第1章 图形的相似（知识清单）数学青岛版九年级上册

第1章 图形的相似 1、形状相同的平面图形叫做相似形。 2、两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 3、相似多边形对应边的比叫做相似比。 4、全等形与相似形的关系 （1）两个全等形也是相似形。 （2）两个相似形未必是全等形。 5、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6、相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形的三边成比例。 （2）相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形判定定理2：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 （4）相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 7、相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例 （2）对应高、中线、角平分线的比等于相似比 （3）周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 8、对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) 9、如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在x轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数，所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是他们的位似中心。 易错点1 确定相似三角形时考虑不全面导致漏解 错误：当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论。 注意：注意三角形边的对应关系，当对应边关系不明确时，要进行分类讨论。 例题1 如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 易错点2 与相似三角形的面积有关的计算 错误：未掌握相似比与面积比的关系。 注意：相似三角形面积比等于相似比的平方。 例题2 若，周长比为，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，周长比为， ∴与的相似比为：， ∴与的面积比为：． 故选：B． 易错点3 求位似图形中点的坐标时漏解 错误：求位似图形中点的坐标时，考虑不全面。 注意： 位似比有正负两种情况，需分别讨论，避免漏解。 例题3 如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 【答案】或/或 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 1．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 2．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 【答案】或20 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【答案】或 【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 4．如图，已知，且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 6．已知与的相似比为，则这两个三角形的面积比为 ． 【答案】 【详解】解：∵与的相似比为， ∴这两个三角形的面积比为， 故答案为：． 7．已知，，的面积为1，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵，， ∴相似比为， ∴，即， 解得：． 故答案为9． 8．在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：∵和是关于原点O的位似图形，相似比等于，点A的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 10．在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段， ∴端点的横坐标和纵坐标都变为A点横坐标和纵坐标的． ∵点， ∴端点的坐标是或， 即或． 故答案为：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 图形的相似 1、______________的平面图形叫做相似形。 2、两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的_________________，____________________，那么这两个多边形叫做相似多边形。 3、相似多边形_________________叫做相似比。 4、全等形与相似形的关系 （1）________________________________ （2）________________________________ 5、两条直线被一组平行线所截，所得的________________________。 6、相似三角形的判定方法： （1）_________________________________________________，所截的三角形的三边与原三角形的三边成比例。 （2）相似三角形判定定理1：__________________________________。 （3）相似三角形判定定理2：_______________________________________。 （4）相似三角形判定定理3：_________________________________。 7、相似三角形的性质 （1）对应角_______、对应边_______________。 （2）对应高、中线、角平分线的比等于相似比 （3）周长比等于______________，面积比等于相_______________________。 8、对应边_________________且每对________________________________的两个相似多边形叫做位似图形，这个点叫做___________________. (这时的相似比也称为位似比) 9、如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在x轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别__________________________________，所得到的图形与原图形是位似图形，__________________是他们的位似中心。 易错点1 确定相似三角形时考虑不全面导致漏解 错误：当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论。 注意：注意三角形边的对应关系，当对应边关系不明确时，要进行分类讨论。 例题1 如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 易错点2 与相似三角形的面积有关的计算 错误：未掌握相似比与面积比的关系。 注意：相似三角形面积比等于相似比的平方。 例题2 若，周长比为，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 易错点3 求位似图形中点的坐标时漏解 错误：求位似图形中点的坐标时，考虑不全面。 注意： 位似比有正负两种情况，需分别讨论，避免漏解。 例题3 如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 1．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 2．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 4．如图，已知，且，若，则 ． 5．如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为 ． 6．已知与的相似比为，则这两个三角形的面积比为 ． 7．已知，，的面积为1，则的面积为 ． 8．在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 10．在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点的对应点的坐标为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$