专题02 对圆的进一步认识（必备知识+24大题型+分层训练）（期末复习讲义）九年级数学上学期青岛版

该初中数学圆单元复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分12个知识点模块呈现圆的对称性、垂径定理等内容，构建“定义-定理-应用”递进框架，突出切线判定、圆周角定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于24个分层题型设计，结合拱桥、筒车等实际问题培养数学眼光，通过切线证明、动态几何题训练推理思维，基础通关到综合拓展练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题02 对圆的进一步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆定义与定理 1 明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论； ②理解圆周角与圆心角的关系； ③ 归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。 常考小题与综合题。核心考点如垂径、圆周角等定理，用于求弦长、角度等，切线性质判定是必考点。 圆的相关知识进行证明和计算 ①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题； ②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上； ③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。 圆相关证明多涉及切线、圆周角等定理应用；计算常考弧长、面积等，题型有选择、填空及解答 圆的相关知识解决实际问题 ①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题； ③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。 如拱桥、摩天轮等，考查圆的性质、弧长面积计算，以解答题为主，重知识应用。 知识点01 圆的对称性 1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点02 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 知识点03 三角形的外接圆 1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 5) 过同一直线上的三点不能作圆。 知识点04 反证法 1） 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 2） 反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 知识点05 圆周角 1) 顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。 2）圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 知识点06 圆内接四边形 1） 定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2） 定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 3) 圆内接四边形的对角互补。 知识点07 直线与圆的位置关系 1) 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 2) 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 3) 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 知识点08 点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 知识点09 切线的性质和判定 1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 知识点10三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 知识点11 弧长及扇形面积的计算 1）弧长公式：（表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）。 2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）。 知识点12 正多边形与圆 1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。 2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。 5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 7）正多边形的中心角：正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 题型一 利用垂径定理求值 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F． (1)证明：四边形为正方形； (2)若，，则直径等于______． 【变式】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（   ） A． B． C． D． 题型二 垂径定理的实际应用 【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【变式】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，于点C）．求该圆的半径． 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例3】25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例4】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 【变式】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型五 求圆弧的度数 【例5】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【变式】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 【例6】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)请在图中画出关于点O的中心对称图形； (3)的外接圆半径长为_______． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 题型七 判断三角形外接圆的圆心位置 【例7】（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 【变式】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 题型八 确定圆心（尺规作图） 【例8】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对其进行修复，需要先确定铜镜原本的大小．已知圆形铜镜的一条弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D，测得． (1)修复师需要先找到这面铜镜所在圆的圆心，才能进行后续的修复工作，请你确定该圆的圆心．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求这面铜镜所在圆的半径． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点． (1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心； (2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）． 题型九 画圆（尺规作图） 【例9】（25-26九年级上·广东汕头·月考）实践与操作： 已知：．求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． （要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 题型十 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例10】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； (3)如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 题型十一 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例11】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，是半圆的直径，，等于，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型十二 90度的圆周角所对的弦是直径 【例12】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． (1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． (2)请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 题型十三 已知圆内接四边形求角度 【例13】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点C为圆上的点，连接，，的平分线交于点D，连接，． (1)若，，求的长． (2)延长于点E，使得，求证：． 【变式】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型十四 求四边形外接圆的直径 【例14】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【变式】（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      题型十五 切线的应用 【例15】（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 【变式】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 题型十六 证明某直线是圆的切线 【例16】．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【变式】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 题型十七 切线的性质和判定的综合应用 【例17】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（   ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 题型十八 应用切线长定理求证 【例18】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，连接交于点D． 求证： (1)； (2)． 【变式】（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 题型十九 圆的综合问题 【例19】（2025·广西来宾·一模）如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 【变式】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． (1)求证：． (2)若，，求EF的长． 题型二十 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【例20】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，I不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【变式】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图①，点在上，作弦，使； (2)如图②，点在内，过点作弦，使． 题型二十一 三角形的内切圆的综合问题 【例21】（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【变式】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点O，M是的中点，交于点G． (1)求证：； (2)设，的角平分线交于点I，，． ①分别求点G和点I到的距离； ②作直线分别交，于E，F两点，求的值． 题型二十二 弧长及扇形面积的计算 【例22】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 【变式】．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型二十三 正多边形与圆的综合问题 【例23】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【变式】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 题型二十四 尺规作图—正多边形 【例24】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，正六边形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 3．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A．58° B．116° C．64° D．60° 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，已知是的两条直径，，则的度数为 ． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，是直径，于点，，则的度数为 °． 7．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，点均在上，若，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，正确的有（   ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·广东江门·期中）下列说法中错误的是（    ） A．如图①，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是 B．如图②，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心 C．如图③，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要 D．如图④，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格是利用圆周角所对的弦是直径 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为 ．（计算结果保留） 5．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，，圆心在边上的半径为，．若沿方向移动，当与相切时，圆心O移动的最短距离为 ． 6．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 7．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 9．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度． (1)画出平移后的图形 ； (2)将绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的图形 并写出点 的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段所扫过的面积（结果保留）． 10．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． (1)设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆． ①若，则该正n边形的“接近度”等于______； ②若“接近度”等于18，则该正n边形的边数n的值等于______； ③当“接近度”等于______时，正n边形就成了圆． (2)设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆．你认为这种说法是否合理？若不合理，请写出正n边形“接近度”的一个合理定义． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 ． 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 6．（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，．若，，则阴影部分的面积为 ． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是半圆O的直径，C是圆上的点，作交于点E． (1)求证：D为的中点． (2)若，，求扇形的面积． 8．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 9．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)当，时，①求线段的长；②求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 10．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，点C是上除点A，点B外的一点． (1)如图1，作出弧的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，点D是弧的中点，于点E，求证：是的切线； (3)如图3，点D是弧的中点，点F在上，与相交于点G，弧所对的圆心角为，，，． ①求出的长； ②写出的长为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 对圆的进一步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆定义与定理 1 明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论； ②理解圆周角与圆心角的关系； ③ 归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。 常考小题与综合题。核心考点如垂径、圆周角等定理，用于求弦长、角度等，切线性质判定是必考点。 圆的相关知识进行证明和计算 ①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题； ②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上； ③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。 圆相关证明多涉及切线、圆周角等定理应用；计算常考弧长、面积等，题型有选择、填空及解答 圆的相关知识解决实际问题 ①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题； ③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。 如拱桥、摩天轮等，考查圆的性质、弧长面积计算，以解答题为主，重知识应用。 知识点01 圆的对称性 1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点02 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 知识点03 三角形的外接圆 1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 5) 过同一直线上的三点不能作圆。 知识点04 反证法 1） 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 2） 反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 知识点05 圆周角 1) 顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。 2）圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 知识点06 圆内接四边形 1） 定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2） 定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 3) 圆内接四边形的对角互补。 知识点07 直线与圆的位置关系 1) 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 2) 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 3) 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 知识点08 点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 知识点09 切线的性质和判定 1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 知识点10三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 知识点11 弧长及扇形面积的计算 1）弧长公式：（表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）。 2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）。 知识点12 正多边形与圆 1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。 2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。 5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 7）正多边形的中心角：正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 题型一 利用垂径定理求值 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F． (1)证明：四边形为正方形； (2)若，，则直径等于______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握知识点． （1）首先证明四边形是矩形，再证明，可得结论； （2）利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，可得结论． 【规范解答】（1）解：证明：连接，． ，垂足为点于点，于点， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形； （2），， ， ， ， ， ， 的半径为 的直径为． 【变式】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂径定理，勾股定理，作交于点，交于点，连接，可得，设圆形框架的半径为，则，，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作交于点，交于点，连接， ∵， ∴， 设圆形框架的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆形框架的半径为， 故选：． 题型二 垂径定理的实际应用 【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【思路引导】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【规范解答】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 【变式】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，于点C）．求该圆的半径． 【答案】该圆的半径为5米 【思路引导】本题考查了用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，垂径定理的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用垂径定理得出米，再用表示出米，从而可利用勾股定理得出关于的方程求解． 【规范解答】解：设圆的半径为r米． ∵于点C， ∴米． ∵米， ∴米． 在中，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为5米． 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例3】25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【规范解答】解：∵的度数为， ， ， 为中点， ． 故选：D． 【变式】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【规范解答】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例4】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 【变式】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． 【规范解答】（1）证明：∵是的直径，， ， ， ， ， ； （2）解：连接、， 则， ∵且， ∴， ∵是的直径，是的弦，于点 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的长是． 题型五 求圆弧的度数 【例5】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 【变式】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【规范解答】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 【例6】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)请在图中画出关于点O的中心对称图形； (3)的外接圆半径长为_______． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为； (2)图见解析； (3) 【思路引导】（1）利用旋转变换的性质分别找出、、的对应点并相连即可，再根据平面直角坐标系即可得出点的坐标； （2）利用中心对称图形性质分别找出、、的对应点并相连即可； （3）根据外接圆性质找出外接圆圆心，再根据勾股定理即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， 由图可得，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求； （3）解：的外接圆圆心在、、的垂直平分线上，如下图： 点为的外接圆圆心， 的外接圆半径长． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查的知识点是旋转作图，作中心对称图形、外接圆性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握相应的作图方法． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案． 【规范解答】解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 题型七 判断三角形外接圆的圆心位置 【例7】（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键． （1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，作和的垂直平分线，相交于点O；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆； （2）的垂直平分线交于点D，则线段即为直径，然后利用三线合一可证平分； （3）连接，利用垂径定理求得，然后在中求得，最后在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示：是所求作的的外接圆， （2）证明：如图，即为所求作的直径， ∵，， ∴平分； （3）解：如图，设与交于点E，的半径为r， ∵是等腰三角形，，，， ∴ ∴在中，． 在中，∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了三角形的外心，利用网格求线段长度，勾股定理逆定理等，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． （1）的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． （2）通过点坐标可求出长度，即为半径，然后再求出长度，进而通过勾股定理逆定理即可求得． 【规范解答】（1）解： ， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：． （2）解：∵圆心D点坐标为：， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， 故答案为：，． 题型八 确定圆心（尺规作图） 【例8】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对其进行修复，需要先确定铜镜原本的大小．已知圆形铜镜的一条弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D，测得． (1)修复师需要先找到这面铜镜所在圆的圆心，才能进行后续的修复工作，请你确定该圆的圆心．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求这面铜镜所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆的半径为 【思路引导】本题考查了圆的圆心确定（垂直平分线的性质）、勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求半径． （1）作弦外另一条弦的垂直平分线，与的延长线的交点即为圆心； （2）设圆的半径为，由题意得的长度，用代数式表示出，利用勾股定理列方程求解． 【规范解答】（1）解：连接，作弦的垂直平分线，与直线交于点O，则点O即为该圆的圆心． （2）解：连接,设该圆的半径为， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即，，， 解得． 答：这面铜镜所在圆的半径为． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点． (1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心； (2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，垂直平分线的性质，关键是通过作辅助线构造直角三角形； （1）连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即可求解； （2）连接，过圆心作，得，设，那么，根据在与中，，可知，即可求解. 【规范解答】（1）解：如图：连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即是圆心， 下图即为所求： （2）解：连接，过圆心作， ∵， ∴， 设，那么， ∵，， ∴在与中，， ∴， 解得：； ∴ ， ∴纸杯的直径为. 题型九 画圆（尺规作图） 【例9】（25-26九年级上·广东汕头·月考）实践与操作： 已知：．求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． （要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 【答案】见解析 【思路引导】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键． 作圆，即需要先确定其圆心，先作的角平分线，再作线段的垂直平分线相交于点，即点为圆心． 【规范解答】解：如图，即为所求． （1）作出的角平分线， （2）作出线段的垂直平分线交于， （3）以点为圆心，为半径，作圆，如下图所示： 即为所求的圆． 【变式】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【思路引导】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 题型十 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例10】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 【规范解答】（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 【变式】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； (3)如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论； （3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：， 为直径， ， ， ， ， ； （2）证明：作，交的延长线于，如图2， ，，， 为直径， ， ， 四边形为矩形， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ； （3）解：作于，如图3， 由（2）得， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 题型十一 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例11】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，是半圆的直径，，等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，因为是半圆的直径，所以，由，根据圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了直径所对圆周角是直角这一定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据直径所对圆周角是直角，根据三线合一即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，即，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴； （2）解：∵为等腰三角形， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴的度数是度数的一半， 即． 题型十二 90度的圆周角所对的弦是直径 【例12】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． (1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． (2)请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图——复杂作图，90度圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，，那么，根据同弧所对的圆周角相等，可知，从而证明即可； （2）过点作交于点E，连接即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ∵分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O， ∵， ∴， 连接，如图所示： ， ∴， 是直径． （2）解：如图，线段即为所求． 【变式】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 【答案】(1)；证明见解析 (2)当弧弧时，．证明见解析 【思路引导】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键． （1）由圆周角定理知：，在中，，证得，已知，可得，所以，即； （2）当弧弧时，，可得，进而可得，因此当弧弧时，． 【规范解答】（1）； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ． （2）当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 题型十三 已知圆内接四边形求角度 【例13】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点C为圆上的点，连接，，的平分线交于点D，连接，． (1)若，，求的长． (2)延长于点E，使得，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）由为的直径，得到，利用勾股定理求出的长，再通过证明是等腰直角三角形，即可求出的长； （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，则有，再由得到，推出，再证明，利用全等三角形的性质即可证明． 【规范解答】（1）解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、圆内接四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，连接，求解，可得，求解，结合，可得答案． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 题型十四 求四边形外接圆的直径 【例14】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【思路引导】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【规范解答】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【考点剖析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式】（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【答案】1.5 【思路引导】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【规范解答】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 题型十五 切线的应用 【例15】（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 【答案】 75 15 【思路引导】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质．此题综合性较强，解题关键是利用的轨迹圆确定出取最大值时的位置． 先分析出点轨迹为以为圆心的长为半径的圆，当与该圆相切时，最大，由此确定的最大值和最小值． 【规范解答】解：∵等腰中，， ∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为． 故答案为，． 【变式】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【规范解答】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 题型十六 证明某直线是圆的切线 【例16】．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理，切线的判定定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理． （1）根据垂径定理得到，根据得到，即可证明是的切线； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得到，设的半径长为x，连接，根据勾股定理得到，求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵点D为中点，是半径， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径长为x，则， ∴， 连接，在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 【变式】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理，掌握切线的判定方法、勾股定理、垂径定理是正确解答的关键． （1）根据，证明直线是的垂直平分线，再由平行线的性质证明即可； （2）由垂径定理得到，再用勾股定理求出，设，则，再用勾股定理列出关于的方程，最后证明即可求解的长． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，，连接并延长交于， ， 直线是的垂直平分线， 直线． ， ． 是⊙的半径， 是⊙的切线； （2）解：连接，交于点，连接，， 是的中点， ， ． 在中，，， ， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 即，解得，即半径为10． ， ， ， ， ， ． 题型十七 切线的性质和判定的综合应用 【例17】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（   ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，弧长，切线的判定和性质等．连接，根据圆周角定理可得，从而得到，可判断①；连接，其中与交于点D，根据题意可得，从而得到，再由圆周角定理可得，可判断②；当与圆O相切时，此时与圆O交于点K，证明与圆O相切，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与半圆O相切，故①正确； 如图，连接，其中与交于点D， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， 即在旋转过程中，的长为定值，故②正确； 如图，当与圆O相切时，此时与圆O交于点K， 此时， ∴， 此时点O到的距离等于， ∵圆O的半径为， ∴与圆O相切，， 此时满足，满足题意， 由①得：， ∴当点K在半圆O内时，的取值范围为，故③错误． 故选：B 【变式】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【规范解答】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 题型十八 应用切线长定理求证 【例18】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，连接交于点D． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，根据三线合一得出，根据是的直径，得出，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，进而得出，证明，得出，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【变式】（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【规范解答】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【考点剖析】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 题型十九 圆的综合问题 【例19】（2025·广西来宾·一模）如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【思路引导】（1）根据题意得，结合垂径定理得和，则，即可证明四边形是矩形． （2）连接，有，得，进一步判定，等量代换为，即，即可证明结论成立； （3）结合题意设，．根据勾股定理得，有．进一步判定，有，求得，再利用勾股定理列方程求得x即可． 【规范解答】（1）证明：∵为的直径， ∴． ∵，分别是，的中点，且，经过圆心， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：连接．如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 又∵为半径， ∴是的切线． （3）解：∵， ∴． 设，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的半径为3． 【考点剖析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定、等腰三角形的性质、切线的判定、解直角三角形、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形． 【变式】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． (1)求证：． (2)若，，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先利用角平分线的定义得到，加上，所以 ，然后根据平行线的判定方法得到结论； （2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，接着根据三角形中位线性质得到，所以，然后证明，则利用相似三角形的性质和比例的性质可求出的长． 【规范解答】（1）解：因为平分， 所以， 所以，即， 因为AB是的直径，所以， 所以． （2）因为AB是的直径， 所以， 由勾股定理得， 由（1）可知， 所以， 因为，分别是，的中点， 所以， 可得． 由（1），可得， 则， 所以． 【考点剖析】本题考查平行线的判定、勾股定理、垂径定理、三角形中位线性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关定理是解题关键． 题型二十 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【例20】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，I不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【答案】A 【思路引导】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角；根据作图方法以及切线的判定，判断两个作图方法，即可求解． 【规范解答】解：对于方案I，如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故I正确； 对于方案II， 根据作图可得，则是等边三角形， 而不一定成立，故不一定成立， ∴不一定是的切线，故方案II，不可行 故选：A． 【变式】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图①，点在上，作弦，使； (2)如图②，点在内，过点作弦，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图①，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． 【规范解答】（1）解：如图①，和为所作； （2）解：如图②，和为所作． 由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 题型二十一 三角形的内切圆的综合问题 【例21】（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【规范解答】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 【变式】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点O，M是的中点，交于点G． (1)求证：； (2)设，的角平分线交于点I，，． ①分别求点G和点I到的距离； ②作直线分别交，于E，F两点，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)①点G和点I到的距离都为2；② 【思路引导】（1）根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （2）①在中，根据勾股定理得到，求得，如图，过点作，垂足为，设，根据三角形的面积公式得到点到的距离为2；过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； ②如图，作，垂足为，由①可得，然后根据相似三角形的性质与判定得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 是的中点， ， ， ， ∴； （2）解：①在中，，， ∴， ∴， ∵，的角平分线交于点I， ∴点I是的内心， 过点作，垂足为，则即为内切圆的半径，设，根据三角形的内心的性质可知： ， ， 即， ∴点到的距离为2； 过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点G到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 由①可知：， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 即， ∴， ∴， ． 【考点剖析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 题型二十二 弧长及扇形面积的计算 【例22】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 【答案】 【思路引导】本题考查扇形的弧长，垂径定理，勾股定理，弧长公式，掌握相关定理公式是问题求解的关键． 根据已知条件求得和的长，代入得到弧长的近似值，利用弧长公式求得弧长的值，即可完成求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是弦的中点，在上，， ∴延长可得在上，， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 【变式】．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆周角定理，等边三角形的证明及性质，勾股定理，不规则图形的面积的计算，掌握不规则图形的面积的计算是正确解答的前提． （1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得，进而求出答案； （2）过D作，根据圆周角和等腰三角形三线合一的性质，得出为等边三角形，再用扇形的面积减去的面积即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 又∵扇形的面积， ∴阴影部分面积． 题型二十三 正多边形与圆的综合问题 【例23】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过O作的垂线， 则，， ， ． 【变式】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【思路引导】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【规范解答】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 题型二十四 尺规作图—正多边形 【例24】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】（1）先连接，根据切线的性质作图即可； （2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形； （3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意； （4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，即为所求 【考点剖析】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，正六边形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了求正多边形的中心角，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 除以边数即可． 【规范解答】解：正六边形的中心角的度数为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】B 【思路引导】本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答． 【规范解答】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A．58° B．116° C．64° D．60° 【答案】A 【思路引导】本题考查了圆周角定理，作出所对的圆周角，先求出，再根据，得出，即可得出答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【规范解答】解：如图作出所对的圆周角， ∵， ∴ ∵， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先由圆周角定理得到，然后可得为等边三角形，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的半径是4， 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，已知是的两条直径，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角度数是圆周角度数的2倍可求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【规范解答】解：∵是的两条直径，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，是直径，于点，，则的度数为 °． 【答案】23 【思路引导】本题考查圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据可求出，根据余角的性质，求得，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【规范解答】解： 故答案为：23． 7．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，点均在上，若，则的度数为 ． 【答案】/34度 【思路引导】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【规范解答】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理： （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆的半径为 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【规范解答】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，正确的有（   ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及弦与弧的关系．需逐一判断每个命题的正确性． 【规范解答】∵①平面内三个点不一定确定一个圆（三点共线时不能），故错误； ∵②平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（弦为直径时不一定），故错误； ∵③半圆所对的圆周角是直角（圆周角定理），故正确； ∵④圆内接平行四边形对角互补且相等，故为矩形，正确； ∵⑤弦相等则所对的弧不一定相等（未区分优弧和劣弧），故错误； ∴正确的有③和④，共2个． 故选：B 2．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 13．（25-26九年级上·广东江门·期中）下列说法中错误的是（    ） A．如图①，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是 B．如图②，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心 C．如图③，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要 D．如图④，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格是利用圆周角所对的弦是直径 【答案】B 【思路引导】本题考查了切线的性质，垂径定理，正多边形和圆，圆周角定理，根据以上知识点逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：、如图①，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是，该选项说法正确，不合题意； 、如图②，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心，该选项说法错误，符合题意； 、如图③，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要，该选项说法正确，不符合题意； 、如图④，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格是利用圆周角所对的弦是直径，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为 ．（计算结果保留） 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，，圆心在边上的半径为，．若沿方向移动，当与相切时，圆心O移动的最短距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质， 当与相切时，，再根据直角三角形的性质得，然后根据可得答案． 【规范解答】解：如图所示，当与相切时，， 由题意可知，， ∴， ∴， 即圆心O移动的最短距离是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解： 是圆的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活利用平行线的判定与性质是解答本题的关键．连接，利用切线的性质，先证明，即有，再根据，可得，即有． 【规范解答】证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵为的直径， ∴．          ∵， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴．           ∵， ∴．           ∴．         ∴． 9．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度． (1)画出平移后的图形 ； (2)将绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的图形 并写出点 的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段所扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3) 【思路引导】本题考查平移作图，旋转作图，勾股定理和扇形的面积公式，掌握平移的性质，旋转的性质和扇形面积公式是解题关键． （1）根据平移的性质，先描点后连线即可； （2）根据旋转的性质，先描点后连线即可； （3）先用勾股定理求出和的长，扫过的面积可以看作一个以为内径，为外径的的扇环的面积，运用扇形面积公式计算出扇形和扇形的面积，作差即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求．由图可知，坐标为； （3）∵，， ∴，， ∴线段 所扫过的面积为扇形的面积减去扇形的面积， ∴． 10．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． (1)设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆． ①若，则该正n边形的“接近度”等于______； ②若“接近度”等于18，则该正n边形的边数n的值等于______； ③当“接近度”等于______时，正n边形就成了圆． (2)设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆．你认为这种说法是否合理？若不合理，请写出正n边形“接近度”的一个合理定义． 【答案】(1)①；②；③ (2)不合理．合理定义如越小，正n边形越接近于圆． 【思路引导】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解直角三角形，解此题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解； （2）由于正n边形的半径R，边心距r都与此正n边形的边长有关，故将正n边形的“接近度”定义为，不合理，举反例说明；然后给出正n边形“接近度”的一个合理定义，结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可． 【规范解答】（1）解：①当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：60； ②当“接近度”等于时，则， 解得或（舍去）， 则， 解得， 故答案为：20； ③∵越小，该正n边形就越接近于圆， ∴当时，该正n边形就成了圆， 此时， ∴； 故答案为：0； （2）解：不合理． 例如，对两个相似而不全等的正n边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但却不相等． 合理定义方法不唯一，如定义为越小，正n边形越接近于圆． 如图，当时，为正的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，为正六边形的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可． 【规范解答】解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点， ， ， 由轴对称的性质可知，， 在中，， 是半径，， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米 【答案】A 【思路引导】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【规范解答】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为2.4米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 【考点剖析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，熟练地利用数形结合的方法解题关键．设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 【规范解答】解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，．若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查扇形面积公式，圆周角的性质，三角形中位线及等腰三角形的性质，熟练掌握扇形面积公式，圆周角的性质，三角形中位线及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后可得，即阴影部分的面积＝，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积＝， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是半圆O的直径，C是圆上的点，作交于点E． (1)求证：D为的中点． (2)若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设，则，在中用勾股定理建立方程并求解，最后用扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴． ∴D为的中点； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴，， ， ∴，， ∴． 【考点剖析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理及扇形面积，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 8．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【思路引导】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的直径为6． 9．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)当，时，①求线段的长；②求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【答案】(1)见解析 (2)①9；②45 (3)面积是定值， 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理． （1）根据平分得到，根据得到，进而证明即可； （2）①根据得到，即，进而计算即可； ②证明，得到，则； （3）作交于点M，作交于点N，连结，，根据平分得到，即，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理得到，根据，，得到，，证明，，进而得到，即，即可证明四边形是平行四边形，得到，即可证明是的中位线，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：①∵ ∴ ∴，即 ∴ ②∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴ （3）解：面积为定值．证明如下： 理由：作交于点M，作交于点N，连结， ∵平分 ∴ ∴ ∴ 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ ∴的面积为定值，． 10．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，点C是上除点A，点B外的一点． (1)如图1，作出弧的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，点D是弧的中点，于点E，求证：是的切线； (3)如图3，点D是弧的中点，点F在上，与相交于点G，弧所对的圆心角为，，，． ①求出的长； ②写出的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①② 【思路引导】（1）连接，作的垂直平分线即可； （2）连接，交于点，证四边形是矩形，即可求证； （3）①连接，作，由题意得：，，根据，，推出，，即可求解； ②根据，推出，得，求出，即可求解； 【规范解答】（1）解：如图所示：点D即为所求： （2）证明：连接，交于点，如图所示： ∵是的直径， ∴； ∵点D是弧的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴是的切线； （3）解：①连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∵， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【考点剖析】本题考查了圆与三角函数的综合知识，涉及了垂径定理、圆周角定理，圆的切线证明等知识点，熟练掌握相关结论是解题关键； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $