专题01 有理数重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能按标准准确分类有理数 填空常考，易漏0或混淆分类 数轴的概念与应用 会画数轴、表数及比较大小 小题高频，易漏画数轴要素或比错负数 相反数与绝对值 会求相反数、算绝对值，理解非负性 多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 高频易错点，容易忽视…… 知识点01 有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点02 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点03 相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点04 绝对值 （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点05 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 题型一 正负数的实际应用 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】(1)见解析 (2)元，元 (3)元 【思路引导】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． 【规范解答】（1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作 分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是 分． 【答案】 88 【思路引导】本题考查了正数、负数的应用，熟练掌握其意义是解题的关键． 【规范解答】解：平均成绩为95分，把平均成绩记为0分， ，超出3， 故记作：； 小兰的成绩记作分，她的实际得分是， 故答案为：，88． 【变式1-2】（2025九年级下·北京·学业考试）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 【答案】 14（答案不唯一） 12 【思路引导】根据规则解答即可． 本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 【规范解答】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：（分钟） 故答案为：14，12． 题型二有理数的分类 解｜题｜技｜巧 有理数有两大分类维度，需先看清题目要求： ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 【例2】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，4.3，，0，，，，，2025， 整数集合：{_____________}； 非负数集合：{_____________}； 负有理数集合：{_____________}； 【答案】见详解 【思路引导】本题主要考查了整数，非负数，负有理数的定义，根据整数包括正整数，0，负整数；非负数包括正数和0，负有理数包括负整数和负分数求解即可． 【规范解答】解：整数集合：{，0，，2025}； 非负数集合：{，，4.3，，0，，2025}； 负有理数集合：{，，，}； 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： ，15，，，，0，，π，，，0.275，2． 正有理数集合：{                ……} 负分数集合：{                ……} 非负整数集合：{                ……} 非正数集合：{                ……} 有理数集合：{                ……} 【答案】，15，， 0.275，2；，，；15，0，2；，，0，，，；，15，，，，0，，，，0.275，2 【思路引导】本题主要考查了实数分类，根据有理数的定义，正数和负数的定义，进行解答即可． 【规范解答】解：，； 正有理数集合：｛，15，，0.275，2｝ 负分数集合：｛，，｝ 非负整数集合：｛15，0，2｝ 非正数集合：｛，，0，，，｝ 有理数集合：｛，15，，，，0，，，，0．275，2｝ 故答案为：，15，， 0.275，2；，，；15，0，2；，，0，，，；，15，，，，0，，，，0.275，2 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期中）把下列各数分别填在相应的集合里． ，，，，． 整数集合{ …}； 正分数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 负数集合{ …}． 【答案】；；；． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法求解即可，掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【规范解答】解：整数集合{}； 正分数集合； 负分数集合{}； 负数集合． 题型三 带“非”字的有理数 【例3】（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，，， (1)整数：_______________； (2)分数：_______________； (3)非负数：_______________； (4)负有理数：_______________． 【答案】(1)，，，． (2)，，，，，． (3)，，，，，，． (4)，，，． 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握整数、分数、非负数、负有理数的定义是解题的关键． （1）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （2）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （3）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （4）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． 【规范解答】（1）解：整数：，，，， 故答案为：，，，． （2）解：分数：，，，，，， 故答案为：，，，，，． （3）解：非负数：，，，，，，， 故答案为：，，，，，，． （4）解：负有理数：，，，， 故答案为：，，，． 【变式3-1】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，4.3，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，利用有理数的分类和定义解答． 【规范解答】解： 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：； 负有理数集合：． 【变式3-2】（21-22七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分别填入相应的集合内． 3，7.8，，，2021，，0，． (1)正数集合：{ }； (2)负分数集合：{ }； (3)非正整数集合：{ }． 【答案】(1)3，7.8，，2021 (2)﹣0.01， (3)﹣15，0 【思路引导】本题主要考查有理数的分类，准确掌握正数、负分数、非正整数的定义是解题的关键． （1）根据大于0的数叫做正数，选出符合定义的数填入即可； （2）根据小于0的分数叫做负分数，选出符合定义的数填入即可； （3）根据0和负整数叫做非正整数，选出符合定义的数填入即可． 根据有理数的分类进行填写即可． 【规范解答】（1）解：正数集合：{3，7.8，，2021 }； 故答案为：3，7.8，，2021． （2）负分数集合：{，}； 故答案为：，． （3）非正整数集合：{，0}． 故答案为：，0． 题型四 数轴上两点之间的距离 【例4】（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【思路引导】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三； ． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 【答案】(1)40 (2)52 (3)20秒或40秒 【思路引导】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间． （1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数； （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，分类讨论： ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，逐项求解即可． 【规范解答】（1）解：M点对应的数是； （2）由数轴，得A、B两点距离为， ∴两只蚂蚁相遇时间为秒， ∴点C对应的数为． （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得 ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前， ， 解得，   ②蚂蚁P追上蚂蚁Q后， ， ． 答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度． 【变式4-2】（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【思路引导】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 题型五 数轴上点的平移（动点问题) 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 【答案】(1)2， (2)，0， (3)， 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，进行列式计算，即可作答． （2）点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，得出点D表示的数，再从点D向右移动个单位长度，进行列式计算，得出点C表示的数，即可作答． （3）先根据题意，列式计算，得出点M运动的时间，结合点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为，列式计算得出点N表示的数，最后列式计算得出点M和点N之间的距离，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）解：∵点B表示的数是， ∴将点B向左移动7个单位长度得到点D表示的数为：， ∴向右移动个单位长度得到点C表示的数为：． 故答案为：，0． （3）解：∵点B表示的数是，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M运动到所在的点处， ∴点M运动的时间为， ∵点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为 则点N表示的数为：， ∴点M和点N之间的距离是：． 【变式5-1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 【变式5-2】（2023七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 题型六 数轴上整点覆盖问题 【例6】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【思路引导】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【规范解答】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 【变式6-1】．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】2017或2018 【思路引导】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【规范解答】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 【答案】3或2 【思路引导】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【规范解答】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 题型七 数轴上的规律探究 【例7】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且、、、为圆的四等分点，可得、、、四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可． 【规范解答】解：根据题意得，点的运动规律是循环的，循环周期为4， ∴， ∴落在数轴上2025的点是， 故选：B． 【变式7-1】（25-26七年级上·山东日照·阶段练习）如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，，，，四点将圆四等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（   ）重合． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴上的规律问题，根据圆的滚动规律可知4次一个循环，用2027除以4，取余数，进行判断即可． 【规范解答】解：由题意，圆沿着数轴正方向滚动一圈按D，B，A，C的顺序排列： ， ∴数轴上的数2027与点重合； 故选A． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（  ） A．A点 B．B点 C．D点 D．E点 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上1，2，3，4，5，6对应的点为根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为…… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是B． 故答案为：B． 题型八 相反数的应用 【例9】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【思路引导】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）若与是互为相反数，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查相反数的性质，非负数的性质，代数式求值，掌握互为相反数的两个数的和为0，平方和绝对值的非负性是解题关键． （1）根据相反数的性质结合平方和绝对值的非负性可求出x和y的值，再代入中求值即可； （2）将x和y的值代入中求值即可． 【规范解答】（1）解：∵与是互为相反数， ∴． ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：当，时，． 【变式8-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】0或 【思路引导】本题主要考查了代数式的求值，相反数，倒数，绝对值的意义，掌握相反数，倒数，绝对值的意义是解题的关键． 根据相反数，倒数，绝对值的意义得，，，，然后分别代入求值即可． 【规范解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，， ∴，，， 当时，； 当时，； 综上的值为0或． 题型九 绝对值的几何意义 【例10】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查数轴表示数的意义和方法，根据A、B、C、D在数轴上的位置，确定a，b，c，d的大小关系，再根据，，得到数轴上表示数a、b的点到表示数的距离相等，可求出，同理可得，进而求出结果． 【规范解答】解：由点A、B、C、D在数轴上表示的数a、b、c、d的位置，可得， ， ∵，即数轴上表示数a、b的点到表示数的点的距离相等， ∴， 同理， ∴， 故答案为：0． 【变式9-1】（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)， 【思路引导】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值． 【规范解答】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或； （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4； （3）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 【变式9-2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6两点之间的距离为__________； (2)若数轴上表示点的数满足，那么__________； (3)若数轴上表示点的数满足，则的值为__________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1)8 (2)3或 (3)7 (4)11 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用距离公式和绝对值的性质进行计算． （1）利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； （2）根据题意可得表示x与1两点间的距离为2，据此解答可得； （3）根据题意可知：表示x到3两点间的距离与x到两点间的距离之和，再由，解答可得； （4）根据题意可得表示x到3，，间的距离之和，据此解答可得． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和6两点之间的距离为； 故答案为：8 （2）解：根据题意得：表示x与1两点间的距离为2， ∴x的值为3或； 故答案为：3或 （3）解：根据题意得：表示x到3两点间的距离与x到两点间的距离之和， ∵， ∴x在3与之间， ∴的值为； 故答案为：7 （4）解：根据题意得：表示x到3，，间的距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值是． 故答案为：11 题型十 带有字母的绝对值化简问题 【例11】（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 【变式10-1】（25-26七年级上·北京·阶段练习）对于有理数x,y，a,t，若，则称x和y关于a的“距和数”为t，例如，，则2和3关于1的“距和数”为3． (1)-3和5关于2的“距和数”为__________ (2)若x和2关于3的“距和数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“距和数”为1，和关于2的“距和数”为1，和关于3的“距和数”为1，…，和关于16的“距和数”为1． ①的最小值为________； ②的最小值为_______． 【答案】(1)8 (2)的值为或 (3)①1；②136 【思路引导】本题考查了绝对值的运算、根据新定义“距和数”列方程求解以及绝对值的几何意义（表示数轴上两点间距离）；解题的关键是紧扣“距和数”定义，利用绝对值的非负性和几何意义处理计算、解方程及最值问题． （1）直接代入“距和数”定义，计算的结果； （2）根据定义列方程，简化后解绝对值方程得的值； （3）①由，结合绝对值几何意义（两点到1的距离和为1），分析的最小值； ②观察相邻“距和数”关系，每个关系式中，利用①的规律确定的最小值，再累加到的最小值． 【规范解答】（1）解：根据“距和数”定义，， 故答案为：． （2）解：∵和2关于3的“距和数”为4， ∴， 化简得，即， 则或， 解得或， 答：的值为或． （3）①解：∵和关于1的“距和数”为1， ∴． 由绝对值几何意义：、在数轴上到1的距离和为1， 要使最小，需、（两点均在1左侧）， 此时，即， 故答案为：． ②解：和关于2：，需、，得，结合①中（最小值），得； 和关于3：，（最小值），得； …… 和关于16：，（最小值），得． 则，，…，， 其和为， 故答案为：136． 【变式10-2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【思路引导】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【规范解答】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 题型十一 绝对值非负性 【例12】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【思路引导】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【思路引导】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【考点剖析】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【变式11-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【思路引导】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【规范解答】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 题型十二 绝对值的其他应用 【例13】（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为_____． (3)如果，则_____； (4)同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是_____． (5)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (6)是否有最小值？若有直接写出结果，若没有请说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)7或 (4) (5)3 (6)9 【思路引导】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （3）根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （4）根据绝对值的几何意义可知当时，，求出符合的整数即可． （5）先根据可理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，继而推导出当时，的值有最小值，即可解答； （6）根据表示数轴上点x到的距离之和，且， 得到当时，表示与3的距离为最小值，即可解答． 【规范解答】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是． 故答案为：7； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为． 故答案为：． （3）∵表示数轴上有理数x所对应的点到2的距离等于5， ∴或． 故答案为：7或． （4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和， ∴， ∴这样的整数在与1之间（包含、1），为． 故答案为：． （5）可理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和， ∴当时，的值有最小值，最小值为． （6）∵表示数轴上点x到的距离之和，且， ∴当时，表示与3的距离，为最小值， 即． 【变式1-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【思路引导】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【规范解答】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 【变式1-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米） (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若消防车每千米耗油升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地位于A地北边，距离A地3千米 (2)至少还需补充油量升 【思路引导】本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算，绝对值的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正负数的意义，有理数的加减法的运算即可求解； （2）根据行程计算当天的行程，再根据有理数的混合运算即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， ∴地位于地北边，距离地3千米； （2）解：根据题意得：（千米）， ∵每千米耗油升， ∴共耗油量为（升）， ∵油箱容量为150升，则（升）， 答：至少还需补充油量升． 题型十三 有理数的大小比较 易｜错｜点｜拨 比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判 【例14】（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数．如：． （1） ， ． （2）如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 3 【思路引导】本题考查新定义，比较有理数的大小关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）∵符号表示不大于的最大整数， ∴，； 故答案为：； （2）∵， ∴． 故答案为： 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）比较大小： （1）1 ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）根据正数大于负数，即可解答； （2）根据“两个负数，绝对值大的其值反而小”，即可解答； （3）化简得、，再将与进行通分，即可比较大小； （4）化简得，再根据“两个负数，绝对值大的其值反而小”，即可解答． 【规范解答】解：（1）正数大于负数，是正数，是负数， ． 故答案为： （2）且， ． 故答案为：． （3） 、， ， 即． 故答案为：． （4） 即 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）表示两数中的较小者，表示两数中的较大者，如，．求的值． 【答案】 【思路引导】本题根据所给的新定义运算先分别求出和的值，再求出这两个值的最小值. 【规范解答】解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以原式． 【考点剖析】本题根据所给的新定义运算，需要明确运算顺序，先算出内层的最大数和最小数，再对这两个结果比较大小，最终得到答案. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在，3.5，，，1，，1.2434434443……（两个3之间依次增加一个4）中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数包括整数和分数解答即可． 【规范解答】解：在，3.5，，，1，，1.2434434443……（两个3之间依次增加一个4）中，有理数有，3.5，，1，，共5个． 故选：C． 2．在 ，，0， ， ，， ， （每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数．据此判断即可． 【规范解答】解：是有理数，有6个． 故选：B． 3．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴与有理数，根据数轴和有理数的分类可知被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2，进而可得出答案． 【规范解答】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2， 一共有7个， 故选C 4．如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，c，3．小肖同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上点C所对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得一个单位长度表示，据此即可求解 【规范解答】解：∵点B，A分别对应的数为，3，点A和点B之间的距离为， ∴一个单位长度表示； ∵点A和点C之间的距离为， ∴点A和点C距离两个单位长度； ∴； 故选：C 5．下列各数中：，，，，，，，，其中负分数的个数是 个． 【答案】3 【思路引导】本题考查了有理数的分类，小于0的分数为负分数．据此即可作答． 【规范解答】解：根据题意可知，，，， 在，，，，，，，中， 负分数为：，，，共3个． 故答案为：3． 6．如图，数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点在点的左边，，即可得出点所表示的数为，即可求出点A表示的数． 【规范解答】解：由点在数轴上的位置可知，， 又∵点B，C表示的数的绝对值相等，且点在点的左边， ∴点所表示的数为， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 7．把下列各数填在相应的大括号里． ，0.275，，0，，，， 正数集合{        }； 整数集合{                }； 分数集合{                 }； 非负有理数集合{                    }． 【答案】，0.275，，；，，0，；0.275，，；，0.275，0， 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，先将能化简的数化简，再按照正数、整数、分数和非负有理数的定义即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∴正数集合：{，0.275，，}； 整数集合：{，，0，}； 分数集合：{0.275，，}； 非负有理数集合：{，0.275，0，}． 故答案为：，0.275，，；，，0，；0.275，，；，0.275，0，． 8．在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【思路引导】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 9．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，，， 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先画出数轴，再把有理数在数轴上表示出来，进而根据数轴比较有理数的大小即可，正确画出数轴是解题的关键． 【规范解答】解：各数在数轴上表示如下： 由数轴可得，． 10．如图，数轴上点A表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点A的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点A、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点A的距离与点到点的距离之和为，则称点为点A、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点A、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 【思路引导】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时 C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴的应用，涉及利用数轴比较有理数大小，根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其他四个城市时间差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 当北京时间是20时，对应： 纽约时间比北京时间早13个小时； 伦敦时间比北京时间早8个小时； 巴黎时间比北京时间早7个小时； 汉城时间比北京时间晚1个小时； 北京时间2025年10月1日20时，对应： 纽约时间是当天早上7时； 伦敦时间是当天中午12时； 巴黎时间是当天下午13时； 汉城时间是当天晚上21时． 故选：B． 2．数轴上点A表示数，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（   ） A．4 B．和10 C． D．和4 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可． 【规范解答】解：点A表示的数是，沿数轴左移7个单位，得， 点A表示的数是，沿数轴右移7个单位，得， 故选：D． 3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且、、、为圆的四等分点，可得、、、四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可． 【规范解答】解：根据题意得，点的运动规律是循环的，循环周期为4， ∴， ∴落在数轴上2025的点是， 故选：B． 4．数轴上一点M到原点的距离是4，则点M在数轴上移动4个单位长度后，点M表示的数是 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，由题意得点M表示的数是或；分类讨论：若将点M向右移动4个单位长度，若将点M向左移动4个单位长度，两种情况即可求解； 【规范解答】解：∵点M到原点的距离是4， ∴点M表示的数是或； 若将点M向右移动4个单位长度，则点M表示的数是：或； 若将点M向左移动4个单位长度，则点M表示的数是：或； 综上所述：点M表示的数是或或； 故答案为：或或 5．下列关于有理数的说法：①绝对值等于本身的数只有；②一个正数的相反数是负数；③相反数等于本身的数只有个；④最小的负整数是，其中所有正确的说法有 ．（填序号） 【答案】②③ 【思路引导】本题考查了绝对值，相反数和负整数，掌握相关定义和意义是解题关键． 根据绝对值的意义，相反数和负整数定义逐一判断即可． 【规范解答】解：①绝对值等于本身的数是和正数，原说法错误，不符合题意； ②一个正数的相反数是负数，说法正确，符合题意； ③相反数等于本身的数只有个，也就是，说法正确，符合题意； ④最大的负整数是，原说法错误，不符合题意； 故答案为：②③． 6．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，数字、字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【规范解答】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 故答案为：． 7．如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查数轴表示数的意义和方法，根据A、B、C、D在数轴上的位置，确定a，b，c，d的大小关系，再根据，，得到数轴上表示数a、b的点到表示数的距离相等，可求出，同理可得，进而求出结果． 【规范解答】解：由点A、B、C、D在数轴上表示的数a、b、c、d的位置，可得， ， ∵，即数轴上表示数a、b的点到表示数的点的距离相等， ∴， 同理， ∴， 故答案为：0． 8．（）用铅笔直尺画数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：； （刻度在数轴下方，要表示数字在数轴上） （）请按从小到大的顺序用“”号将（）中的个数连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】（）先化简各数，再把它们在数轴上表示出来即可； （）根据数轴比较大小即可； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． 【规范解答】解：（），，， ∴各数在数轴上表示如下： （）由数轴可得，． 9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么___________；如果，那么___________． (3)若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是___________，最小距离是___________． (4)若数轴上表示数的点位于与之间，则___________． 【答案】(1)， (2)或；或 (3)， (4) 【思路引导】此题考查了绝对值的定义，数轴上两点之间的距离的计算方法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活运用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答； （2）根据绝对值可得：，，即可解答； （3）根据绝对值分别求出，的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数的点到与两点的距离的和，即可求解． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示和两点之间的距离是， 故答案为：，； （2） ， 或， 解得：或； ， 或， 解得：或； 故答案为：或；或； （3） ，， 或，或， 数、在数轴上表示的数分别是点、点， 当，时，则、两点间的最大距离是， 当，时，则、两点间的最小距离是， 故答案为：，； （4）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． 10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3 与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数x和的两点之间的距离是4，则x的值为 ． (3)若x表示一个有理数，使得有最小值，请直接写出满足要求的整数x是 ． 【答案】(1)6；7 (2)或2 (3)，0，1，2，3 【思路引导】本题考查数轴上两点之间的距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据题意得到，计算即可得解； （3）表示x到和x到3的距离之和，据此计算即可． 【规范解答】（1）解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是； 数轴上表示2和的两点之间的距离是． 故答案为：6；7； （2）解：根据题意得：， 解得或， 故答案为：或2； （3）解：表示x到和3的距离之和， 当x在和3之间时距离之和最小，此时，整数x是，0，1，2，3， 故答案为：，0，1，2，3． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．3和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【思路引导】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一分析即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得到2的距离，然后计算即可． 【规范解答】解：根据题意可得：A、B、C、D四点依次循环， 数轴上表示的点到2的距离为， ， 所以落在数轴上的点是D． 故选：D． 3．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【规范解答】解： 的值始终保持不变， ， ， 又 ， ， ． 故选：A． 4．点，点在数轴上表示的数分别为和5，点是数轴上一点，若，则点所表示的数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴及两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．先求出，分点C在A左边和点C在线段上两种情况来解答． 【规范解答】解：， 当点C在A左边时， ∵， ∴， ∴， 此时点C表示的数为； 当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴， 此时点C表示的数为， 故答案为：或． 5．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】1或 【思路引导】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【规范解答】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 6．已知数轴与数轴如图所示，其中数轴的单位长度是数轴单位长度的．令数轴上的“”与数轴上的“”上下对齐，数轴上的数字记为“”，数轴上的数字记为“”，上下对齐记为相等，如“”． （1）若，则 ． （2）若，则 （用含x的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴与列代数式； （1）根据题意可得 【规范解答】解：（1）∵数轴的单位长度是数轴单位长度的 ∴数轴上， 距离3个单位长度，相当于数轴的1个单位长度， ∵距离数轴的1个单位长度， ∴ ∴， 故答案为：． （2）由（1）可得， 同理可得，，…… ∴若，则 ∴ 故答案为：． 7．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里： 正数集：___________…；负数集：___________… 整数集：___________…；分数集：___________… 【答案】2024，；；； 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，正数，负数，整数，分数的定义等，解题的关键是掌握有理数分类的法则． 利用正数，负数，整数，分数的定义进行分类即可． 【规范解答】解：正数集：2024，； 负数集：； 整数集：； 分数集：． 故答案为：2024，；；；． 8．如图，在数轴上有三个点，请回答下列问题： (1)若将点向左移动5个单位长度后，则点________所表示的数最大，是________． (2)若将点向右移动4个单位长度后，到达点，用“”把三点表示的数连接起来为________． (3)若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数比点表示的数小________． (4)怎样移动其中两个点，可以使三个点表示的数相同且最大？最大为多少？ 【答案】(1)B，4 (2) (3)3 (4)将点A向右移动7个单位长度，点C向右移动5个单位长度，A，B，C三点所表示的数相同且最大，最大为4 【思路引导】（1）确定点C向左移动5个单位长度后后的数之后再比较大小． （2）确定点D的位置后，再比较大小． （3）利用点C的数值减去平移后点B的数值． （4）可以通过移动A，C两个点得到最后的答案． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点A，C，B所表示的数分别为： 点C向左移动5个单位长度后，它所表示的数为：， 比较可得，最大的数是4，也就是点B所表示的数． 故答案为：B，4； （2）解：若将点向右移动4个单位长度后，到达点， 则点D所表示的数为：， 比较得：， 故答案为：； （3）解：若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数为：， 所以点所表示的数比点表示的数小：， 故答案为：3． （4）解：将点A向右移动7个单位长度，点C向右移动5个单位长度，A，B，C三点所表示的数相同且最大，最大为4． 【考点剖析】本题考查了数轴上点的移动以及数的大小比较．对于每一问，重点根据点在数轴上的移动规律确定移动后所表示的数，再进行相应的计算和比较． 9．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【规范解答】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 且， 最小值为， 所以， 当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 10．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)___________； (2)利用数轴，解决下列问题： ①若，则___________； ②若，请直接写出所有的整数：___________； ③利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 【答案】(1)4 (2)①2或；②；③最小值为7； 【思路引导】本题考查数轴，相反数，绝对值的综合应用，读懂并理解题意，熟练掌握绝对值和数轴上点的距离计算是解题的关键， （1）根据题意即可解得答案； （2）①根据题意对的取值进行讨论，即可得到答案；②对的取值进行讨论，满足只有在时才满足条件；从而得到符合条件的所有的整数；③对的取值进行讨论，欲求最小值，则时才满足条件；从而得到符合条件的所有的整数； 【规范解答】（1）解：， 故答案为：4． （2）解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解：， 故答案为：或2． ②当时，，， ∴，， ∴，不符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，不符合题意； ∴当时所有的整数：； ③当时，，， ∴， 此时，当时，有最小值为7； 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 此时，当时，有最小值为7； ∴当时，有最小值为7， ∴可取整数值有：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能按标准准确分类有理数 填空常考，易漏0或混淆分类 数轴的概念与应用 会画数轴、表数及比较大小 小题高频，易漏画数轴要素或比错负数 相反数与绝对值 会求相反数、算绝对值，理解非负性 多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 高频易错点，容易忽视…… 知识点01 有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点02 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点03 相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点04 绝对值 （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点05 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 题型一 正负数的实际应用 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作 分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是 分． 【变式1-2】（2025九年级下·北京·学业考试）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟． 题型二有理数的分类 解｜题｜技｜巧 有理数有两大分类维度，需先看清题目要求： ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 【例2】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，4.3，，0，，，，，2025， 整数集合：{_____________}； 非负数集合：{_____________}； 负有理数集合：{_____________}； 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： ，15，，，，0，，π，，，0.275，2． 正有理数集合：{                } 负分数集合：{                } 非负整数集合：{               } 非正数集合：{               } 有理数集合：{                } 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期中）把下列各数分别填在相应的集合里． ，，，，． 整数集合{                }； 正分数集合{                }； 负分数集合{                }； 负数集合{                }． 题型三 带“非”字的有理数 【例3】（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，，， (1)整数：_______________； (2)分数：_______________； (3)非负数：_______________； (4)负有理数：_______________． 【变式3-1】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，4.3，，0，，，，，2025，． 整数集合：{                }； 分数集合：{                }； 非负数集合：{                }； 负有理数集合：{                }． 【变式3-2】（21-22七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分别填入相应的集合内． 3，7.8，，，2021，，0，． (1)正数集合：{                }； (2)负分数集合：{                }； (3)非正整数集合：{                }． 题型四 数轴上两点之间的距离 【例4】（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 【变式4-2】（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 题型五 数轴上点的平移（动点问题) 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 【变式5-1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【变式5-2】（2023七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型六 数轴上整点覆盖问题 【例6】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【变式6-1】．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 题型七 数轴上的规律探究 【例7】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·山东日照·阶段练习）如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，，，，四点将圆四等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（   ）重合． A．点 B．点 C．点 D．点 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（  ） A．A点 B．B点 C．D点 D．E点 题型八 相反数的应用 【例9】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）若与是互为相反数，求： (1)的值； (2)的值． 【变式8-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 题型九 绝对值的几何意义 【例10】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为 ． 【变式9-1】（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 【变式9-2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6两点之间的距离为__________； (2)若数轴上表示点的数满足，那么__________； (3)若数轴上表示点的数满足，则的值为__________； (4)的最小值是__________． 题型十 带有字母的绝对值化简问题 【例11】（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级上·北京·阶段练习）对于有理数x,y，a,t，若，则称x和y关于a的“距和数”为t，例如，，则2和3关于1的“距和数”为3． (1)-3和5关于2的“距和数”为__________ (2)若x和2关于3的“距和数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“距和数”为1，和关于2的“距和数”为1，和关于3的“距和数”为1，…，和关于16的“距和数”为1． ①的最小值为________； ②的最小值为_______． 【变式10-2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 题型十一 绝对值非负性 【例12】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【变式11-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 题型十二 绝对值的其他应用 【例13】（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为_____． (3)如果，则_____； (4)同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是_____． (5)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (6)是否有最小值？若有直接写出结果，若没有请说明理由． 【变式12-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【变式12-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米） (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若消防车每千米耗油升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 题型十三 有理数的大小比较 易｜错｜点｜拨 比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判 【例14】（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数．如：． （1） ， ． （2）如果，那么的取值范围是 ． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）表示两数中的较小者，表示两数中的较大者，如，．求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在，3.5，，，1，，1.2434434443……（两个3之间依次增加一个4）中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在 ，，0， ， ，， ， （每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，c，3．小肖同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上点C所对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．下列各数中：，，，，，，，，其中负分数的个数是 个． 6．如图，数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ． 7．把下列各数填在相应的大括号里． ，0.275，，0，，，， 正数集合{        }； 整数集合{                }； 分数集合{                 }； 非负有理数集合{                    }． 8．在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 9．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，，， 10．如图，数轴上点A表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点A的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点A、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点A的距离与点到点的距离之和为，则称点为点A、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点A、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时 C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时 2．数轴上点A表示数，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（   ） A．4 B．和10 C． D．和4 3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 4．数轴上一点M到原点的距离是4，则点M在数轴上移动4个单位长度后，点M表示的数是 ． 5．下列关于有理数的说法：①绝对值等于本身的数只有；②一个正数的相反数是负数；③相反数等于本身的数只有个；④最小的负整数是，其中所有正确的说法有 ．（填序号） 6．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是 ． 7．如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为 ． 8．（）用铅笔直尺画数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：； （刻度在数轴下方，要表示数字在数轴上） （）请按从小到大的顺序用“”号将（）中的个数连接起来． 9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么___________；如果，那么___________． (3)若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是___________，最小距离是___________． (4)若数轴上表示数的点位于与之间，则___________． 10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3 与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数x和的两点之间的距离是4，则x的值为 ． (3)若x表示一个有理数，使得有最小值，请直接写出满足要求的整数x是 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．3和 B．和 C．和 D．4和 2．如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 3．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．点，点在数轴上表示的数分别为和5，点是数轴上一点，若，则点所表示的数为 ． 5．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 6．已知数轴与数轴如图所示，其中数轴的单位长度是数轴单位长度的．令数轴上的“”与数轴上的“”上下对齐，数轴上的数字记为“”，数轴上的数字记为“”，上下对齐记为相等，如“”． （1）若，则 ． （2）若，则 （用含x的代数式表示）． 7．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里： 正数集：___________…；负数集：___________… 整数集：___________…；分数集：___________… 8．如图，在数轴上有三个点，请回答下列问题： (1)若将点向左移动5个单位长度后，则点________所表示的数最大，是________． (2)若将点向右移动4个单位长度后，到达点，用“”把三点表示的数连接起来为________． (3)若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数比点表示的数小________． (4)怎样移动其中两个点，可以使三个点表示的数相同且最大？最大为多少？ 9．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 10．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)___________； (2)利用数轴，解决下列问题： ①若，则___________； ②若，请直接写出所有的整数：___________； ③利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $