2 【变式1】如图，一次函数，=：+b与y=x+2的图象相交于点Pm5,则方程组=《+6的解是一 6/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 m y=x+1, 【变式2】如图，一次函数 文=x+1与y=在+的图象交于点户，则关于少的方程组=太十的解是 ,y=x+1 21O 34衣 y=kx+b 【变式3】如图，正比例函数y=kx(k≠0，且k为常数)的图象与一次函数y=ax+b(a≠0，且a、b y=kx 为常数)的图象交于点。，则关于x',的方程组y=+6的解是一· v=kx -20 y=ax+b 题型05已知两直线求围成的图形面积 【典例5】在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+6与y轴交于点C,与x轴交于点B.直线AD与直线 y=-2x+6相交于点D(-1,n),点A的坐标为(-3,0). 7/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求n的值及直线AD的解析式： (2)求△ABD的面积： (3)点M是直线AD上的一点（不与点D重合），且点M的横坐标为m,求△DBM的面积S与m之间的关 系式 【变式1】如图，函数y=3x+6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B,函数y=-x+2的图象与x轴、 y轴分别相交于点D、点C,直线AB,CD相交于点M. =-x+2 D 单9 2八34 =3x+6-2 (I)请直接写出点M的坐标； (2)求△BCM的面积： (3)点N在直线CD上，使得S△w=4S△wc,求点N的坐标. 【变式2】如图，直线的解析式为y=-3x+3,且与x轴交于点D,直线l2经过点A、B,直线，2交 于点C. A4,0)x 2 8/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求点D的坐标： (2)求直线↓2的解析式： (3)求△ADC的面积： (4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得AADP是△ADC的面积的2倍，求点P的坐标. 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线（与直线2交于点A3,2),直线（与x轴正半轴交于点 B,与y轴交于点C0,8,直线，与x轴负半轴交于点D,与y轴交于点E,且OD=3OB 4 A DO B (1)分别求出直线与12的表达式 (2)已知P是直线l2上位于x轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a. ①用含a的式子表示△PBD的面积； ②是否存在点P恰好使得S△cPe= S。4e若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 3 题型06二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 【典例6】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次 租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 3 21 第二次 5 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆， 小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你 列出所有货车租用方案. (3)在(2)的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用。 【变式1】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资.己知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货 10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资， 根据以上信息，解答下列问题： 9/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次.物流公司计划共租用8辆车，请写出总租 车费用w(元)与租用A型车数量a(辆)的函数关系式. (3)如果汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多.在(2)的条件下，请选出最省钱的租车车 方案，并求出最少租车费用， 【变式2】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A,B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵 80元，B种树苗每棵60元. (1)若购进A,B两种树苗刚好用去1220元，求购进A,B两种树苗各多少元？ (2)若购进A种树苗棵，所需总费用为w元 ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用， 【变式3】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级 师生开展以“寻根河南生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用 甲、乙两种不同型号的客车，己知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客 车可乘坐255人. (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客 车，请写出总租车费用w(元)与租用甲型客车数量α（辆）的函数关系式： (3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多.在(2)的条件下，请选出最省钱的租 车方案，并求出最少租车费用. 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国·课后作业)直线y=2x+1与直线y=-3x+6交于点(a,b),则下列各方程组中满 x=a 足解为 y=b的是() y=2x+1 2x-y=-1 A. 3x+y=0 B. 3x+y=6 2x+y=1 y=2x-1 C. 3x-y=6 D y=-3x+6 10/16 专题5.4 二元一次方程与一次函数 教学目标 1. 知识与技能：阐述二元一次方程与一次函数的内在联系，能将二元一次方程转化为一次函数形式，理解方程的解与函数图象上点的坐标的对应关系。 2. 过程与方法：经历从代数到几何的转化过程，掌握用一次函数图象求二元一次方程组近似解的方法，培养数形结合与逻辑推理能力。 3. 情感态度：感受数学知识的关联性与统一性，激发学习兴趣，增强运用数学解决实际问题的自信心与成就感。 教学重难点 1.重点 （1）核心关系理解：透彻掌握二元一次方程与一次函数在“数”（方程的解）与“形”（函数图象）上的对应关系。 （2） 图象解法掌握：学会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解，建立“数”与“形”的转化思维。 2.难点 （1）抽象关系转化：难以深度理解二元一次方程的解集与一次函数图象（直线）之间的本质对应，数形结合意识薄弱。 （2）方法灵活应用：在实际问题中，无法熟练结合图象法与代数法解决问题，对近似解的理解与运用存在困难。 知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据两个一次函数的交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与的交点坐标为， 所以关于的方程组的解是， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，求a的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ． 把点P坐标代入，得， ， 直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：直线与直线：的交点C为， 与直线：的交点D为． ， ， 即， ∴或， 或． 知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 【即学即练2】 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点与点． (1)求一次函数的表达式； (2)若为此一次函数图像上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与面积问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）设点，根据，，易得，由可得，解得或，即可确定点的坐标． 【详解】（1）设一次函数的表达式为， 将，代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）设点， ，， ， ， 又， ，即， 解得或， 点的坐标为或． 4．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分5折．以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额． (1)文文购买标价总额50元的书需付款 元；购买标价总额100元的书需付款 元； (2)求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售；若文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由． 【答案】(1)50，90 (2)y关于x的函数解析式为 (3)选择甲书店去购书更省钱，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用和有理数的混合运算． （1）根据题意结合文文购买标价总额直接求得购书款； （2）根据已知条件分别列出关系式化简即可； （3）根据书店的活动分别求出两家书店购书所需费用，从而可判断哪家书店省钱． 【详解】（1）解：∵， ∴文文购买标价总额50元的书需付款50元； ∵， ∴购买标价总额100元书需付款（元）． 故答案为：50，90． （2）解：当时，； 当时，； ∴y关于x的函数解析式为． （3）解：选择甲书店去购书更省钱．理由如下： 在甲书店购买应支付的金额（元）， 在乙书店购买应支付的金额（元）， ∵， ∴选择甲书店去购书更省钱． 题型01 利用两点式求一次函数的解析式 【典例1】已知一次函数的图象经过两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在一次函数的图象上 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的图象和性质，求出一次函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式进行解答即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为， 把代入， 得 解得 所以该一次函数的表达式为． （2）由（1）可知一次函数的表达式为． 当时，， 所以点在一次函数的图象上． 【变式1】已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果点在这个一次函数图像上且它的纵坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，并将点的坐标代入解析式求解． （1）利用待定系数法，将已知点、的坐标代入一次函数，求解和的值，得到函数解析式； （2）设出点的坐标，将其纵坐标代入已求得的一次函数解析式，求解横坐标，得到点的坐标． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为 把，分别代入后得： 解得 ∴所求一次函数解析式为； （2）解：设 把代入： ， ∴点坐标是． 【变式2】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征； （1）先由题意将点和点代入，从而得到进而写出函数解析式； （2）由点的平移特征知点向右平移3个单位后坐标为，再代入表达式即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：点向右平移3个单位后坐标为， 点在直线上， ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线交于点．若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数综合，关键是注意绝对值方程的解法． （1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 设直线为， 直线经过原点，且与直线交于点， ， 直线为； （2）解：当时，代入，得到， ， ， 点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线交于点， ，， ， ， ， 或． 题型02 图形中求一次函数的解析式 【典例2】如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的表达式； (2)当的面积是的面积的时，求出相应点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，再分点P在上和点P在上两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵和都在直线上， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴的面积是9； 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 如图所示，当点P在上时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G是直线上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线交于点H，且满足．求点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为； 点 ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设，则， 点G在第一象限时，， ， ， 解得； ∴， ∴ 点G在第四象限时，，不合题意，舍去， 综上，． 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上任意一点（，两点除外）． (1)求直线的解析式； (2)过点分别作于点，于点，当点在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； 【答案】(1) (2)不发生变化，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数和几何综合题，求出一次函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点的坐标为，四边形的周长即可得到结论． 【详解】（1）解；设直线的解析式为， 由题意可得， 解得， 的解析式为； （2）不发生变化．理由如下： 设点的坐标为， ，． 四边形的周长 四边形的周长不发生变化 题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例3】如图，函数与的图象的交点坐标可以看作方程组 的解． 【答案】 【分析】根据题意分别求出两个一次函数图象的解析式即可得解． 【详解】解：将点、代入得， 解得， 所以， 将点，代入得， 解得， 所以， 故答案为： ． 【变式1】若一次函数与的图象交点为，则二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此联立两函数所得方程组的解，即为两函数图象的交点坐标． 【详解】解：一次函数与的图象交点为， 所以，就可以同时满足两个函数解析式， 则是二元一次方程组的解， 故答案为：． 【变式2】在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出m的值，再代入求出b的值，再利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可． 【详解】解：直线过点， ， ，且过， ， ， 方程组为， 得：， 解得：， 将代入②，解得： 方程组的解为， 故答案为： 【变式3】已知一次函数与的图象的交点为，则关于的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，根据一次函数的交点坐标就是以一次函数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 题型04 图象法解二元一次方程组 【典例4】如图，直线与直线交于点，则关于x，y二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【变式1】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键．先将点代入求出的值，再根据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系得出方程组的解． 【详解】解：把代入，得，解得， 所以点的坐标为． 因为一次函数与的图象相交于点， 所以方程组的解是． 故答案为：． 【变式2】如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标是由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴关于x，y的方程组的解是； 故答案为： 【变式3】如图，正比例函数（，且为常数）的图象与一次函数（，且、为常数）的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，所以只需确定交点的坐标即可．本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵ 正比例函数与一次函数的图象交于点，且由图可知点的坐标为， ∴ 关于，的方程组的解是． 故答案为：． 题型05 已知两直线求围成的图形面积 【典例5】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与x轴交于点B．直线与直线相交于点，点A的坐标为． (1)求n的值及直线的解析式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一点（不与点重合），且点的横坐标为，求的面积S与m之间的关系式． 【答案】(1)， (2)24 (3)． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线的解析式；（2）（3）利用三角形的面积公式求值． （1）将代入直线即可求出值，由此即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）令直线解析式中求出值，由此即可得出点的坐标，再由点、的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）过点作轴，交于点，由点的横坐标即可得出点、的坐标，进而可得出线段的长度，再利用三角形的面积公式结合点、的纵坐标即可得出的面积与之间的关系式． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：令中，则，解得：， ， ， ， ∴． （3）解：过点作轴，交于点，如图所示． ∵点是直线上的一点（不与点重合），且点的横坐标为， ， ， ， ． 【变式1】如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或． 【分析】本题主要考查了求一次函数的交点坐标，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两条直线的表达式构造方程组，解答即可； （2）先求出点C和点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）连接，首先求出，然后求出，然后根据得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴； （2）解：把代入得，， ∴点C的坐标为， 把代入得，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，如图所示： ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为． 综上可知，或． 【变式2】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析式表达式为， 把，；， 代入表达式得， 解得， 直线的解析式表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍， 即纵坐标的绝对值，则到距离， 点纵坐标是， ，， ， 解得， ， ，， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． (1)分别求出直线与的表达式． (2)已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为； (2)①；②点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式． （1）先求出点B，D的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）①由题意求得点P的纵坐标，再利用三角形面积公式求解即可； ②先求得，再利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a且， ∴点P的纵坐标为， ∴的面积； ②令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴点P的坐标为或． 题型06 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 【典例6】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 3 21 第二次 5 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案． (3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 【答案】(1)每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备 (2)共有两种方案：方案一：租大货车6辆，小货车6辆；方案二：租大货车7辆，小货车5辆 (3)租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组，以及熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设租用大货车辆，则租用小货车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）设运输费用为元，则，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备， 根据题意可得：， 解得：， 每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备； （2）解：设租用大货车辆，则租用小货车辆， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， 或7， 共有两种方案： 方案一：租大货车6辆，小货车6辆， 方案二：租大货车7辆，小货车5辆； （3）解：设运输费用为元， 由（2）可得运输费用为：， ， 运输费用随着的增大而增大， ， 当时，最小，为， 租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元． 【变式1】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式． (3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； (2)； (3)最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意列出方程组，解之即可求解； （）用型车和型车的总费用相加即可求解； （）求出的范围，根据一次函数的性质求解即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式． 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）解：由题意得，； （3）解：在一次函数中， ， 随的增大而小； 由题意知，，则当时，总租车费用最少， ∴最少费用为：元， ∴辆， 答：最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【变式2】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元． (1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？ (2)若购进种树苗棵，所需总费用为元． ①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； ②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)购进种树苗10棵，购进种树苗7棵 (2)①；②当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设购进种树苗棵，购进种树苗棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①根据所需总费用中树苗的费用中树苗的费用列式可得；②根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进种树苗棵，购进种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 购进种树苗10棵，购进种树苗7棵； （2）解：①由题意得：； ②， 随的增大而增大， 购进种树苗的数量不低于9棵， 当时，最小，且最小值为（元）， 此时， ∴当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元． 【变式3】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级师生开展以“寻根河南  生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐255人． (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用（元）与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式； (3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人． (2) (3)租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式； （3）利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设每辆甲型客车可载人，每辆乙型客车可载人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人． （2）解：设租甲型客车辆，则租乙型客车辆， 依题意得：． （3）解：由（2）知：， ， 随着的增大而减小， ， 当时，有最小值为， 即最省钱的租车方案为：租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元； 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握两直线的交点是方程组的解是解题的关键． 根据两个函数图象交点的坐标就是二元一次方程组的解，再将两个函数变形即可得出答案． 【详解】解：可变形为，可变形为， 方程组的解为的是， 故选：B． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键． 先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可． 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】依据题意，根据直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，，进而可以判断①②；依据题意，由一次函数与的图象的交点为，进而可以判断③． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值． 【详解】解：由题意得，直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，， 又结合图象可得，， ，，故①正确，②错误； 又一次函数与的图象的交点为， 方程组的解为，故③正确． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式．把A、B两点的坐标代入函数解析式，就可得到一个关于k、b的方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得到解析式． 【详解】解：把和代入， 得， 解得， 则此函数的解析式为：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·周测）如图，一次函数的图象经过两点，与x轴交于点C，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点，的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． 根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，代入求出与之对应的值，进而可得出点的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时， 解得：， ∴点的坐标为，， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，函数与为常数，且的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，根据函数图象的交点坐标，即可求出方程组的解． 【详解】解：∵函数与为常数，且的图象交于点， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关键． 根据一次函数的性质求出交点，，结合题意，设点，分三种情况分析：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，当点D在的延长线上时，结合图形，列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，解得：， ∴； ，当时，， ，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 当点D在线段上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，不符合题意； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点、． (1)求直线l所对应的函数表达式． (2)若过点B，交y轴于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一次函数上的点的坐标特征，熟练掌握运用待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式． （2）先确定点的位置，再求的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由题意得 直线的表达式为：． （2）解：过点， ． ． ． 当时，． ． ，，， ，． ． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．经销商购进甲种水果所需支付金额（元）与质量（千克）之间的函数关系如图所示． (1)请写出当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额（元）最少？ 【答案】(1)； (2)购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）结合函数图象，利用待定系数法即可得； （2）根据题意可得，购进乙种水果千克，表示出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 所以当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意可得，购进乙种水果千克， 因为当时，， 所以当时，． 因为， 所以随的增大而增大， 所以当时，最小，此时． 答：购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点．    (1)求出关于的方程组的解； (2)直线能否也经过点？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线能经过点． 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系： （1）把代入可求出的值；由直线与直线相交于点可得结论； （2）把分别代入和，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得． ∴直线l和直线m的交点坐标为， 即方程组的解为； （2）解：直线也经过点P． 理由如下：将点代入直线，得 ， 将点代入直线，得 ， 联立解得 ∴当时，直线也经过点P． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点．点的坐标为，连接． (1)求所在直线的函数表达式； (2)若直线与所在直线交于一点，并将分成面积相等的两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数表达式以及根据三角形面积关系确定点的坐标． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求所在直线的函数表达式； （2）先求出的面积，再根据直线将分成面积相等的两部分，确定点的纵坐标，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， 所以， 设所在直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：因为， 所以． 当时，如答图，直线交于点，且， 过点作于点，所以， 即，解得． 在中，令，得， 所以； 当时，直线经过第二、四象限，与线段交于一点， 因为， 所以不存在的值，使直线将分成面积相等的两部分． 综上所述，点的坐标为． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点． (1)求直线的表达式； (2)写出关于，的二元一次方程组的解； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点代入，得，求出点，根据点，，利用待定系数法即可求出直线解析式； （）根据两条直线交点坐标为，即可确定方程组的解； （）两个直线解析式分别令，即可求出点和点，即可求出，结合点的坐标利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点， 把点，代入，得 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵直线与的交点的坐标为， ∴的解为； （3）解：在中，令，得， 解得， ∴点， 在中，令，得， 解得， ∴点， ∴， ∴． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求出与x之间的函数表达式； (2)当两车相遇时，求客车行驶的时间； (3)两车相距时，求客车行驶的时间． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意可知，，然后解方程即可得出答案； （3）分2种情况进行讨论，或分别解方程即可． 【详解】（1）解：（1）设，代入 得到：， 解得：， ∴， 设，代入，， 那么有，，解得 ∴； （2）解：两车相遇时，，那么有 解得： 故客车行驶的时间为； （3）解：两车相距时，那么有 或 解得或 故客车行驶的时间为或． 15．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)若是该一次函数图象上的两点，且，求m的取值范围； (3)当时，y的最小值是________； (4)将一次函数的图象向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度就可得到正比例函数的图象． 【答案】(1) (2) (3) (4)上，3 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数解析式图象的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案； （3）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案； （4）根据图象平移的规律得到答案即可； 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可知：一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而增大； 当， ∴； （3）解：由（2）可知：随的增大而增大， ∴当时，其中时，有最小值为； 故答案为：． （4）解：由（1）可知：，由的图象向上移动3个单位长度变成的图象； 故答案为：上，3． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． (1)请你算出A，B两种商品每件的进价； (2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】(1)每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； (2)①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． （2）（2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 18．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，直线交直线于点，交负半轴于点，交轴正半轴于点．且． (1)求出点坐标并求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接． ①点移动过程中，求证：； ②求面积的最小值． 【答案】(1)： (2)①证明见解析；② 【分析】（1）求出A、B的坐标，从而求出的长度，根据求出的长度，从而可求C、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①证明即可；②，其最小值即为取得最小值时取得，而时，取得最小值，根据等面积法即可求得答案． 本题考查了一次函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理、熟练掌握相关定理或性质是解题关键． 【详解】（1）解：对于直线， ∴当时，；当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为 ， ∵， ∴ ∴ 设为，则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）①证明： ， ∴在和中，， ∴， ∴； ②由①知． ∵ 的面积是， ∴当取得最小值时，面积取得最小值． ∵ ． 当时，取得最小值， 利用等面积法：， ∴， ∴面积的最小值是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $