精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026年度第一学期初三年级第一次月考数学试题 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．解答题的答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 3. 方程经过配方后，其结果正确是（ 　 ） A. B. C. D. 4. 下列关于抛物线的说法正确的是（ 　　） A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 D. 抛物线与轴有两个交点 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 6. 一元二次方程的根的情况是（   ）． A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 10. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 11. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_________． 12. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点，下面给出了四个结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④，你认为其中正确的是_________．（填序号） 三、解答题（共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 解方程： （1）； （2） 14. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的两个实根，是否存在值使，若存在，求出值，若不存在，请说明理由． （3）若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 16. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 17. 冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 18. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数关系解析式； （2）点p是直线上方抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期初三年级第一次月考数学试题 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．解答题的答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程． 根据一元二次方程定义逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，方程为一元二次方程，所以A选项不符合题意； B． 为二元一次方程，所以B选项不符合题意； C．为分式方程，所以C选项不符合题意； D．为一元二次方程，所以D选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可. 【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5， ∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等． 3. 方程经过配方后，其结果正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 先移项，再配方即可． 【详解】， ， ， ． 故选：A． 4. 下列关于抛物线的说法正确的是（ 　　） A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 D. 抛物线与轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系即可找到说法正确的选项． 【详解】解：抛物线中的系数， 抛物线开口向下，选项说法错误； 抛物线的顶点坐标为， 选项说法错误； 抛物线开口向下， 在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项说法错误； 一元二次方程中， 该方程有两个不等实数根， 即抛物线与轴有两个交点，选项说法正确． 故选：． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； 乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； 丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误． 故选：C． 6. 一元二次方程的根的情况是（   ）． A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 7. 已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是，根据时，y随x的增大而增大，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴图像的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵，，， 又∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练的运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键． 【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意； B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意； C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意； D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 10. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 【答案】y=3（x+2）2﹣1 【解析】 【详解】解：抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2；抛物线y=3(x+2)2的图象向下平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2﹣1， 故答案为y=3(x+2)2﹣1． 11. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关鍵， 根据“方程是一元二次方程”，得到，结合“该方程有两个实数根”，得到，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点，下面给出了四个结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④，你认为其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由二次函数的图象得出，，再由题意得出，，综合可证明结论①③④的正误，再由二次函数的对称性可证明结论②的正误． 【详解】解：由图得，抛物线的开口向下，且与轴交于轴正半轴， ，， 抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点， ，， ， ，即结论①正确； ， ，即结论③正确； 抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点是， 抛物线与轴的另一个交点是，即结论②错误； ， ， ，即结论④正确． 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 三、解答题（共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是熟练掌握各种一元二次方程的解法，选择最优． （1）根据十字相乘因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）根据提公因式分解的方式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ‘’ 或， ∴； 【小问2详解】 解： ， ， ∴或， ∴ 14. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是 【解析】 【分析】（1）利用配方法化成顶点式即可； （2）根据顶点式写出对称轴、顶点坐标即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ∵二次函数， ∴该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数解析式化为顶点式，二次函数图像与性质，解题关键是熟练运用配方法进行，明确顶点式的意义． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的两个实根，是否存在值使，若存在，求出值，若不存在，请说明理由． （3）若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，解题的关键能够正确运用判别式的表达式以及根与系数的关系式． （1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可； （2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断． （3）联立可解得方程的一个根，再将这个根代入原方程即可求得k的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：即k的取值范围为 【小问2详解】 解：是方程的两个实数根， 解得 ∵方程有实数根时k取值为 ∴不存在k值使得 【小问3详解】 解：由得 代入中得， 解得：， 把代入原方程得，， 解得：． 16. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 17. 冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质. （1）由题意知，顶点P的坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，求解即可； （2）由题意知，，当时，求出，由对称性可知，即可得解 【小问1详解】 由题意知，顶点P的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意知，， ， 当时，， 由对称性可知， ， 故这两根窗框的总长度为米． 18. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在点，使面积最大 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设点P坐标为，连接，作轴于M，轴于N．根据，最后利用二次函数的性质求解即可． （3）假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况①若平行于x轴，②若不平行于x轴，分别画出图形，利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将，两点带入可得： 解得： ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 设点P坐标为，如图连接，作轴于M，轴于N． ，，． 当时，， ∴ ∴ ， ∵， ∴函数有最大值，当时，有最大值， 此时； ∴存在点，使面积最大． 【小问3详解】 存在， 假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ①若平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 ∵轴， ∴点M、点关于对称轴对称， ∴， ∴．由， ∵ ∴； ②若不平行于x轴，如下图，过点M作轴于点G， 则 ∵，且， ∴， ∴， ∴，，即． 设， 则有， 解得：． 又， ∴， ∴， 综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数求三角形面积的最值， 二次函数和四边形的综合问题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $