专题5.1 认识二元一次方程组（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题5.1 认识二元一次方程 教学目标 1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组的解。 2. 能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作用。 3. 感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足所有方程。 （2）能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。 2.难点 （1）区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特性。 （2）从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方程。 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 【即学即练1】下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 知识点02 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 【即学即练2】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必须是整式方程，否则就不是二元一次方程组． 二元一次方程组是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的两个整式方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组．据此判断即可． 【详解】解：A、第一个方程不是二元一次方程，故不是，不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故不是，不符合题意； C、含有3个未知数，故不是，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 知识点03 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 【即学即练3】下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解； 将各选项中的x和y值代入方程，验证是否满足等式． 【详解】解：A、将代入；则；故选项不符合题意； B、将代入；则；故选项不符合题意； C、将代入；则；故选项符合题意； D、将代入；则；故选项不符合题意； 故选：C 知识点04 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 【即学即练4】已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 题型01 判断是否是二元一次方程 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程的概念，正确记忆二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程是解题关键．根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、：含两个未知数，但乘积项次数为2，不符合二元一次方程的定义； B、：的次数为2，不符合二元一次方程的定义； C、：含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； D、：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意； C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据含有两个未知数（“二元”），并且含有未知数的项的最高次数都是 1（“一次”）的整式方程，叫做二元一次方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、，只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、，是分式，不是二元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①为二元一次方程； ②为二元二次方程； ③为二元二次方程； ④为分式方程； ⑤为三元一次方程； ⑥为代数式，不是方程； 故为二元一次方程的有①，有1个， 故选：A． 题型02 根据二元一次方程的定义求字母的值 【典例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为3． 【变式2】若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义和求代数式的值，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义和已知条件得出，求出m、n的值即可． 【详解】解：因为方程是关于是关于x，y的二元一次方程， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 题型03 判断是否是二元一次方程的解 【典例3】下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 【变式1】下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 是二元一次方程的解，选项A符合题意； B．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项B不符合题意； C．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项C不符合题意； D．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项D不符合题意． 故选：A． 【变式2】方程的解不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义． 根据二元一次方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A、当，时，，所以不是方程的解； B、当，时，，所以是方程的解； C、当，时，，所以是方程的解； D、当，时，，所以是方程的解； 故选：A． 【变式3】下列二元一次方程组的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【知识点】根据二元一次方程组的解的定义，将解逐一代入方程组，能够使两个方程都成立的，即为该方程组的解，即可求得． 根据二元一次方程组的解代入计算即可判断． 【详解】解：将 代入各项中的二元一次方程， A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 题型04 二元一次方程的解代入求值 【典例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 将代入，得到，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：1． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若是方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将代入方程得到，代入即可求解． 【详解】解：因为是方程的一个解， 所以， 所以． 题型05 二元一次方程的整数解 【典例5】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知数的整数值． 根据二元一次方程的整数解的定义写出即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程的正整数解共有（    ）组． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：C． 【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 题型06 判断是否是二元一次方程组 【典例6】下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程含有分式，不符合题意； B、方程组中第一个方程中的是二次的，不符合题意； C、该方程组中有三个未知数，不符合题意； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程是二元二次方程，不符合题意； B、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合题意； C、该方程组中含有3个未知数，不符合题意； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义． 利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①，是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ②，次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ③，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ④，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑤，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑥，该选项是二元一次方程组，符合题意； 故选：C． 题型07 判断是否是二元一次方程组的解 【典例7】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【变式1】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式2】下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故答案选B． 【变式3】已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 题型08 根据二元一次方程组的解求字母的值 【典例8】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】已知与都是方程的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次方程组， 先根据题意列出方程组，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：；． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件组成新的方程组，求出和的值，再将和的值代入第二个方程求出的值． 【详解】解：∵方程组的解满足③， ∴①和③组成新的方程组为，解得， 将代入②，得． 故答案为：4． 【变式3】小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ． 【答案】8 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．将代入方程组中第二个方程，解得，再将、代入方程组中第一个方程，即可求解●的值． 【详解】根据题意，将代入方程组中第二个方程， 得， 解得， 再将、代入方程组中第一个方程， 解得●， 故答案为8． 题型09 根据实际问题列二元一次方程 【典例9】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】 解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 【变式1】某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ． 【答案】 【分析】利用梨树种植量比计划增长10%，苹果树种植量比计划减少5%，分别表示出苹果与梨树的棵数进而得出等式求出即可． 【详解】解：设实际种植梨树x株，苹果树y株，由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际植树的棵数是解题关键． 【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ． 3 x y 4 【答案】y=2x-3 【分析】根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，填表，得到关于x和y的等式，化简可得结果． 【详解】解：由题意可得： 各行、各列及对角线的上的三个数之和为：x+y+3， 填表如下： y-1 y-x+4 3 x-y+4 x x+y-4 y x-1 4 ∴x-y+4+x+x+y-4=x+y+3， 化简得：y=2x-3， 故答案为：y=2x-3． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，二元一次方程，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 【变式3】（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列四个方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）下列各对数值中是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将各选项中的和代入方程，验证是否等于10即可． 【详解】解：A．将，代入方程：，是方程的解，符合题意； B．将，代入方程：，不是方程的解，不符合题意； C．将，代入方程：，不是方程的解，不符合题意； D．将，代入方程：，不是方程的解，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．3 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得： ，解得：． 故选B． 4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的定义，即含有两个未知数且每一个方程都是二元一次方程，判断解答即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③是二元一次方程组，符合题意； ④不是二元一次方程组，不符合题意． ∴二元一次方程组有①②③，共3个． 故选C． 5．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意的等量关系是解题的关键．设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，根据等量关系：“相遇时两车走的路程之和为千米”，“ 小汽车比客车多行驶千米”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时， 依题意可得出方程组：． 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知方程是二元一次方程，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，，，， 解得，且，， 故，， 故， 故选：A． 7．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 二、填空题 8．（24-25七年级下·全国·期中）如果是二元一次方程，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，只含有个未知数且含有未知数的项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程，据此解答即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 10．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若第一象限的点满足，且均为整数，则满足条件的点有 个． 【答案】2 【分析】解方程，求得整数解或，即为第一象限的点． 【详解】解：将方程变形得： 在第一象限，且均为整数. 为偶数，为偶数. 为奇数. 当时， 即 当时, ，即 即满足条件的点有2个. 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及坐标与象限，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义． 根据二元一次方程的解表示出，通过变形代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ． 【答案】8.75 【分析】将代入，得的值，再将x，y代入求出p的值，将x，y，p的值代入即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 故答案为：8.75． 三、解答题 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程组： (1)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有1个笼无鸡可放．有多少只鸡？有多少个笼？ (2)某企业去年国内、国外销售总收入为1000万元，因金融风暴，今年的总收入比去年的总收入降低了10%，其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%．去年国内和国外销售收入分别为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设有个笼，有只鸡．利用“每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放”，“每个笼中放5只，则有1个笼无鸡可放”两个等量关系列方程即可． （2）设去年国内和国外销售收入分别为万元和万元，利用“国内、国外销售总收入为1000万元”，“总收入比去年的总收入降低了10%，其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%”两个等量关系列方程即可. 【详解】（1）解：设有个笼，有只鸡．根据题意， 得 （2）设去年国内和国外销售收入分别为元和元．根据题意， 得 【点睛】本题考查了列方程组解应用题，找出等量关系是解题的关键. 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 19．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”． (1)判断点是否为“梦之点”； (2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)第三象限，理由见解析 【分析】（1）根据“梦之点”定义，结合点坐标列方程求出、，再验证是否成立． （2）依据“梦之点”定义，用表示、，代入列方程求出，得到点坐标，从而确定象限 ． 本题主要考查新定义“梦之点”与点的坐标、象限的综合应用，涉及方程求解，熟练掌握新定义的运用及通过方程确定未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴， ∴， ∴点是“梦之点”． （2）解：点在第三象限．理由如下： ∵点是“梦之点”， ∴， ∴， ∴代入有， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点在第三象限． 21．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 22．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 23．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习） “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算 ，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加， 得3266． (1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出：_____ (2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m，n满足的数量关系； (3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值． 【答案】(1)3 (2) (3)6 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得，，，即可解答； （3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，；当千位是1时，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴或1或2或3， ∵， ∴或1或0， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图4， 当千位是0时，， 解得：（不合题意，舍去）； 当千位是1时，， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.1 认识二元一次方程 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1二元一次方程的概念 知识点2二元一次方程组的概念 知识清单 知识点3二元一次方程的解 知识点4二元一次方程组的解 题型1判断是否是二元一次方程 认识二元一次方程组 题型2根据二元一次方程的定义求字母的值 题型3二元一次方程的解代入求值 题型4二元一次方程的整数解 题型精讲 题型5判断是否是二元一次方程组 题型6判断是否是二元一次方程组的解 题型7根据二元一次方程组的解求字母的值 题型8根据实际问题列二元一次方程 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组的解。 教学月标 2.能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作用。 3.感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。 1.重点 (1)掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足所 有方程。 教学重难点 (2)能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。 2.难点 (1)区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特性。 (2)从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方程。 知识清单 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点01二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 【即学即练1】下列各式是二元一次方程的是（) A.x+1=1 B.y=-1 C.x=y-2 D.x=y+c y 知识点02二元一次方程组的概念 1将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而 成，方程个数也不一定是两个 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数；②含未知数的项的次数是否都是1；③是 否含有多个方程组成。 【即学即练2】下列方程组中是二元一次方程组的是() x2+y=1 5x-2y=3 2x+z=0 x=5 A. B 1 C 1 D. x+y=2 +y=3 3x-y= xy_ 5 (237 知识点03二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 【即学即练3】下列哪组数是方程2x+y=5的解() x=1 x=1 x=2 x=0 A. D. y=2 B y=-2 y=1 y=-1 知识点04二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方 程不成立，则不是方程的解。 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 「x=0「x=2「x=1 【即学即练4】己知下面三对数值： y=-23y=-3y=-51 (1)哪几对能使方程2x-y=7左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程x+2y=-4左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组 2x-y=7 x+2y=一4的解是什么？ 2/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断是否是二元一次方程 【典例1】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨阶段练习)下列方程中，是二元一次方程的是() A.y=5 B.x+y2=7 C.x+y=1 D.1-y=2 【变式1】(24-25八年级上江西抚州，期末)下列各方程中，是二元一次方程的是() A.xy=3 B.x-y=0 C.L-y=5 D.x2+y=4 【变式2】(25-26八年级上广西南宁开学考试)下列等式中是二元一次方程的是（) A.4x-9y=4B.4x2-9x=12 c.3=9 D.4x=8 【变式3】(25-26八年级上.全国课后作业)下列式子中：①2x+y=4;②3y=7;③x2+2y=0;④ 1-2=y:⑤2x+y+z=1;⑥2m+3n,二元一次方程的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 题型02根据二元一次方程的定义求字母的值 【典例2】(24-25七年级下·浙江宁波期中)若关于x的方程x2-+3y=6是二元一次方程，则k的值是() A.1 B.2 C.-1 D.-2 【变式1】(25-26八年级上重庆沙坪坝阶段练习)已知xm-8+(m+3y=8是关于x,y的二元一次方程，则 m的值为」 【变式2】若方程2x2+y2*m=是关于水y的二元一次方程，则：一 【变式3】(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)若方程xm-+2y3m1=1是二元一次方程，则 m+n= 题型O3判断是否是二元一次方程的解 3 【典例3】下列各组x、y的值中不是二元一次方程，x+y=6的解的是() 4 x=-2 4 x=4 x=8 x=_ A. 15 C. D 3 y=3 y= y=0 2 y=6 【变式1】下列各对数是二元一次方程x+3y=2的解的是() 3/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=1 x=0 A. Jx=-4 x=2 B y=2 y=-2 y=-1 D y=3 【变式2】方程2x-y=3的解不可能是() x=-1 x=0 x=2 X=3 A. C. y=-4 y=-3 y=1 D.1 y=3 x=2 【变式3】下列二元一次方程组的解是少=的是（） x+y=3 2x-y=0 A. B. x-y=2 x+y=3 2x-y=3 3x-4y=2 C. D. x+3y=5 4x-3y=6 题型04二元一次方程的解代入求值 【典例3】(24-25七年级下.福建泉州期中)若 x=2 y=1 是关于xy的方程2x-y=3的一个解，则a的值 为一 【变式1】(25-26八年级上·湖南长沙开学考试)已知 =2是二元一次方程x+m=5的一个解，则 x=1 【变式2】C2025八年级上全国，专题练习》若6是方程2x+=2的个解，求0+46-3的值 题型05二元一次方程的整数解 【典例5】(24-25七年级下江苏无锡期末)写出二元一次方程x+2y=11的一个整数解一， 【变式1】(2425七年级下.四川宜宾期中)二元一次方程3x+2y=15的正整数解共有()组， A.4 B.3 C.2 D.1 【变式2】(2025四川泸州中考真题)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了 求不定方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地，方程2x+3y=21的 正整数解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3】(24-25七年级下·全国阶段练习)已知二元一次方程x+2y=5. (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 x=-1 y=3 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型06判断是否是二元一次方程组 【典例6】下列方程组，其中是二元一次方程组的有」 (填序号) 2m-n=1 m②x-2y=0 l32+2=8Ⅲ® x=1 3a+2b=1 ① ④ m+n=8 x+2y=5 a-b2=8 【变式1】(2025八年级上·全国.专题练习)下列方程组中，属于二元一次方程组的是() 1 -+y=1 x-y=2 x=2 A. B y=9 D 16x-6y=-9 x+2y=16 z-3y=4 y=3 【变式2】(25-26八年级上四川内江·开学考试)下列方程组为二元一次方程组的是() x+y=1 x+y=2 x+y=5 A. D xy=2 x-z=3 x-2y=2 x-y=2 【变式3】(25-26八年级上，全国课后作业)下列六个方程组中，是二元一次方程组的有() y- ②=9 (x+2y=16;《 r-y=2 23=4④79=5·回2 2；@/七=少-3 16x-6y=-9 x+1=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型07判断是否是二元一次方程组的解 x=2 【典例7】下列方程中，解为 y=1的是() x-y=-2 x-y=1 2x-y=4 x+y=3 A. B C D. x+y=1 2x+y=3 x+2y=3 3x-2y=4 x=-1 【变式1】解为 y=-3 的方程组可以是() x-y=2 x+y=-2 x-y=2 x+y=-2 A. B D. 2x-y=5 2x+y=5 2x-y=1 2x-y=5 x+y=2 【变式2】下列各组数中，是二元一次方程组 的解的是() 2x-y=4 x=0 x=2 x=3 x=1 A y=1 B C D y=0 y=-1 y=1 【变式3】已知 x=-1x=1 x=3 是二元一次方程x+2y=5的三个解，{ x=-1x=1x=3 y=3'y=2'y= 是 y=-2'y=2’y=6 x+2y=5 二元一次方程2x-y=0的三个解，则二元一次方程组 的解是() 2x-y=0 5/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=-1 x=-1 x=3 x=1 A B C y=3 y=-2 D y=6 y=2 题型08根据二元一次方程组的解求字母的值 【典例8】(24-25七年级下·湖北襄阳阶段练习)己知 x=-2 是关于x,y的二元一次方程组 y=1 一组解，则m-2n的值为() A.3 B.-5 C.5 D.-3 x=6 【变式1】已知 x=2 与 y=-3 都是方程ax+y=b的解，则a=一，b=一 【变式2】(2025八年级上·全国.专题练习)已知关于x,y的二元一次方程组 2x-5y=5 的解满足x+y=6, x-y=k 则k的值为 2x+y=● 【变式3】小亮求得方程组 2x-y=12的解为 x=5 由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数● 和回，则●是 题型09根据实际问题列二元一次方程 【典例9】(2425七年级下山东潍坊期中)“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的 第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常数项，即 表示方程3x+y=41.按照上述规则， 示的方程是 【变式1】某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量 比计划减少5%.若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图3×3方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列 及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为」 D- -x+4 3 6/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-y+4 x+y-4 y x-1 4 【变式3】(2024贵州黔南.一模)我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为： 今有人合伙买玉石，每人出？钱，会多出4钱，设人数为x人，玉石价格为y钱，则可列关于x,y的方程 为() 1 A.y=5x+4B.y=,x-4 C.y=x-4 D.2y=x+4 2 2 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级下·广东肇庆·期中)下列四个方程中，是二元一次方程的是() A.x+y=z B.3xy=6 C. 1+1=3 D.x-y=2 x y 2.(25-26八年级上广西南宁阶段练习)下列各对数值中是方程2x+y=10的解的是() x=3 「x=3 x=2 x=2 A.{y=4 B D. y=3 y=4 y=5 x=2 3.(25-26八年级上湖南长沙阶段练习)若 =1是关于小y的二元一次方程ax-5y=1的解，则a的值为 () A.-5 B.3 C.9 D.11 2x=3。x=1 2x+y=1 4.(24-25七年级下河北唐山阶段练习)有下列方程组：① ② ③ ④ 3y=52x+y=3 3x-y=2 1=5y 其中二元一次方程组有() 2x-y=3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26八年级上广西南宁阶段练习)南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、 北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇.相遇时，小汽车比客车多行驶30千米.设小汽车和客车的 平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是(） 70x-70y=30 x-y=30 A· B. 7 7 70x+70y=206 6x+6y=206 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6y206 7 x+y=30 + 6 c. 7 7 D y=206 > 7 6 6 6+ 6y-30 6.(24-25七年级下四川巴中阶段练习)已知方程(2m-6)x+(n+2y-8=0是二元一次方程，则m+n 的值为() A.-1 B.2 C.-3 D.3 7.(24-25七年级下·河南新乡·阶段练习)下列说法中，正确的是() x-3y=9 A. (xy=2 是二元一次方程组 x=3 B.方程x+3y=6的解只有 y=1 2x-y=3 C.方程2x-y=3的解必是方程组 3x+y=1的解 x+m=-4 D.由方程组 y-3=m 可得出x与y之间关系是x+y=-1 二、填空题 8.(24-25七年级下全国期中)如果2x3"=y是二元一次方程，则m=一· 9.(25-26七年级上·全国课后作业)在① 是二元一次方程 y=1,y=1,y=4 是二元一次方程3x+2y=5的解， 是二元一次方程组 x+y=3, x+y=3的解， 的解. 3x+2y=5 (填序号) 10.(2025·上海模拟预测)我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：00个 和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个.设大和尚x人，小和尚y人， 则根据问题列出一个关于x和y的方程组： 11.(24-25八年级上·全国课后作业)在平面直角坐标系中，若第一象限的点Px,y)满足2x+3y=15,且 ,y均为整数，则满足条件的点有一个. 12.(2025八年级上·全国专题练习)已知方程组 3x-(m-3列y=山是关于，y的二元一次方程组，则m (m+1x=-2 的值为一 X=2 13.(24-25八年级上·内蒙古包头期末)己知 =是方程x-y=2的解，则代数式6a-3h-4的值为 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+py=2 x+y=1的解是 x=0.5 14.(25-26八年级上全国课后作业)方程组 y=■'其中y的值被墨渍盖住了，则 (p+x)(p-y)的值为 三、解答题 15.（25-26七年级上·全国课后作业)根据题意列出方程组： (1)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有1个 笼无鸡可放.有多少只鸡？有多少个笼？ (②)某企业去年国内、国外销售总收入为1000万元，因金融风暴，今年的总收入比去年的总收入降低了10%， 其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%.去年国内和国外销售收入分别为多少元？ 16.〔25.26七年级上全国误后作业)已知x=,和x=2 1y=-1 和{少=2都是二元一次方程ax+y+4=0的解，则 x=3, 是否也是方程ax+by+4=0的解？请说明理由. y=4 少=1是不是二元一次方程组 x=3 x+2y=5, 17.(25-26七年级上·全国课后作业)有这样一道题：判断 的解.小 12x+3y=5 =代入方程x+2y=5中，等式成立，所以 x=3, x=3, 恒的解答过程：将 是该方程组的解.小恒的解答过程 y=1 是否正确？若不正确，请说明理由。 18.(2025八年级上全国专题练习)若(m-2025xm2024+(n+8)y7=2025是关于x,y的二元一次方程， 则() A.m=±2025，n=±8 B.m=-2025,n=±8 C.m=±2025，n=-8D.m=-2025,n=8 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由. 解：因为(m-2025)x24+(n+8)y7=2025是关于x,y的二元一次方程， 所以m-2024=1,n-7=1. 解得m=±2025，n=±8.故选A. 19.(24-25七年级下·江苏扬州阶段练习)若关于x,y的二元一次方程kc+2y=3k-4(k为常数). (1)当x=2,y=-1时，求k的值： (②)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解. 20.(25-26八年级上·全国单元测试)已知a,b都是实数，设点Pa+2,b+3 ,且满足3a=2+b,我们称 2 点P为“梦之点”. 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)判断点A3,2)是否为“梦之点”； (2)若点M(m-1,3m+2)是“梦之点”，请判断点M在第几象限，并说明理由. 21.(24-25七年级下山东德州期末)关于x,y的二元一次方程均可以变形为ax+by=c的形式，其中a,b, c,均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by=c的“关联系数”记为(a,b,c. (1)【探索发现】二元一次方程4x+3y=-5的“关联系数”为 y=m+5'为该方程的一组解， x=m+n (2)【拓展应用】己知关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为2，-1,1)，若 且m,n均为正整数，求m,n的值， 22.(24-25七年级下湖北黄冈·期末)若关于x、y的二元一次方程变形为y=x+b的形式(a、b是常数， a≠0)，则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为(a,b).例如二元一次方程 3x-2y=1变形为y= 分，则二元一次方程3x-2y=1的相作系数对为》 31 2 (1)二元一次方程x+3y=0的“相伴系数对”为 x=3 ②已知三11是关于Xy的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对“为2，+3引，求出这个 二元一次方程； (3)关于x、y的二元一次方程mx-5m=4y+5n-nx,已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值 23.(24-25七年级上河北唐山阶段练习)“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学家程 大位著的《算法统宗》一书中被称为铺地锦”.例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边， 乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方 向相加，得3266. 4 6 9 a 2/ 4 6 m 78 2 00 4 6 6 6 6 6 k-3 图1 图2 图3 图4 (①)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出：x= (②)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m,n满足的数量关系； (3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值. 10/10