专题02 解直角三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

专题02 解直角三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，能够应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比 （2）知道30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数. 多聚焦锐角三角形基础概念、边角计算，常涉三角函数应用，以选择、填空、解答题呈现 解直角三角形及其应用 （1）理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系 （2）能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形 （3）了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度（坡比）等测量中的有关概念，并弄清它们的意义 （4）会用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的应用 侧重解直角三角形基本概念、定理。常结合实际场景，考边角关系计算，题型涵盖选择、填空与解答，难度适中。 知识点01 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 在中，， 余弦 在中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作. 在中，， 正切 在中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作. 在中，， 【注意】正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关. 锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数. 【重点】 （1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，. （2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化. （3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如，，，，，等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能省略，如不能写成，不能写成等. 知识点02 锐角三角函数之间的关系 （1）同一锐角的三角函数之间的关系：. （2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或. （3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即. 知识点03 特殊角的三角函数值 1.锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下： 1 【说明】要熟记特殊角的三角函数值.已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. 【注意】锐角三角函数值随角度变化的规律 当角度在之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 2.角的三角函数值的记忆方法 （1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得 角的三角函数值. （2）特殊值记忆法： ①角的正弦值依次为； ②角的余弦值依次为； ③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为 （3）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添. 知识点04 解直角三角形的概念及直角三角形中的边角关系 1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注意】在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积. 2.直角三角形中的边角关系 如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系. （1）三边之间的关系：（勾股定理）. （2）两锐角之间的关系：. （3）边角之间的关系： ， ， . 【注意】 （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）. （2）在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边. 知识点05 解直角三角形的基本类型及解法 图形 已知条件 解法 两边 两直角边 由，求 斜边、一直角边（如） 由，求 一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如） ； 一锐角与对边（如） ； 一锐角与斜边（如） ； 【解题通法】 一、已知两边解直角三角形的方法 （1）已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦（或余弦）值，求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. （2）已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. 二、已知一锐角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边（求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边）. （2）已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 三、构造直角三角形解斜三角形问题的方法 先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 知识点06 利用解直角三角形解决实际问题 1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 【注意】 （1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解. （2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. 【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 2.解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念 （1）仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线下方的是俯角. （2）方向角 名称 定义 举例 方向角 指北或指南的方向线与目标线所成的小于的角叫做方向角. 如右图所示，目标方向线 的方向角分别可以表示为北偏东、南偏东、北偏西，其中南偏东习惯上又叫做东南方向，北偏西习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 一般用字母表示 坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡 当时，坡度，坡角为 坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比） 通常用表示，即 题型一 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 1. 熟记特殊角三角函数值作对比参考。 2. 结合直角三角形边长关系辅助判断。 3. 利用函数图象直观确定角的范围。 易｜错｜点｜拨 忽略函数值变化规律致范围判断失误。 【例1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列命题：①同位角相等；②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα；③若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＜﹣4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 题型二 利用同角三角函数关系求值 解｜题｜技｜巧 1. 牢记同角三角函数基本关系式，如平方和、商数关系等。 2. 结合已知条件灵活变形公式，简化计算。 3. 注意角所在象限，确定函数值正负。 易｜错｜点｜拨 未根据角的范围确定三角函数值的正负。 【例2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海·单元测试）已知，则锐角的取值范围是 ． 【变式2-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由    题型三 求证同角三角函数关系式 解｜题｜技｜巧 1. 从已知公式出发，合理变形推导目标关系式。 2. 运用三角函数定义，将边的关系代入化简。 3. 结合直角三角形特性，辅助证明等式成立。 易｜错｜点｜拨 证明过程忽略三角函数有意义的取值范围。 【例3】（2024·浙江杭州·一模）如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【变式3-2】（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，已知：是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果， ，那么等于（　　） A．2 B．4.5 C．8 D．12.5 题型四 互余两角三角函数的关系 解｜题｜技｜巧 1. 牢记互余两角三角函数关系公式，如正弦与余弦互换。 2. 结合直角三角形角的关系转化条件。 3. 利用已知角求解未知角的三角函数值。 易｜错｜点｜拨 混淆互余两角三角函数关系导致计算错误。 【例4】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【变式4-1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 题型五 特殊三角形的三角函数 解｜题｜技｜巧 1. 牢记 30°、45°、60°等特殊角三角函数值。 2. 结合特殊三角形边的比例关系辅助计算。 3. 善于将复杂图形分解为特殊三角形求解。 易｜错｜点｜拨 记错特殊角三角函数值致计算结果出错。 【例5】（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 题型六 特殊角三角函数值的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 准确记忆特殊三角函数值，直接代入式子。 2. 遵循运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号内。 3. 合理运用运算律简化计算。 易｜错｜点｜拨 记错特殊三角函数值，导致整个运算结果错误。 【例6】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若n为正整数，且满足，则 ． 【变式6-1】（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 题型七 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例7】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2)已知，且，求的值 【变式7-1】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）（1）计算： （2）已知为锐角，且，求的值． 题型八 根据特殊角三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 1. 牢记 30°、45°、60°等特殊角三角函数值，直接对应求解。 2. 化简已知三角函数式，使其呈现特殊值形式。 3. 结合角的取值范围精准确定角度。 易｜错｜点｜拨 忽略角的取值范围，得出多解或错解。 【例8】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【变式8-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【变式8-2】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    题型九 含30度角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 1. 利用“30度角所对直角边等于斜边一半”找边的关系。 2. 结合勾股定理求未知边长度。 3. 借助角的关系，将问题转化为求解角的度数。 易｜错｜点｜拨 误判30度角所对直角边，导致边的计算错误。 【例9】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·山东威海·阶段练习）已知是锐角，且． 求的值． 【变式9-2】（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 题型十 解直角三角形的相关计算 【例10】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他在距离教学楼的点A处（即）竖立一根高为的标杆（即），此时地面上的点C、标杆顶点B和条幅顶点G在一条直线上，然后小亮从点A处向教学楼条幅方向移动到达点D处（即），在点D的正上方点E处用测角仪测得，用皮尺测得，．已知，，，，点C、A、D、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据帮助小亮计算条幅的长度．（结果保留根号） 【变式10-1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型十一 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例11】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． (1)在图中画，点E在小正方形的格点上，使，且； (2)在图中画面积为5的，点F在小正方形的顶点上，且，连接，并直接写出线段的长． 【变式11-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【变式11-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 题型十二 三角函数综合 解｜题｜技｜巧 1. 巧用公式转换：熟练运用正弦、余弦、正切等函数间的关系，灵活变形已知式。 2. 结合图形分析：根据题意画图，借助直角三角形边角关系，直观求解问题。 3.分步有序推导：依据已知条件逐步推导，每一步明确目标，避免跳步出错。 易｜错｜点｜拨 混淆角所对边致计算失误：在直角三角形中，易弄错角对应的直角边，引发结果错误。 【例12】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【变式12-1】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 【变式12-2】（24-25九年级下·福建龙岩·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 题型十三 仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 1. 准确识别仰角、俯角，构建直角三角形模型。 2. 合理选择三角函数，根据已知边和角关系求解。 3. 若有多个直角三角形，找公共边等联系逐步计算。 易｜错｜点｜拨 误判仰角、俯角位置，导致三角函数用错。 【例13】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为，求火箭从处到处的飞行距离．（结果保留根号） 【变式13-1】（23-24九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，， ） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【变式13-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 题型十四 方位角问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 1. 依方向角准确画出图形，明确各边与角的关系。 2. 利用三角函数，结合已知边或角求未知边与角。 3.若有多三角形，找联系，通过公共边等逐步求解。 易｜错｜点｜拨 方向角判断错误，导致所构建三角形边角关系出错。 【例14】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 【变式14-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【变式14-2】（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 题型十五 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 1. 明确坡度、坡比定义，将其转化为直角三角形边的比。 2. 结合勾股定理，根据已知边求出其他边。 3. 合理选择三角函数，计算所需角度或边长。 易｜错｜点｜拨 混淆坡度、坡比概念，导致边的比例关系用错。 【例15】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【变式15-1】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【变式15-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 题型十六 其他问题（解直角三角形的应用） 【例16】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中四边形是矩形，，现由于故障，不能完全升起，最大为．若一辆厢式小货车宽，高，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由．（参考数据：，） 【变式16-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两栋楼房之间的距离至少为，中午12时不能挡光如图，某旧楼的一楼窗台高，要在此楼正南方处再建一栋新楼，已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高为多少米? 【变式16-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）值是（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 6．（25-26九年级上·海南·开学考试）在中，，则的值是 ． 7．（2024·北京·模拟预测）计算：． 8．（24-25九年级下·湖南湘西·期中）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）计算题： (1) (2) 10．（2024九年级下·广西·专题练习）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·期中）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 3．（22-23九年级上·全国·期中）钟表表盘上的圆周被均匀划分为等份，如果表盘的半径为，那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中） ． 5．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 6．（23-24九年级下·上海·期中）用四根长度相等的木条制作教具，制作出如图（a）的正方形，测得，然后制成如图（b）所示的四边形，测得，则图（b）中，长为 7．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，交于点O，求的长． 8．（22-23九年级上·全国·期中）计算：． 9．（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 10．（24-25九年级下·四川成都·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．3 3．直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为 ． 5．如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ． 6．（23-24九年级下·上海·期中）在中，，，， 7．计算： (1)； (2)． 8．（24-25九年级下·新疆·期中）计算： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中x满足，请选一个合适的x的整数值代入求值． 9．（23-24九年级上·山东威海·期中）在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西30°，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东60°，且与相距 的处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 10．（24-25九年级下·四川成都·期中）等边中，点D为边上一动点，连接，作点A关于直线的对称点E，连接， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，，求的长度； (3)如图3，若，点D在边上运动的过程中，存在点E使，求此时的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，能够应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比 （2）知道30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数. 多聚焦锐角三角形基础概念、边角计算，常涉三角函数应用，以选择、填空、解答题呈现 解直角三角形及其应用 （1）理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系 （2）能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形 （3）了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度（坡比）等测量中的有关概念，并弄清它们的意义 （4）会用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的应用 侧重解直角三角形基本概念、定理。常结合实际场景，考边角关系计算，题型涵盖选择、填空与解答，难度适中。 知识点01 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 在中，， 余弦 在中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作. 在中，， 正切 在中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作. 在中，， 【注意】正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关. 锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数. 【重点】 （1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，. （2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化. （3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如，，，，，等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能省略，如不能写成，不能写成等. 知识点02 锐角三角函数之间的关系 （1）同一锐角的三角函数之间的关系：. （2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或. （3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即. 知识点03 特殊角的三角函数值 1.锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下： 1 【说明】要熟记特殊角的三角函数值.已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. 【注意】锐角三角函数值随角度变化的规律 当角度在之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 2.角的三角函数值的记忆方法 （1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得 角的三角函数值. （2）特殊值记忆法： ①角的正弦值依次为； ②角的余弦值依次为； ③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为 （3）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添. 知识点04 解直角三角形的概念及直角三角形中的边角关系 1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注意】在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积. 2.直角三角形中的边角关系 如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系. （1）三边之间的关系：（勾股定理）. （2）两锐角之间的关系：. （3）边角之间的关系： ， ， . 【注意】 （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）. （2）在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边. 知识点05 解直角三角形的基本类型及解法 图形 已知条件 解法 两边 两直角边 由，求 斜边、一直角边（如） 由，求 一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如） ； 一锐角与对边（如） ； 一锐角与斜边（如） ； 【解题通法】 一、已知两边解直角三角形的方法 （1）已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦（或余弦）值，求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. （2）已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角. 二、已知一锐角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边（求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边）. （2）已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 三、构造直角三角形解斜三角形问题的方法 先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 知识点06 利用解直角三角形解决实际问题 1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 【注意】 （1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解. （2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. 【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 2.解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念 （1）仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线下方的是俯角. （2）方向角 名称 定义 举例 方向角 指北或指南的方向线与目标线所成的小于的角叫做方向角. 如右图所示，目标方向线 的方向角分别可以表示为北偏东、南偏东、北偏西，其中南偏东习惯上又叫做东南方向，北偏西习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 一般用字母表示 坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡 当时，坡度，坡角为 坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比） 通常用表示，即 题型一 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 1. 熟记特殊角三角函数值作对比参考。 2. 结合直角三角形边长关系辅助判断。 3. 利用函数图象直观确定角的范围。 易｜错｜点｜拨 忽略函数值变化规律致范围判断失误。 【例1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【规范解答】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【考点剖析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列命题：①同位角相等；②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα；③若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＜﹣4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】分析是否为假命题，需要分别分析各题设是否能推出正确结论，不能推出正确结论的，即假命题． 【规范解答】①两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题； ②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα，所以②是真命题； ③关于x的方程的解是x=4+m， 因为x＜0， ∴4+m＜0， 解得m＜-4，且m≠-6，即③是假命题； ④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以④是假命题． 所以假命题是①③④，3个． 故选C． 【考点剖析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式1-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 【答案】C 【规范解答】试题解析：∵sin30°=cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选C． 题型二 利用同角三角函数关系求值 解｜题｜技｜巧 1. 牢记同角三角函数基本关系式，如平方和、商数关系等。 2. 结合已知条件灵活变形公式，简化计算。 3. 注意角所在象限，确定函数值正负。 易｜错｜点｜拨 未根据角的范围确定三角函数值的正负。 【例2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【规范解答】解： ，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【考点剖析】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海·单元测试）已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【思路引导】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【规范解答】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【考点剖析】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 【变式2-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由    【答案】(1) y=x(0＜x＜10 且x≠5);(2) 存在符合条件的P点，且x=2 .5或3.2 【规范解答】试题分析：（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PH⊥BC于H，易证得△BPH∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式； （2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论； 一、D在BC上， ①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△BCA，同①可求得x的值； 二、D在BC延长线上时； 由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似； 综合两种情况，可得出符合条件的x的值． 试题解析：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；    Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10． ∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10） 但是x不能等于5． ∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤或5＜x≤10， 易知△BPH∽△BAC，得：，PH=x； ∴y=×4×x=x（0≤x≤或5＜x≤10）； （2）当D在BC上时， ①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2； PB=x，AB=10，MH=2，BC=8， 此时△PBH∽△BCA， ∴，得：，解得x＝； ②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：，即DP•BA=DM•BC； ∴10x=4×8，解得x=； 当D在BC延长线上时， 由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况； 当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM， ∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB， ∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B； 由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM； 所以△PDM和△ACB不可能相似；    综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2． 【方法点睛】主要考查了相似三角形的判定和性质，需注意的是（2）题中，虽然当D在BC延长线上的情况不成立，但是一定要将这种情况考虑到，以免漏解． 题型三 求证同角三角函数关系式 解｜题｜技｜巧 1. 从已知公式出发，合理变形推导目标关系式。 2. 运用三角函数定义，将边的关系代入化简。 3. 结合直角三角形特性，辅助证明等式成立。 易｜错｜点｜拨 证明过程忽略三角函数有意义的取值范围。 【例3】（2024·浙江杭州·一模）如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【规范解答】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式3-1】（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【思路引导】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，已知：是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果， ，那么等于（　　） A．2 B．4.5 C．8 D．12.5 【答案】D 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，设，先证明，根据等角的正切值相等可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴ 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型四 互余两角三角函数的关系 解｜题｜技｜巧 1. 牢记互余两角三角函数关系公式，如正弦与余弦互换。 2. 结合直角三角形角的关系转化条件。 3. 利用已知角求解未知角的三角函数值。 易｜错｜点｜拨 混淆互余两角三角函数关系导致计算错误。 【例4】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【思路引导】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【变式4-1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【思路引导】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 题型五 特殊三角形的三角函数 解｜题｜技｜巧 1. 牢记 30°、45°、60°等特殊角三角函数值。 2. 结合特殊三角形边的比例关系辅助计算。 3. 善于将复杂图形分解为特殊三角形求解。 易｜错｜点｜拨 记错特殊角三角函数值致计算结果出错。 【例5】（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【思路引导】本题考查了锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值进行求解. （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算； （2）根据（1）发现的规律进行填写； （3）利用前两问发现的一般规律，对该式子进行求解即可. 【规范解答】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【思路引导】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【规范解答】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【思路引导】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 题型六 特殊角三角函数值的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 准确记忆特殊三角函数值，直接代入式子。 2. 遵循运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号内。 3. 合理运用运算律简化计算。 易｜错｜点｜拨 记错特殊三角函数值，导致整个运算结果错误。 【例6】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若n为正整数，且满足，则 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数值，估算无理数大小，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握估算无理数的方法，先根据特殊角的三角函数值得，再用逼近法估算的大小，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式6-1】（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4；（2）； 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算． （1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算． （2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算． 【规范解答】（1） （2）解： 当时，原式 ∴化简结果为，代入求值结果为． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是利用正方形和等边三角形的边角关系求出相关角度与边长比例，再结合相似三角形的判定条件逐一验证选项． 先根据等边和正方形的性质，得边长相等及、，算出；再通过角度计算判断，排除A；接着找和公共角，判定，验证B正确；利用算DF与DC的比，得，排除C；最后通过判定，得，排除D． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故A错误； ∵， ∴ ∵， ∴，故B正确； ∵， ∴ ， ，故C错误； ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴ ， ，故D错误． 故选B． 题型七 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例7】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2)已知，且，求的值 【答案】(1) (2)24 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的性质； （1）把三角函数值代入，再根据实数运算法则进行计算； （2）利用设k法进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了特殊三角函数的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，根据二次根式的性质化简，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． 先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数值，以及二次根式的性质化简，再合并同类项即可； 根据特殊角三角函数值计算各项，再计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2） ． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）（1）计算： （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】（1）2  ；（2） 【思路引导】本题考查实数的混合运算、特殊角三角函数值，掌握实数的混合运算、特殊角三角函数值是解题的关键． （1）先计算特殊三角函数值，再进行实数加减运算即可； （2）先由是锐角，且，得出，再计算特殊三角函数值，再进行实数加减运算即可． 【规范解答】解：（1） 原式 （2）∵为锐角，且， ∴， 故， ∴原式 . 题型八 根据特殊角三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 1. 牢记 30°、45°、60°等特殊角三角函数值，直接对应求解。 2. 化简已知三角函数式，使其呈现特殊值形式。 3. 结合角的取值范围精准确定角度。 易｜错｜点｜拨 忽略角的取值范围，得出多解或错解。 【例8】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【思路引导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【规范解答】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式8-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【思路引导】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【规范解答】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【考点剖析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【变式8-2】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【思路引导】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【规范解答】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【考点剖析】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 题型九 含30度角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 1. 利用“30度角所对直角边等于斜边一半”找边的关系。 2. 结合勾股定理求未知边长度。 3. 借助角的关系，将问题转化为求解角的度数。 易｜错｜点｜拨 误判30度角所对直角边，导致边的计算错误。 【例9】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】（25-26九年级上·山东威海·阶段练习）已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【规范解答】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 【变式9-2】（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 题型十 解直角三角形的相关计算 【例10】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他在距离教学楼的点A处（即）竖立一根高为的标杆（即），此时地面上的点C、标杆顶点B和条幅顶点G在一条直线上，然后小亮从点A处向教学楼条幅方向移动到达点D处（即），在点D的正上方点E处用测角仪测得，用皮尺测得，．已知，，，，点C、A、D、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据帮助小亮计算条幅的长度．（结果保留根号） 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的判定和性质，30度角直角三角形的性质，勾股定理． 根据平行线分线段成比例求出，证明四边形是矩形，可知，，根据30度角的性质设，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 设，则， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况，当、、在同一直线上时，的值最大，先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，连接交于点，由矩形的性质可得，证明为等边三角形，得出，求出，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】解：点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况， 当、、在同一直线上时，的值最大， 在中，当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， 连接交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴点P的横坐标， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了一次函数的综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式10-2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【规范解答】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 题型十一 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例11】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． (1)在图中画，点E在小正方形的格点上，使，且； (2)在图中画面积为5的，点F在小正方形的顶点上，且，连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确找出格点． （1）作出图形，根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得到，然后求出的正切值进行证明； （2）作出图形，根据勾股定理及其逆定理证明，再求出的面积以及求出进行证明，最后由勾股定理求解． 【规范解答】（1）解：由图可得：， ∴， ∴， ∴ 如图所示： （2）解：由图可得：，， ∴， ∴， ∴， 画出如图所示：    ∴． 【变式11-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先证明，则，继而得到，再结合已知条件即可证明平行四边形； （2）过点作于点，先解求出，再由求出，最后再根据平行四边形的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式11-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 先根据正方形的性质得到，然后解求出，再分两种情况讨论，根据正切的定义求解． 【规范解答】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，同理可得， ∴的长为或． 故答案为：或． 题型十二 三角函数综合 解｜题｜技｜巧 1. 巧用公式转换：熟练运用正弦、余弦、正切等函数间的关系，灵活变形已知式。 2. 结合图形分析：根据题意画图，借助直角三角形边角关系，直观求解问题。 3.分步有序推导：依据已知条件逐步推导，每一步明确目标，避免跳步出错。 易｜错｜点｜拨 混淆角所对边致计算失误：在直角三角形中，易弄错角对应的直角边，引发结果错误。 【例12】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【思路引导】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【规范解答】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【考点剖析】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 【变式12-1】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【变式12-2】（24-25九年级下·福建龙岩·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）如图，,，所以. （2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是． （3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，． 【规范解答】（1）解：如图，, , ∵, ∴.    （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，； ∴    （3）解：如图，在上截取，过H作于D， ， 设，则，, ∴． 中，， ∴．    【考点剖析】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 题型十三 仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 1. 准确识别仰角、俯角，构建直角三角形模型。 2. 合理选择三角函数，根据已知边和角关系求解。 3. 若有多个直角三角形，找公共边等联系逐步计算。 易｜错｜点｜拨 误判仰角、俯角位置，导致三角函数用错。 【例13】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为，求火箭从处到处的飞行距离．（结果保留根号） 【答案】 【思路引导】本题考查了解直角三角形应用-仰角俯角问题﹒先求出，，再求出，即可求出﹒ 【规范解答】解：在中，∵，， ∴，﹒ 在中，∵，， ∴﹒ ∴﹒ 【变式13-1】（23-24九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，， ） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【规范解答】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即 ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 【变式13-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【思路引导】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系分别表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列方程求解大树高度． 【规范解答】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即大树的高度为． 题型十四 方位角问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 1. 依方向角准确画出图形，明确各边与角的关系。 2. 利用三角函数，结合已知边或角求未知边与角。 3.若有多三角形，找联系，通过公共边等逐步求解。 易｜错｜点｜拨 方向角判断错误，导致所构建三角形边角关系出错。 【例14】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)小明家A到小亮家B的距离是米； (2)小亮先到达图书馆，理由见解析． 【思路引导】本题考查直角三角形的应用—方位角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． （1）作于，得到，由锐角的正弦求出的长，由是等腰直角三角形，解直角三角形得到（米； （2）由三角形中位线定理求出的长，即可求出小亮行走的路程，求出的长即可得到小明行走的路程，从而求出小明，小亮行走的时间，即可解决问题； 【规范解答】（1）解：作于， ，， ， ， ∵米， 米， ∵ 是等腰直角三角形， 米， 小明家到小亮家的距离是米． （2）解：由上得是等腰直角三角形， ∴米， 在中，米 ∴小明的路程是米，小明的速度是米分钟， 小明从家到图书馆的时间是分钟， ，分别是，的中点， 是的中位线， 米， 小亮的路程是米， 小亮从家到图书馆的时间是分钟， 小亮先到达图书馆． 【变式14-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】(1)的长度为283米 (2)王老师先到总校点，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：过点作交于点， 由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． （2）解：， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 【变式14-2】（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【思路引导】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【规范解答】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为 ， 故选：C． 题型十五 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 1. 明确坡度、坡比定义，将其转化为直角三角形边的比。 2. 结合勾股定理，根据已知边求出其他边。 3. 合理选择三角函数，计算所需角度或边长。 易｜错｜点｜拨 混淆坡度、坡比概念，导致边的比例关系用错。 【例15】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 【变式15-1】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【思路引导】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 【变式15-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【思路引导】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【规范解答】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 题型十六 其他问题（解直角三角形的应用） 【例16】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中四边形是矩形，，现由于故障，不能完全升起，最大为．若一辆厢式小货车宽，高，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由．（参考数据：，） 【答案】这辆车不能在升降杆故障时进入停车场，理由见解析 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．在上截取，过点作，交于点，交于点，先求出，再根据矩形的判定与性质可得，，，然后解直角三角形可得的最大值，则可得的最大值，与小货车的高进行大小比较，由此即可得． 【规范解答】解：这辆车不能在升降杆故障时进入停车场，理由如下： 如图，在上截取，过点作，交于点，交于点， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴当取最大值时，最大， 当取最大值时，， ∵， ∴当最大时，的值最大，最大值为， 又∵这辆小货车的高为， ∴这辆车不能在升降杆故障时进入停车场． 【变式16-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两栋楼房之间的距离至少为，中午12时不能挡光如图，某旧楼的一楼窗台高，要在此楼正南方处再建一栋新楼，已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高为多少米? 【答案】米 【思路引导】本题主要考查了三角函数的应用、矩形的判定与性质，根据题意，可知在不违反规定的情况下，需使阳光能照到旧楼的一楼窗台，据此构造，其中有，，解三角形可得的高度，再由可计算出新建楼房的最高高度． 【规范解答】解：过点C作于E，如下图， 则有，，， ∴， ∵阳光入射角为， ∴， 在中，，即， ∴米， ∴米， 即新建楼房最高为米． 【变式16-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【思路引导】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【规范解答】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【思路引导】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，直接进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选C． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【规范解答】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选：A． 4．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 【答案】2 【思路引导】本题考查特殊角的三角函数值，化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为：2． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·海南·开学考试）在中，，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【规范解答】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 7．（2024·北京·模拟预测）计算：． 【答案】5 【思路引导】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 首先计算乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【规范解答】解： ． 8．（24-25九年级下·湖南湘西·期中）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 【答案】 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形． 首先证明，然后再在直角中，利用三角函数求得的长，则即可求得． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质，解题关键是正确化简． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的性质分别代入化简即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 10．（2024九年级下·广西·专题练习）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【思路引导】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得 ， ，利用三角函数可得（），易得 ，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得 ，然后由求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【规范解答】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 2．（22-23九年级上·全国·期中）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】D 【思路引导】此题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识．根据利用非负数的性质求得，，再利用特殊角的三角函数值求出，，即可得到结论． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是顶角为钝角的等腰三角形． 故选：D． 3．（22-23九年级上·全国·期中）钟表表盘上的圆周被均匀划分为等份，如果表盘的半径为，那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，钟表表盘被均匀分为12等份，相邻刻度对应的圆心角为30°，依题意，，，连接，过点作于点，解直角三角形，得出，进而求得即可求解． 【规范解答】解：如图，设为表盘上相邻的两个刻度，则，，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中） ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【规范解答】解： ． 故答案为： 5．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 【答案】 【规范解答】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得， ∴， 过点B作，垂足为E， 在中，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·上海·期中）用四根长度相等的木条制作教具，制作出如图（a）的正方形，测得，然后制成如图（b）所示的四边形，测得，则图（b）中，长为 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 在图（1）中先利用正方形的性质求出；在图（2）中，连接交于O，证明四边形是菱形，则，，求出，进一步求出，则． 【规范解答】解：如图（1）中， 四边形是正方形， ， 如图（2）中，连接交于O， ∵, 四边形是菱形， ， ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，交于点O，求的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质求解，垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质得出， 然后说明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再利用三角函数求得，从而可利用求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 8．（22-23九年级上·全国·期中）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，解题的关键是熟练掌握，，的三角函数值．利用特殊角的三角函数值即可求值． 【规范解答】解： ． 9．（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 10．（24-25九年级下·四川成都·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，，设，分别表示出，即可证明； （2）根据含角的直角三角形的性质，，，由勾股定理求得，进一步求得面积． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵E为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴（舍负）． ∴的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，由等边三角形的性质可得，，，进而由锐角三角函数得到，再根据旋转的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵点为等边的边的中点， ，，， 在中，， ， ∵绕点逆时针旋转后得到， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取格点，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图，取格点，连接， 由题意得：， ， ， ，， 即， 是直角三角形， ， ． 故选：C． 3．直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【规范解答】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 4．（25-26九年级上·全国·期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解． 【规范解答】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可． 【规范解答】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴，， ∴点的横纵坐标为， ∴， ∴的纵坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为： 6．（23-24九年级下·上海·期中）在中，，，， 【答案】2 【思路引导】本题考查了解直角三角形，过点C作于D，解，得出，再解，得出，从而得出． 【规范解答】解：过点C作于D． ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：2． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再进行运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数值，再进行运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25九年级下·新疆·期中）计算： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中x满足，请选一个合适的x的整数值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式的值为1，或当时，原式的值为，或当时，原式的值为 【思路引导】本题主要考查零次幂、负指数幂、特殊三角函数值及分式的化简求值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据零次幂、负指数幂、特殊三角函数及实数的运算可进行求解； （2）先对分式进行化简，然后再代值求解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； ∵，且， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 9．（23-24九年级上·山东威海·期中）在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西30°，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东60°，且与相距 的处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 【答案】(1)该轮船航行的速度为千米/小时 (2)轮船能正好行至码头靠岸，理由见解析 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，含角的直角三角形三边之间的关系，相似三角形的判定与性质，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键 （1）先求出，然后利用勾股定理列式求解即可得到，再求解即可； （2）作于R，作于S，延长交l于T，然后求出、、，然后利用，利用相似三角形对应边成比例列式求出的长，再求出的长，再进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴． ∵1小时分钟小时， ∴． 故该轮船航行的速度为； （2）能；理由如下： 作于R，作于S，延长交l于T． ， ∴． ∵， ∵， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得：． ∴， 又∵长为， ∴， ∵， 故轮船能够正好行至码头靠岸． 10．（24-25九年级下·四川成都·期中）等边中，点D为边上一动点，连接，作点A关于直线的对称点E，连接， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，，求的长度； (3)如图3，若，点D在边上运动的过程中，存在点E使，求此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，证明，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）可导角求出，则可证明，进而得到，则，证明，推出，设，则，，进而得到，解方程即可得到答案； （3）当点E在上方时，设交于H，可证明平分，得到，求出，；进而得到，根据可得答案；当点E在下方时，过点A作于G，设交于F，可求出；由折叠的性质可得，， 可证明；根据，可得，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图3-1所示，当点E在上方时，设交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点E在下方时，过点A作于G，设交于F， ∵是等边三角形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ； 综上所述，的面积为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $