专题5.3 二元一次方程组的应用（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题5.3 二元一次方程组的应用 教学目标 1. 能准确分析实际问题中的已知量与未知量，找出等量关系，熟练列出二元一次方程组并求解。 2. 经历“审、设、列、解、验、答”的完整过程，初步建立数学模型，感受数学的应用价值。 3. 体会转化思想，提升将文字信息转化为数学符号的能力，增强数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）核心是掌握“找等量关系”这一关键步骤，能据此正确列出二元一次方程组解决实际问题。 （2）熟练掌握列方程组解应用题的基本步骤，并能检验解的合理性，规范作答。 2.难点 （1）面对复杂或隐蔽的实际情境时，难以梳理数量关系，准确提取出构建方程组所需的等量关系。 （2）不易根据问题特点合理设未知数（直接或间接设），且易忽视检验结果的实际意义。 知识点01 列方程组应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 【即学即练1】 1．（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 2．（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）已知：用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨；用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划用型飞机辆，型飞机辆，一次运完，且恰好每辆飞机都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型飞机和辆型飞机都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租飞机方案； (3)若型飞机每辆需租金元次，型飞机每辆需租金元次．请选出最省钱的租飞机方案，并求出最少租飞机费用． 知识点02 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 【即学即练2】 3．（2025九年级下·全国·专题练习）体育器材室有、两种型号的实心球，只型球与只型球的质量共千克，只型球与只型球的质量共千克．每只型球、型球的质量分别是多少千克？ 4．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 题型01 二元一次方程组的应用之方案问题 【典例1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货 吨． 【变式2】（2025九年级下·新疆·专题练习）某班组织去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张30元．如果40名学生购票恰好用去1100元，甲乙两种票各有多少名学生购买？ 【变式3】（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 题型02 二元一次方程组的应用之行程问题 【典例2】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【变式3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 题型03 二元一次方程组的应用之工程问题 【典例3】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【变式3】（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 题型04 二元一次方程组的应用之数字问题 【典例4】（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 【变式2】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【变式3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 题型05 二元一次方程组的应用之年龄问题 【典例5】（20-21八年级上·陕西榆林·期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【变式3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 题型06 二元一次方程组的应用之分配问题 【典例6】（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【变式3】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 题型07 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，饺子和汤圆的进价分别是每盒多少元？ 【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 题型08 二元一次方程组的应用之和差倍分问题 【典例8】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【变式2】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为 ． 题型09 二元一次方程组的应用之几何问题 【典例9】如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），求一个小长方形的长与宽． 【变式3】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 题型10 二元一次方程组的应用之古代问题 【典例10】（2024·湖北·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈四；人出六，不足二，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多4钱；每人出6钱，又会差2钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．人与车各多少？ 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 2．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ） A．6尺 B．8尺 C．10尺 D．12尺 3．（2025八年级上·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算筹是我国古代数学的重要创举，下图从左到右分别表示数字1到9，如图（a）的排列则表示方程组，那么图（b）表示的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某商场新购进一种服装，每套服装售价1000元．若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则这套服装中上衣原来的售价是 元/件． 8．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为 平方米 10．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． y 2 x a b 三、解答题 11．（山西省晋中市多校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 15．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 16．（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 17．（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 18．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 19．（24-25七年级下·海南海口·期中）根据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)放入一个小球水面升高多少厘米？放入一个大球水面升高多少厘米？ (2)放入大球、小球共10个，如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材，如图①所示（单位：）． (1)列出方程（组），求出图①中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，则刚好可以做成如图②所示的竖式与横式两种无盖礼品盒若干个（竖式无盖礼品盒由4张A型板材和1张B型板材组成，横式无盖礼品盒由3张A型板材和2张B型板材组成）．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒的个数． 21．（24-25七年级下·全国·期末）科学家为了探测火星上是否有智能生物人，有人建议向火星发射如下的九宫方格数据图，图中数据满足各行、各列及对角线上三个数之和都相等，如果火星上有智能生物人，那么他们就可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物人．图①是某研究员在九宫方格内设计的一个准备向火星发射的图案的一部分，格内填写了一些式子和数． (1)请你计算出x，y的值； (2)把满足图①的其他7个数填入图②相应的九宫方格内． 22．（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 23．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 24．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 25．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 二元一次方程组的应用 教学目标 1. 能准确分析实际问题中的已知量与未知量，找出等量关系，熟练列出二元一次方程组并求解。 2. 经历“审、设、列、解、验、答”的完整过程，初步建立数学模型，感受数学的应用价值。 3. 体会转化思想，提升将文字信息转化为数学符号的能力，增强数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）核心是掌握“找等量关系”这一关键步骤，能据此正确列出二元一次方程组解决实际问题。 （2）熟练掌握列方程组解应用题的基本步骤，并能检验解的合理性，规范作答。 2.难点 （1）面对复杂或隐蔽的实际情境时，难以梳理数量关系，准确提取出构建方程组所需的等量关系。 （2）不易根据问题特点合理设未知数（直接或间接设），且易忽视检验结果的实际意义。 知识点01 列方程组应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 【即学即练1】 1．（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【答案】1568千米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为x千米，飞机的飞行速度为y千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：2小时40分钟小时，2小时20分钟小时， 设两城之间的距离为x千米，无风时飞机的飞行速度为y千米/小时， 由题意得， 解得． 故A，B两城之间的距离为1568千米． 2．（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）已知：用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨；用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划用型飞机辆，型飞机辆，一次运完，且恰好每辆飞机都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型飞机和辆型飞机都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租飞机方案； (3)若型飞机每辆需租金元次，型飞机每辆需租金元次．请选出最省钱的租飞机方案，并求出最少租飞机费用． 【答案】(1)辆型飞机一次可运货吨，辆型飞机一次可运货吨 (2)有两种租飞机方案：方案一：型飞机辆，型飞机辆；方案二：型飞机辆，型飞机辆 (3)最省钱的租飞机方案是方案二：型飞机辆，型飞机辆，最少租飞机费用为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用． （1）根据辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨；辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨，列出方程组即可解决问题． （2）由题意得到，根据、均为正整数，即可求出、的值． （3）求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题． 【详解】（1）解：设辆型飞机一次可运货吨，辆型飞机一次可运货吨． 依题意列方程组得：， 解方程组，得： 答：辆型飞机一次可运货吨，辆型飞机一次可运货吨． （2）结合题意和（1）得： ， 都是正整数 或 答：有两种租飞机方案： 方案一：型飞机辆，型飞机辆； 方案二：型飞机辆，型飞机辆． （3）型飞机每辆需租金元次，型飞机每辆需租金元次， 方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） ＞， 最省钱的租飞机方案是方案二：型飞机辆，型飞机辆，最少租飞机费用为元． 知识点02 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 【即学即练2】 3．（2025九年级下·全国·专题练习）体育器材室有、两种型号的实心球，只型球与只型球的质量共千克，只型球与只型球的质量共千克．每只型球、型球的质量分别是多少千克？ 【答案】千克；千克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，通过设未知数，根据题目中的等量关系列方程组是解题的关键．设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题目中给出的两种球质量的数量关系列出方程组，然后用加减消元法求解方程组即可得解． 【详解】解：设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题意可得： ， 得，， 解得， 将代入式得， 方程组的解为． 答：每只型球的质量是千克，每只型球的质量是千克． 4．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，利用时间路程速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两地相距千米． 题型01 二元一次方程组的应用之方案问题 【典例1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，准确得到等量关系是解题的关键．设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意得， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货 吨． 【答案】1.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意得，， ，得， ∴， 即辆大货车比辆小货车一次多运货吨， 故答案为：． 【变式2】（2025九年级下·新疆·专题练习）某班组织去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张30元．如果40名学生购票恰好用去1100元，甲乙两种票各有多少名学生购买？ 【答案】有20名学生购买甲种票，20名学生购买乙种票 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设名学生购买甲种票，名学生购买乙种票，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设名学生购买甲种票，名学生购买乙种票，由题意可得， ， 解得， 答：有20名学生购买甲种票，20名学生购买乙种票． 【变式3】（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 题型02 二元一次方程组的应用之行程问题 【典例2】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种追击情况，分别找出小明和小亮路程的等量关系，从而列出方程组．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及等量关系列方程组是解题的关键． 【详解】解：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上小亮，此时小亮跑了秒，小明跑的路程等于小亮跑的路程，即； 小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上小亮，此时小明跑的路程等于小亮跑的路程加上16米，即． 所以方程组为 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 【变式3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【答案】(1)甲的赛跑速度为 (2)乙获胜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由甲的速度是乙的1.2倍，即可求解； （2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）依题意得：甲的赛跑速度为； （2）设甲用时为秒，乙用时为秒， 依题意得：， 解得：； ， 此次赛跑中乙获胜． 题型03 二元一次方程组的应用之工程问题 【典例3】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【变式3】（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 题型04 二元一次方程组的应用之数字问题 【典例4】（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【答案】5和7/7或5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 【变式2】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【答案】和 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设其中一个加数为，另一个加数为，根据两种情况进行列出方程组，求解即可． 【详解】解：设其中一个加数为，另一个加数为，根据题意得， 解得 所以原来的两个加数分别为和． 【变式3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 题型05 二元一次方程组的应用之年龄问题 【典例5】（20-21八年级上·陕西榆林·期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 【变式1】小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【变式3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 题型06 二元一次方程组的应用之分配问题 【典例6】（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【答案】共有节火车车厢，这批货物共有吨， 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有节火车车厢，这批货物共有吨，根据货物的总量为定值，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有节火车车厢，这批货物共有吨，由题意，得： ，解得：； 答：共有节火车车厢，这批货物共有吨． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 题型07 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据甲和乙的数据列出方程组，求出解再判断即可. 【详解】解：设红豆棒冰的单价为x元，奶油棒冰的单价为y元． 假设甲、乙两人都正确，则 解得 当时， ． 所以甲、乙、丁三人的总价都算对了，丙的总价算错了． 故选：C. 【变式1】今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，饺子和汤圆的进价分别是每盒多少元？ 【答案】12元；8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒．饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，则；饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，则．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒， 由题意得：， 解得：， 答：饺子和汤圆的进价分别是每盒12元，8元． 【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． (2)有种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（1）通过设、型汽车每辆进价，根据已知购进数量与总价的关系，列二元一次方程组求解． （2）设购买、型汽车的数量，根据总价列出方程，结合正整数条件确定购买方案，再根据利润公式求出最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． ， 解得， 答：型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型新能源汽车辆，购买型新能源汽车辆．则 ， 化简得，即． 因为、均为正整数， 所以当时，； 当时，； 当时，（不符合两种都购买，舍去）． 所以有种购买方案： 方案一：购买型辆，型辆，利润为（万元）； 方案二：购买型辆，型辆，利润为（万元）． 因为， 所以最大利润是万元． 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 题型08 二元一次方程组的应用之和差倍分问题 【典例8】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为 ． 【答案】750 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是求出大长方形的长，然后运用长方形的面积公式进行解答即可．设小长方形的长是，宽是，再建立方程组，进而求出大长方形的长和宽以及面积． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是． 由题意得， 解得， 所以大长方形的长是． 答：大长方形的面积是． 故答案为： 题型09 二元一次方程组的应用之几何问题 【典例9】如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】82 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设小长方形的长是，宽是，得到，求出x、y的值，即可得到阴影的面积． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图形得到：， ∴， ∴大长方形的宽是， ∴阴影的面积． 故答案为：82． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据图形中长与宽的数量关系列方程组，求解出小长方形的长和宽，进而算出大长方形面积．本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列方程组求解是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为．由图可知： 解得， ∴大长方形的长为，宽为，大长方形面积 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），求一个小长方形的长与宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形列方程组得：， 解得， 所以，小长方形的长为，宽为， 答：小长方形的长为，宽为． 【变式3】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 题型10 二元一次方程组的应用之古代问题 【典例10】（2024·湖北·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈四；人出六，不足二，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多4钱；每人出6钱，又会差2钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多4钱；每人出6钱，又会差2钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，那么 ， 故选：C． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，设绳索长m尺，竿长n尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺”，即可得出关于m， n的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长m尺，竿长n尺， 根据题意得：， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．人与车各多少？ 【答案】人有39人，车有15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设共有x人，y辆车，列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 依题意，得 解得． 答：人有39人，车有15辆． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ） A．6尺 B．8尺 C．10尺 D．12尺 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则门高：． 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列出方程组是解题的关键．设小盒茶叶的长为，宽为，根据图①和图②的包装情况列出方程组，求解出、，进而得出正方形礼盒的边长． 【详解】解：设小盒茶叶的长为，宽为． 由得，代入得 正方形礼盒边长为（） 故选：． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算筹是我国古代数学的重要创举，下图从左到右分别表示数字1到9，如图（a）的排列则表示方程组，那么图（b）表示的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组， 先观察图（a）可知未知数前的系数及等式右边的常数，根据上述特点解答即可． 【详解】解：根据题意可知图（b）表示的方程为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据幻方的特点列出关于x、y的方程．根据“每行、每列和对角线上的数字和都相等”列出方程组并解答． 【详解】解：根据题意，得，即， 解得． 所以． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是 ． 【答案】 【分析】 设飞机的平均速度为km/h，风速为km/h，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可. 【详解】解：设风速为km/h，飞机无风时的平均速度为km/h． 根据题意，得 解得 ∴飞机无风时的平均速度为km/h，风速为km/h． 故答案为：km/h． 【点睛】本题考查了根据题意列二元一次方程组求解的问题，熟练掌握是解决本题的关键． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某商场新购进一种服装，每套服装售价1000元．若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则这套服装中上衣原来的售价是 元/件． 【答案】800 【分析】设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元． 由题意，得 解得 ∴调价前上衣的单价是800元． 故答案为：800． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 【答案】 【分析】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤， 根据题意，得 整理，得 解得， ∴一只雀重斤，一只燕重斤， 故答案为：，． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为 平方米 【答案】1080 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出方程组是解题的关键．通过设每块小长方形茶室的长和宽，依据茶园的长和宽列出正确方程组，求解出长和宽，进而算出总面积． 【详解】解：设每块小长方形茶室的长为米，宽为米．由题意得 解得 每块小长方形面积为（平方米） 五块总面积为（平方米） 故答案为：． 10．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 三、解答题 11．（山西省晋中市多校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准数量关系列方程组是解题的关键． 设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为，根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为． 根据题意，得 13．（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 15．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 16．（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 17．（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【答案】(1)设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元 (2)有两种进货方案：方案一：购进设备台，设备台；方案二：购进设备台，设备台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列方程（组）并求解是解题的关键． （1）设出、设备的进价，根据已知的两种采购情况列出二元一次方程组，求解得出进价． （2）根据投入资金列出方程，结合正整数条件，对未知数取值讨论，得出进货方案． 【详解】（1）解：设设备每台的进价为万元，设备每台的进价为万元． 解得 答：设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元． （2）解：已知企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台 得 因为、均为正整数，所以对进行取值讨论： 当时，； 当时，； 当时，（为正整数，故舍去） ∴有两种进货方案： 方案一：购进设备台，设备台； 方案二：购进设备台，设备台． 18．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据数量关系列出方程运算即可； （2）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得：， 解这个方程组得， 答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹． （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， ∵和都为整数， ∴符合条件的解为：，，， 答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个． 19．（24-25七年级下·海南海口·期中）根据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)放入一个小球水面升高多少厘米？放入一个大球水面升高多少厘米？ (2)放入大球、小球共10个，如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)放入一个小球水面升高2厘米；放入一个大球水面升高3厘米 (2)应放入大球4个，小球6个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解图中信息是解题的关键． （1）根据放入小球、大球后液面上升情况； （2）设放入大球x个，小球y个，根据总数是10个，液面上升列二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 答：放入一个小球水面升高2厘米；放入一个大球水面升高3厘米； （2）解：设放入大球x个，小球y个， 依题意，得：， 解得：． 答：应放入大球4个，小球6个． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材，如图①所示（单位：）． (1)列出方程（组），求出图①中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，则刚好可以做成如图②所示的竖式与横式两种无盖礼品盒若干个（竖式无盖礼品盒由4张A型板材和1张B型板材组成，横式无盖礼品盒由3张A型板材和2张B型板材组成）．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒的个数． 【答案】(1) (2)可以做竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据已知条件先列出二元一次方程组求出a与b的值，再根据图示列出关于m、n的二元一次方程组并求解． （1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组并求解； （2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，根据已知和图示列出关于m、n的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】（1）依题意，得， 解得； （2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个， 依题意，得， 解得， 所以可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个． 21．（24-25七年级下·全国·期末）科学家为了探测火星上是否有智能生物人，有人建议向火星发射如下的九宫方格数据图，图中数据满足各行、各列及对角线上三个数之和都相等，如果火星上有智能生物人，那么他们就可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物人．图①是某研究员在九宫方格内设计的一个准备向火星发射的图案的一部分，格内填写了一些式子和数． (1)请你计算出x，y的值； (2)把满足图①的其他7个数填入图②相应的九宫方格内． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过理解题意可知本题的等量关系是：“每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等”，列出方程组求解即可． （2）由第（1）问可得出，然后可求出各行、各列及对角线上三个数之和都为，利用此即可求出其余各数． 【详解】（1）解：∵各行、各列及对角线上三个数之和都相等， ∴列出方程组， 或， 或， 解方程组得， 答：，的值分别为，1； （2）由（1）得，， ∴， 则各行、各列及对角线上三个数之和都为， 则第二行第一个数为：， 第一行第一个数为：， 第一行第二个数为：， 故九宫方格所填数字如下： ． 22．（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合鸡的价格即可求出购买鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论． 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． 23．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 24．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 25．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； (2)小无人机实行九折优惠； (3)①；②这两天总营收的最小值为18840元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． 【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $