专题03 对圆的进一步认识（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

专题03 对圆的进一步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆定义与定理 1 明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论； ②理解圆周角与圆心角的关系； ③ 归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。 常考小题与综合题。核心考点如垂径、圆周角等定理，用于求弦长、角度等，切线性质判定是必考点。 圆的相关知识进行证明和计算 ①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题； ②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上； ③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。 圆相关证明多涉及切线、圆周角等定理应用；计算常考弧长、面积等，题型有选择、填空及解答 圆的相关知识解决实际问题 ①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题； ③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。 如拱桥、摩天轮等，考查圆的性质、弧长面积计算，以解答题为主，重知识应用。 知识点01 圆的对称性 1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点02 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 知识点03 三角形的外接圆 1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 5) 过同一直线上的三点不能作圆。 知识点04 反证法 1） 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 2） 反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 知识点05 圆周角 1) 顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。 2）圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 知识点06 圆内接四边形 1） 定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2） 定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 3) 圆内接四边形的对角互补。 知识点07 直线与圆的位置关系 1) 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 2) 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 3) 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 知识点08 点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 知识点09 切线的性质和判定 1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 知识点10三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 知识点11 弧长及扇形面积的计算 1）弧长公式：（表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）。 2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）。 知识点12 正多边形与圆 1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。 2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。 5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 7）正多边形的中心角：正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 题型一 垂径定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 构建直角三角形，利用垂径定理得弦长一半。 2. 结合勾股定理，根据半径、弦心距等求未知量。 3.善于将实际问题转化为垂径定理模型求解。 易｜错｜点｜拨 忽视垂径定理使用条件，错误计算弦长等。 【例1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查垂径定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的半径长． 【规范解答】解：如图，，过圆心，连接，， ， ， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【思路引导】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【规范解答】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 题型二 求特殊三角形外接圆的半径 【例2】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径，连接，根据勾股定理求得 ，，解直角三角形得到，由，，得出，进而即可求得，从而求得圆的半径为． 【规范解答】解：作的外接圆，作直径，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：D． 【变式】（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3） 【思路引导】本题考查了数字类规律探索、完全平方公式、勾股定理、直角三角形的外接圆等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先计算乘方，再计算加法即可得； （2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证； （3）利用勾股定理可得计算，的式子，再利用（2）中的规律即可得的值，从而可得的值，然后根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得． 【规范解答】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2），即， ，即， ，即， 归纳类推得：（为正整数），证明如下： ，得证． （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴外接圆的半径为． 题型三 确定圆心(尺规作图） 解｜题｜技｜巧 1. 作圆上任意两条弦，分别作其垂直平分线。 2. 利用尺规准确作出垂直平分线，交点即圆心。 3.作图时保证线条清晰、规范，提高准确性。 易｜错｜点｜拨 垂直平分线作图不规范，导致圆心确定错误。 【例3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点，，． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，并写出的坐标； (2)求出该圆弧所在圆的半径．（一个单位长度是1） 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】本题考查了圆的基本性质，确定圆心，勾股定理、点与圆的位置关系，垂直平分线的性质，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键． （1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度； 【规范解答】（1）解：如图，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点， 则． （2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接， ∵，，， ∴， ∴，即圆半径的长度为． 【变式】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝24cm，水面最深地方的高度为8cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】（1）如图所示；见解析；（2）圆形截面的半径为13cm． 【思路引导】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答； （2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=12，设这个圆形截面的半径为xcm，在Rt△AOD中，运用勾股定理求出x即可. 【规范解答】（1）如图所示； （2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点， ∵AB＝24cm， ∴AD＝AB＝12． 设这个圆形截面的半径为xcm， 又∵CD＝8cm， ∴OD＝x﹣8， 在Rt△OAD中， ∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+122＝x2， 解得x＝13． ∴圆形截面的半径为13cm． 【考点剖析】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键. 题型四 90度的圆周角所对的弦是直径 解｜题｜技｜巧 1. 见 90 度圆周角，直接关联其对弦为直径。 2. 利用直径所对圆周角性质构造直角三角形解题。 3.结合其他圆的定理，如垂径定理，完善条件推理。 易｜错｜点｜拨 误判圆周角为 90 度，导致直径应用错误。 【例4】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【思路引导】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【规范解答】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 【变式】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的直径为10，则 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路引导】（1）利用尺规作出的角平分线，作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可． （2）连接，设射线交于E．利用勾股定理求出，，再利用勾股定理求出，可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，射线，即为所求． （2）解：连接，设射线交于E． ∵，平分，， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【考点剖析】本题考查作图-复杂作图，作角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题． 【变式】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 【规范解答】解： 于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 题型五 已知圆内接四边形求角度 【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中， (1)请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接BP，若，设边上的高为，则 ，并求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路引导】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形. （1）根据得出P点所构成的圆以为直径，根据垂直平分线画法画出O点，补全，再作的角平分线与的交点即是P点. （2）设与的交点为H，，得到，根据题意求出，即可得出， ， ，求出，根据勾股定理求出. 【规范解答】（1）如图所示，和点P即为所作： （2）由（1）作图，设与的交点为H，连接， ∴， ∵， 设， ∴， ∴ 解得：    ∴     ∴. 连接，由（1）作图知平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴于点Q    ∴， 又， ∴   ∴   ∴. 故答案为：， 题型六 求四边形外接圆的直径 【例6】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 【变式】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知是四边形的外接圆． (1)如图1，连接，若点在上，求证：； (2)如图2，延长、交于点，求证：； (3)如图3，连接，若点是中点，，的半径，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）由题意得，再由勾股定理即可证明； （2）由“圆内接四边形对角互补”可以证明，，进而证明两个三角形相似，再用相似三角形的性质求解即可； （3）设与交于点，的延长线与交于点，由（2）中结论得到，再代入解方程即可． 【规范解答】（1）证明：在上，是的直径， ． 在中，由勾股定理，， 在中，由勾股定理，， ． （2）证明：是四边形的外接圆， ， ， ， 同理可得， ， ，即． （3）解：设与交于点，的延长线与交于点． 点是中点， ，． 由（2）中的结论，有． 其中，， ， 解得（负值舍去）． 【考点剖析】本题是一道综合题，主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握“直径所对的圆周角是直角”、“圆内接四边形对角互补”是解题关键． 题型七 切线的性质和判定的综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 判定切线时，连半径证垂直或作垂直证半径。 2. 用切线性质，得垂直找直角三角形，结合勾股定理。 3.综合圆其他定理，如圆周角定理，完善解题思路。 易｜错｜点｜拨 混淆切线判定与性质条件，导致推理出错。 【例7】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，熟练掌握与运用平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，是做题的关键． （1）连接并延长与交于点，连接，通过证明三角形全等可得，进一步证明直线是的切线； （2）设与相切于点，连接并延长与交于点，同理（1）得是的切线，再根据切线长定理得，，再进一步可得，即可证明是菱形． 【规范解答】（1）证明：如图， 连接并延长与交于点，连接， 是的对称中心， ， ， 又， ， ， 与相切于点， 与相切于点， 即直线是的切线． （2）解：是菱形． 理由：如图， 设与相切于点，连接并延长与交于点， 同理（1），得是的切线，． 由切线长定理得，， ， ． ， 是菱形． 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点A作的切线，猜想与的数量关系，并证明． 【问题解决】 （2）如图②，在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．其中是两段长度均为200米的直线形灌溉管道，且．，是一段弧形灌溉管道，其所对的圆心角为为了优化灌溉系统的成本和输水效率，需在上选取一个辅助喷头D的安装位置．试验发现，当出水源A点到喷水口D的距离与喷水口D到农田一角B的距离的比值最小时，喷水口D为最佳安装位置．请问：是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算此时以A、B、D为顶点的重点灌溉区域的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）的最小值为；平方米 【思路引导】（1）连接，由等边对等角得到，由三角形内角和定理得到；由切线的性质得到，则，由圆周角定理可得，则； （2）设所在圆的圆心为O，连接，连接并延长交于E，连接，可证明，得到，，则，则是的切线，由（1）可得，证明，可得，则当是的直径时，有最小值，解得到米，则的最小值为；可证明此时三点共线，，则，由勾股定理得米，则米，米，即可得到平方米． 【规范解答】解：（1），证明如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图所示，设所在圆的圆心为O，连接，连接并延长交于E，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最小值， ∵是的一条弦， ∴当是的直径时，有最大值， 在中，米， ∴的最小值为； ∵是的直径， ∴此时三点共线，， ∴， 在中，由勾股定理得米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴平方米． 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型八 应用切线长定理求解 解｜题｜技｜巧 1. 明确切点，利用切线长相等构建等量关系。 2. 结合等腰三角形性质，借助切线长定理简化计算。 3.与其他圆的定理联用，如垂径定理，完善解题。 易｜错｜点｜拨 忽略切线长定理使用前提，误判线段相等。 【例8】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，过外一点引圆的两条切线，切点分别为、，连接、，延长、交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的半径为 ；连接，则的长为 ． 【答案】 / 【思路引导】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，①连接，由题意得：且，求出，；设，则；根据即可求解；②作，可推出；根据，，求出，得；进而得，；求出，；即可求解； 【规范解答】解：连接，如图所示： 由题意得：且， ∵，， ∴， ∴； 设，则； ∵， ∴，解得：； 作，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴，； ∴， ∴； 故答案为：①；②． 【变式】（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求的半径长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径长为． 【思路引导】本题考查了切线长定理，勾股定理，等角的余角相等，掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． （）利用切线长定理得到平分，即，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，分别切于点，， ∴平分，即，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 题型九 应用切线长定理求证 解｜题｜技｜巧 1. 准确识别切点，根据切线长定理得出线段相等关系。 2. 结合全等或相似三角形知识，由切线长创造条件推导。 3.合理运用圆的其他性质，与切线长定理协同证明。 易｜错｜点｜拨 未正确判断切线，错误使用切线长定理证明。 【例9】（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【规范解答】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【考点剖析】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 【变式】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②正确，理由见解析 【思路引导】（1）首先证明，易得，由切线长定理可知，，进而证明，然后由勾股定理求解即可； （2）首先根据勾股定理可得，再由（1）知，进而可得，由切线长定理可知，易得，然后证明结论； （3）延长至，使得，连接，首先证明，易得，再证明，易得，即可证明． 【规范解答】（1）解： 是直径，、是切线， ∴， ， 由切线长定理可知，， ， ， ， ； （2）证明： 是直径， 、 是切线， ， ， 由 （1）知 ， ， 由切线长定理可知 ， ， ， 即 ， ； （3）我认为正确，理由如下： 如下图，延长至，使得，连接， 由垂径定理知，垂直平分， ， ， 在四边形中，， 又 ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识，综合性质强，综合运用相关知识是解题关键． 题型十 圆的综合问题 解｜题｜技｜巧 1. 整合圆的各类定理，如垂径、圆周角、切线定理，建立条件联系。 2. 结合三角形知识，构造直角或相似三角形辅助求解。 3.从问题出发逆向分析，逐步推导所需条件。 易｜错｜点｜拨 定理使用条件混淆，导致推理过程和结果出错。 【例10】（2025·广西来宾·一模）如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【思路引导】（1）根据题意得，结合垂径定理得和，则，即可证明四边形是矩形． （2）连接，有，得，进一步判定，等量代换为，即，即可证明结论成立； （3）结合题意设，．根据勾股定理得，有．进一步判定，有，求得，再利用勾股定理列方程求得x即可． 【规范解答】（1）证明：∵为的直径， ∴． ∵，分别是，的中点，且，经过圆心， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：连接．如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 又∵为半径， ∴是的切线． （3）解：∵， ∴． 设，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的半径为3． 【考点剖析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定、等腰三角形的性质、切线的判定、解直角三角形、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形． 【变式】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解； （2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； ②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解． 【规范解答】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，作，垂足为， ∵，平分（已证）， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴； ②∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 【考点剖析】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键． 题型十一 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【例11】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． (1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）； (2)求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ①______， ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且②______于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （④______）（填推理的依据）， ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②垂直；③；④． 【思路引导】本题考作查了过圆外一点作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键在于根据题意作出图形． （1）根据作线段垂直平分线，以及题干中作图的步骤画图，即可解题； （2）连接，，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可证明，是的切线，再结合圆的特点证明，即可证明． 【规范解答】（1）解：根据题意可作图如下： （2）证明：连接，，如图． 为的直径， ①， ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且②垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中，， （④）（填推理的依据）， ． 故答案为：①；②垂直；③；④． 【变式】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （3）在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【思路引导】本题考查了切线的作法，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角；同弧所对的圆周角是圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补． （1）连接，过点A作，直线即为所求； （2）连接，作的垂直平分线，交于点Q，以点Q为圆心，为半径画圆，与相交于点E和点F，连接，即为所求； （3）先根据四边形内角和为360度，得出，再进行分类讨论：当点在优弧上时，根据圆周角定理即可解答；当点在劣弧上时，根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【规范解答】解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）∵，， ∴， 如图， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 故答案为：或． 题型十二 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解｜题｜技｜巧 1. 牢记公式r=（a,b为直角边，c为斜边，S为面积，p为半周长）。 2. 灵活变形公式，根据已知量求未知量。 3.结合勾股定理a²+b²=c²，完善条件进行计算。 易｜错｜点｜拨 记错公式或用错边的对应关系，导致计算错误。 【例12】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【思路引导】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为的内切圆圆心， （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【变式】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，则的坐标是 ；第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2023次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8093， ， 故答案为：，． 【考点剖析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 题型十三 圆外切四边形模型 【例13】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【思路引导】连接，由题意可知过点，，且 ，列出方程求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ， ，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ． ， ， （） 解得： ． 即的直径为 ． 故答案为： ． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 【变式】（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 题型十四 三角形内心有关应用 【例14】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【思路引导】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键． 根据等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系相关知识点判断即可． 【规范解答】解：（1）能够完全重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； （3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，说法正确，符合题意； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则，原说法错误，不符合题意； 因此正确的只有1个， 故选：D． 【变式】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (2)如图2，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了圆的基本性质，复杂作图——线段、垂线、以及角平分线，圆的切线的性质和破安定，等腰三角形的内心等知知识，利用相关知识点正确作图是解题关键． （1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在上且圆经过点 P 并与相切，过圆心作的垂线，垂线段长度即为半径； （2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可． 【规范解答】（1）解：①过点P作的垂线交于点E， ②在上截取， ③作的平分线交于点O； ④以点O为圆心，长为半径作圆； 则为所求的图形． （2）解：①在上任取一点M（除F外），在上任取一点N（除E外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点G； ③同样方法，得点H； ④作直线，则直线为所求的图形． 题型十五 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例15】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【规范解答】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 【变式】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了内切圆的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质．设的半径为，利用面积法结合内切圆的性质求得，连接，，作于点，利用垂径定理结合勾股定理求得，过点F作交于点M，过点G作交于点N，求得，当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值，据此求解即可． 【规范解答】解：如图，设的半径为，设与内切圆的切点分别为，连接，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 连接，，作于点， ∴，， ∵点、是的三等分点的其中两点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题可知， 过点F作交于点M，过点G作交于点N，如图， 则 ， 当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值， 此时共线，即为直径的长， ∴，即为面积最大值． 题型十六 三角形内切圆与外接圆综合 解｜题｜技｜巧 1. 明确内切圆、外切圆性质，如圆心位置与边角关系。 2. 结合三角形特性，利用角平分线、垂直平分线辅助解题。 3. 建立方程，根据半径、边长等关系求解未知量。 易｜错｜点｜拨 混淆内切圆和外切圆性质，导致逻辑推理出错。 【例16】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【规范解答】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【变式】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论； （2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 题型十七 求弧长 【例17】（2020·辽宁沈阳·二模）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 【变式】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． (1)求的长． 操作：将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究：在图2中． (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】(1) (2) (3)；， 【思路引导】（1）连接，利用垂径定理计算即可； （2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可； （3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可． 【规范解答】（1）解：连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ． （2）解：∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）解：∵于点， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键． 题型十八 求扇形半径 【例18】（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【规范解答】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为， 故答案为． 【变式】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 【答案】 【思路引导】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可． 本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【规范解答】解：设扇形的半径是r，则， 解得， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 题型十九 求圆心角 【例19】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【思路引导】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【规范解答】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 【变式】（24-25九年级下·全国·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】10 【思路引导】考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【规范解答】解：， 底面周长， 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得： 即展开图是一个半圆， 点是展开图弧的中点， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， 即蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：10． 题型二十 求某点的弧形运动路径长度 解｜题｜技｜巧 1. 确定动点运动轨迹为圆弧，找其所在圆的圆心与半径，利用圆性质求解。 2. 找出动点起始和终点位置，算出对应圆心角的度数。 3. 代入弧长公式（n为圆心角度数，r为半径）计算。 易｜错｜点｜拨 错误判断圆心、半径或圆心角度数，致弧长计算出错。 【例20】（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 【答案】 【思路引导】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．连接，交于，再证明是等边三角形，得出，再求出，根据弧长公式即可得出结果． 【规范解答】解：连接，交于，如图所示： 菱形的边长为，， ，，， ， 与重合， ， 是等边三角形， ，，， ， 点所走的路径的长为； 故答案为： 【变式】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 如图：连接，交于点O，取中点H，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出G经过的路程长即可． 【规范解答】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接， ∵矩形，， ∴，，， ，， ∴是等边三角形，即 在与中， ， ， ∴E、O、F共线， ，H是中点， ∴，则， ∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧， 当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合； ∴G走过的路程为． 故答案为． 题型二十一 求扇形面积 【例21】（23-24九年级上·四川·期末）如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且． (1)若，求的长； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据，可得，再由勾股定理可得，然后利用三角形面积公式求出，再利用垂径定理即可求解； （2）根据垂径定理可得，再由，可得，设，则，，根据，可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是的直径，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，扇形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线上，得到，由及，即可得到答案； （3）先证明四边形为正方形，结合题意，所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积，最后利用扇形的面积公式即可求得． 【规范解答】（1）如图， 过点作于点， 四边形为正方形， ， ． ， 等于的半径， 与相切． （2）如图， 连接， 四边形为正方形，， ． ，，分别与相切于点，，， ， ， ， 垂直平分． ， 点在的垂直平分线上， 三点在同一条直线上． ， ， ． （3）如图， 设与正方形的边切于点，与切于点， ． 且， 四边形为正方形． ． 半径为的在边长为的正方形内任意移动， 所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积， 所移动过的最大区域面积． 故答案为：． 题型二十二 求图形旋转后扫过的面积 【例22】（2020·四川巴中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在第四象限，且其顶点坐标分别为． (1)画出关于轴对称的图形； (2)画出绕原点O顺时针旋转后的图形； (3)求出（2）中线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了轴对称作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积公式等知识点． （1）分别找到点A、B、C三点关于x轴对称的点，顺次连接即可； （2）分别找到点A、B、C三点绕原点顺时针旋转后的点，顺次连接即可； （3）线段所扫过的面积一个扇环，利用以为圆心，圆心角为，半径为长的扇形面积减去以为圆心，圆心角为，半径为长的扇形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由网格可知点在同一直线上，线段所扫过的图形为一个扇环， ∵，， ∴线段所扫过的面积为：． 【变式】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形中，，是边的中点，是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． (1)求证：； (2)求面积的最小值； (3)直接写出所扫过图形面积最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）根据旋转的性质，对应线段和对应角相等，可证明，即可得到； （2）由，可得，当时，的值最小，即可求的面积的最小值． （3）所扫过图形面积，当点O、E、D三点共线时，最小，求得此时，代入即可求解． 【规范解答】（1）证明：由旋转得：，， 四边形是正方形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， 当时，点到的距离最小，则的值最小，即的值最小，最小值为， 的面积的最小值． （3）解：∵所扫过图形面积， ∴当最小时，所扫过图形面积最小， ∴当点O、E、D三点共线时，最小， 四边形是正方形， ，， ∵是边的中点， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴所扫过图形面积最小值． 【考点剖析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，最短路径问题，熟练掌握垂线段最短和两点之间线段最短是解题的关键． 题型二十三 求弓形面积 【例23】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，求： (1)求的长， (2)弦与劣弧所围成的面积 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）连接，求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理得出； （2）首先解直角三角形求出，然后得到，然后根据弦与劣弧所围成的面积代数求解即可． 【规范解答】（1）解：连接， ∵的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）如图所示，连接 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴弦与劣弧所围成的面积． 【考点剖析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解直角三角形，求弓形面积，熟练掌握垂径定理的内容是解本题的关键． 【变式】（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理即可求出，结合时半径即可证明； （2）过点作于点，求出，由圆周角定理求出，易证为等边三角形，求出，利用即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． 是的直径， 为的切线； （2）解：如图，过点作于点． 为的切线， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ． 题型二十四 求其他不规则图形的面积 【例24】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，内接于，是的直径．直线l与相切于点A，在l上取一点D使得，线段，的延长线交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【考点剖析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）连接，证明即可． （2）连接，证明，，结合，得，得，即得． （3）连接，由，可得，得，由 ，利用求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴直线是的切线． （2）证明：连接， ∵为的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∴． 即． （3）解：连接，过点O作于点G， 则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵的半径为4， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ． 【考点剖析】本题考查了切线的证明，扇形的面积，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度的直角三角形性质，圆的基本性质．熟练掌握切线的证明，三角形相似的判定是解题的关键． 题型二十五 正多边形和圆的综合 解｜题｜技｜巧 1. 把握正多边形中心、半径、边心距等概念，构建直角三角形求解。 2. 利用正多边形内角、外角公式及圆周角定理建立角的联系。 3.结合弧长、扇形面积公式解决相关计算问题。 易｜错｜点｜拨 混淆正多边形的半径与边心距，导致计算结果出错。 【例25】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【思路引导】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【规范解答】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【考点剖析】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图①，正六边形边长为4且各有一个顶点在直线上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图②，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图②中： （1） 度； （2）中间正六边形的中心到直线的距离为 ．（结果保留根号）． 【答案】 30 【思路引导】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解； （2）将问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解． 【规范解答】解：（1）作图如下： 正六边形每个内角的度数为：， ∴， 根据题意可知：， ， 故答案为：； （2）取中间正六边形的中心为，作如下图形， 由题意得：，,， 四边形为矩形， ， ， ， ， ∵， ∴在中， ∴， ∴， 由图①知， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征． 题型二十六 尺规作图—正多边形 【例26】（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题目要求作出图形即可； （2）由作图可知，可知，利用勾股定理可求，根据正六边形的性质可知是等边三角形，并且，所以可得点坐标为． 【规范解答】（1）解：如图，正六边形即为所求； （2）将正六边形绕点顺时针旋转，如下图所示，连接， 由作图可知， 则， ， 点的坐标为， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形，， ， 正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为． 【变式】（2021·北京房山·二模）已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【思路引导】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可； （2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到 ，由此得到即为所求的三角形． 【规范解答】解：（1）补全的图形如图所示：                     （2）证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴90． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ． 【考点剖析】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 2．如图，已知点A、B、C、D在上，弦、的延长线交外一点E，，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，再根据三角形的外角性质求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故答案为： 3．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，由垂径定理可推出，则由圆周角定理和平角的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 【答案】24 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理即可得到，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 与相切于点C， ， ， ， ， 故答案为：24． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为________； (2)若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【思路引导】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）利用勾股定理求出，与求得的半径比较，即可判定位置关系． 【规范解答】（1）解：圆心D如图所示， 圆心坐标为； （2）解：点E在内部； 由勾股定理得半径为：； ，而， 故点E在内部． 6．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【规范解答】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【规范解答】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 3．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查垂径定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的半径长． 【规范解答】解：如图，，过圆心，连接，， ， ， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了勾股定理、弧长公式等知识．设，则，根据勾股定理求出或，根据小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差，得到正方形的边长为，利用弧长公式即可求出答案． 【规范解答】解：∵每个直角三角形的两直角边之和为7， ∴设，则． 在中，由勾股定理可得到， ， 解得或． 由题图可知，小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差， ∴正方形的边长为， ∴的长为 故答案为： 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请画出的角平分线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图—旋转变换，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据网格特点找出点、、，顺次连接即可； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，作射线交于点，即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作， ； （2）解：如图，射线即为所作， ． 6．如图，是的直径，点C是上一点，连接，，是的切线，点D是上一点，过点D作，交于点F，交于点E． (1)如图1，当点D与点O重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，当时，与交于点G，已知，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，求出  ， 得到 ，  再利用， 求出， 根据三角形内角和求出答案；    （2）过点O作于点H，故．因为 ，，得，由此证得 四边形是矩形， 得到， 即可求出． 【规范解答】（1）解：如图1，连接，   ∵是的切线，   ∴，即，   ∵，   ∴，   ∴，   ∵，   ∴，   ∴，   ∴． （2）如图2，过点O作于点H， ∴．   ∵，，   ∴，   ∴，   ∴四边形是矩形，   ∴，   ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答．连接，过点O作于点，交于点，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由垂径定理可知，从而求得答案． 【规范解答】解：连接，过点O作于点，交于点， 将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查垂径定理，圆周角，三角形的内角和，对顶角相等，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【规范解答】解：连接，如图 ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理，切线的性质等知识点，连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可． 【规范解答】解：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转后得到，则凹五边形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【思路引导】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 过A作于D，如图：根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解． 【规范解答】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点逆时针方向旋转30°后得到， ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴ 又∵，且 ∴ 故答案为：. 5．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【思路引导】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【考点剖析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 6．在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； (3)如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）①连接，，只要证明是等边三角形即可； ②过点A作于点D，当过圆心O时，最大，则此时面积有最大值，由勾股定理求出，进而可得，再根据求解即可； （2）延长，交圆于点D，连接，点D在圆上，根据同弧所对的圆周角相等得，根据三角形的外角，进而可证明； （3）在x轴上方作，使得是以为斜边的等腰直角三角形，作于E，当时，以K为圆心，为半径的圆与相切，此时，在上只有一个点P满足，当时，在上恰好有两个点P满足，此时，由此不难得出结论． 【规范解答】（1）解：①令圆的圆心为O，连接，，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即该弧所在圆的半径长为4， 故答案为：4； ②过点A作于点D，如图， ∵， ∴当过圆心O时，最大，则此时面积有最大值，如图， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长，交圆于点D，连接， ∵点D在圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：解：如图，在x轴上方作，使得是以为斜边的等腰直角三角形，作于E， ∵在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限， ∴， ∴， 当时，以K为圆心，为半径的圆与相切，此时，在上只有一个点P满足， 当时，在上恰好有两个点P满足，此时， 综上所述：满足条件的m的值的取值范围为． 【考点剖析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对圆的进一步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆定义与定理 1 明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论； ②理解圆周角与圆心角的关系； ③ 归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。 常考小题与综合题。核心考点如垂径、圆周角等定理，用于求弦长、角度等，切线性质判定是必考点。 圆的相关知识进行证明和计算 ①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题； ②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上； ③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。 圆相关证明多涉及切线、圆周角等定理应用；计算常考弧长、面积等，题型有选择、填空及解答 圆的相关知识解决实际问题 ①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题； ③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。 如拱桥、摩天轮等，考查圆的性质、弧长面积计算，以解答题为主，重知识应用。 知识点01 圆的对称性 1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点02 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 知识点03 三角形的外接圆 1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 5) 过同一直线上的三点不能作圆。 知识点04 反证法 1） 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 2） 反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 知识点05 圆周角 1) 顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。 2）圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 知识点06 圆内接四边形 1） 定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2） 定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 3) 圆内接四边形的对角互补。 知识点07 直线与圆的位置关系 1) 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 2) 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 3) 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 知识点08 点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 知识点09 切线的性质和判定 1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 知识点10三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 知识点11 弧长及扇形面积的计算 1）弧长公式：（表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）。 2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）。 知识点12 正多边形与圆 1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。 2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。 5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 7）正多边形的中心角：正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 题型一 垂径定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 构建直角三角形，利用垂径定理得弦长一半。 2. 结合勾股定理，根据半径、弦心距等求未知量。 3.善于将实际问题转化为垂径定理模型求解。 易｜错｜点｜拨 忽视垂径定理使用条件，错误计算弦长等。 【例1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 题型二 求特殊三角形外接圆的半径 【例2】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【变式】（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 题型三 确定圆心(尺规作图） 解｜题｜技｜巧 1. 作圆上任意两条弦，分别作其垂直平分线。 2. 利用尺规准确作出垂直平分线，交点即圆心。 3.作图时保证线条清晰、规范，提高准确性。 易｜错｜点｜拨 垂直平分线作图不规范，导致圆心确定错误。 【例3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点，，． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，并写出的坐标； (2)求出该圆弧所在圆的半径．（一个单位长度是1） 【变式】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝24cm，水面最深地方的高度为8cm，求这个圆形截面的半径． 题型四 90度的圆周角所对的弦是直径 解｜题｜技｜巧 1. 见 90 度圆周角，直接关联其对弦为直径。 2. 利用直径所对圆周角性质构造直角三角形解题。 3.结合其他圆的定理，如垂径定理，完善条件推理。 易｜错｜点｜拨 误判圆周角为 90 度，导致直径应用错误。 【例4】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的直径为10，则 ．（如需画草图，请使用图2） 【变式】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 题型五 已知圆内接四边形求角度 【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中， (1)请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接BP，若，设边上的高为，则 ，并求 的长． 题型六 求四边形外接圆的直径 【例6】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知是四边形的外接圆． (1)如图1，连接，若点在上，求证：； (2)如图2，延长、交于点，求证：； (3)如图3，连接，若点是中点，，的半径，求的长． 题型七 切线的性质和判定的综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 判定切线时，连半径证垂直或作垂直证半径。 2. 用切线性质，得垂直找直角三角形，结合勾股定理。 3.综合圆其他定理，如圆周角定理，完善解题思路。 易｜错｜点｜拨 混淆切线判定与性质条件，导致推理出错。 【例7】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点A作的切线，猜想与的数量关系，并证明． 【问题解决】 （2）如图②，在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．其中是两段长度均为200米的直线形灌溉管道，且．，是一段弧形灌溉管道，其所对的圆心角为为了优化灌溉系统的成本和输水效率，需在上选取一个辅助喷头D的安装位置．试验发现，当出水源A点到喷水口D的距离与喷水口D到农田一角B的距离的比值最小时，喷水口D为最佳安装位置．请问：是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算此时以A、B、D为顶点的重点灌溉区域的面积；若不存在，请说明理由． 题型八 应用切线长定理求解 解｜题｜技｜巧 1. 明确切点，利用切线长相等构建等量关系。 2. 结合等腰三角形性质，借助切线长定理简化计算。 3.与其他圆的定理联用，如垂径定理，完善解题。 易｜错｜点｜拨 忽略切线长定理使用前提，误判线段相等。 【例8】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，过外一点引圆的两条切线，切点分别为、，连接、，延长、交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的半径为 ；连接，则的长为 ． 【变式】（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求的半径长． 题型九 应用切线长定理求证 解｜题｜技｜巧 1. 准确识别切点，根据切线长定理得出线段相等关系。 2. 结合全等或相似三角形知识，由切线长创造条件推导。 3.合理运用圆的其他性质，与切线长定理协同证明。 易｜错｜点｜拨 未正确判断切线，错误使用切线长定理证明。 【例9】（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【变式】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 题型十 圆的综合问题 解｜题｜技｜巧 1. 整合圆的各类定理，如垂径、圆周角、切线定理，建立条件联系。 2. 结合三角形知识，构造直角或相似三角形辅助求解。 3.从问题出发逆向分析，逐步推导所需条件。 易｜错｜点｜拨 定理使用条件混淆，导致推理过程和结果出错。 【例10】（2025·广西来宾·一模）如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 【变式】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 题型十一 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【例11】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． (1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）； (2)求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ①______， ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且②______于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （④______）（填推理的依据）， ． 【变式】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （3）在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ． 题型十二 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解｜题｜技｜巧 1. 牢记公式r=（a,b为直角边，c为斜边，S为面积，p为半周长）。 2. 灵活变形公式，根据已知量求未知量。 3.结合勾股定理a²+b²=c²，完善条件进行计算。 易｜错｜点｜拨 记错公式或用错边的对应关系，导致计算错误。 【例12】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【变式】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，则的坐标是 ；第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 题型十三 圆外切四边形模型 【例13】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【变式】（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 题型十四 三角形内心有关应用 【例14】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (2)如图2，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 题型十五 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例15】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【变式】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是 ． 题型十六 三角形内切圆与外接圆综合 解｜题｜技｜巧 1. 明确内切圆、外切圆性质，如圆心位置与边角关系。 2. 结合三角形特性，利用角平分线、垂直平分线辅助解题。 3. 建立方程，根据半径、边长等关系求解未知量。 易｜错｜点｜拨 混淆内切圆和外切圆性质，导致逻辑推理出错。 【例16】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 题型十七 求弧长 【例17】（2020·辽宁沈阳·二模）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． (1)求的长． 操作：将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究：在图2中． (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段与的长度，并比较大小． 题型十八 求扇形半径 【例18】（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 【变式】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 题型十九 求圆心角 【例19】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【变式】（24-25九年级下·全国·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 题型二十 求某点的弧形运动路径长度 解｜题｜技｜巧 1. 确定动点运动轨迹为圆弧，找其所在圆的圆心与半径，利用圆性质求解。 2. 找出动点起始和终点位置，算出对应圆心角的度数。 3. 代入弧长公式（n为圆心角度数，r为半径）计算。 易｜错｜点｜拨 错误判断圆心、半径或圆心角度数，致弧长计算出错。 【例20】（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 【变式】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 题型二十一 求扇形面积 【例21】（23-24九年级上·四川·期末）如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且． (1)若，求的长； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）． 【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 题型二十二 求图形旋转后扫过的面积 【例22】（2020·四川巴中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在第四象限，且其顶点坐标分别为． (1)画出关于轴对称的图形； (2)画出绕原点O顺时针旋转后的图形； (3)求出（2）中线段所扫过的面积． 【变式】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形中，，是边的中点，是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． (1)求证：； (2)求面积的最小值； (3)直接写出所扫过图形面积最小值． 题型二十三 求弓形面积 【例23】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，求： (1)求的长， (2)弦与劣弧所围成的面积 【变式】（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 题型二十四 求其他不规则图形的面积 【例24】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，内接于，是的直径．直线l与相切于点A，在l上取一点D使得，线段，的延长线交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【变式】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 题型二十五 正多边形和圆的综合 解｜题｜技｜巧 1. 把握正多边形中心、半径、边心距等概念，构建直角三角形求解。 2. 利用正多边形内角、外角公式及圆周角定理建立角的联系。 3.结合弧长、扇形面积公式解决相关计算问题。 易｜错｜点｜拨 混淆正多边形的半径与边心距，导致计算结果出错。 【例25】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【变式】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图①，正六边形边长为4且各有一个顶点在直线上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图②，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图②中： （1） 度； （2）中间正六边形的中心到直线的距离为 ．（结果保留根号）． 题型二十六 尺规作图—正多边形 【例26】（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【变式】（2021·北京房山·二模）已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知点A、B、C、D在上，弦、的延长线交外一点E，，，则的度数为 ． 3．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 4．如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为________； (2)若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由． 6．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 3．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（   ） A． B． C． D． 4．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请画出的角平分线，交于点． 6．如图，是的直径，点C是上一点，连接，，是的切线，点D是上一点，过点D作，交于点F，交于点E． (1)如图1，当点D与点O重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，当时，与交于点G，已知，，求的长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是 ． 4．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转后得到，则凹五边形（阴影部分）的面积为 ． 5．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 6．在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； (3)如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $