精品解析：重庆市凤鸣山中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆市凤鸣山中学2025-2026学年度上期 高二数学第一次月考试题 一、单选题 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 4. 点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 记直线：与圆：相交所得弦为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（ ） A. ①正确②正确； B. ①正确②错误； C. ①错误②正确； D. ①错误②错误. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 不经过原点的直线都可以用方程表示 10. 已知直线：，圆，则下列说法错误的是（ ） A. 若或，则直线l与圆C相切 B. 若，则圆C关于直线l对称 C. 若圆与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则 D. 若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则 11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 三、填空题 12. 已知点，动点P在直线上，则的最小值为______. 13. 直线关于直线对称的直线方程是______. 14. 已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为__________. 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点. 16. 在正四棱柱中，是底面的中心，底面边长为2，正四棱柱的体积为16 （1）求证：直线平行于平面 （2）求与平面所成的角的正弦值. 17. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，， . （1）证明：. （2）已知平面平面，点满足，求二面角的余弦值. 19. 已知圆和点． （1）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值． （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学2025-2026学年度上期 高二数学第一次月考试题 一、单选题 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 3. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值． 【详解】直线即， 由已知直线与圆相切可得， 圆的圆心到的距离等于半径1， 即，解得， 故选：B． 4. 点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 5. 记直线：与圆：相交所得弦为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线l恒过定点，当时最小，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由直线，得， 有，解得，即直线l恒过定点. 由圆，得，得， 当，垂足为时，最小， 此时， 所以. 故选：D 6. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆的标准方程为，半径， 当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意， 故有，解得，即的最大值为， 故选：D. 8. 若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（ ） A. ①正确②正确； B. ①正确②错误； C. ①错误②正确； D. ①错误②错误. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题 【详解】将已知方程变形为， 则为直线与单位圆的交点. 考虑圆心到直线的距离 ，其中. 对于①，若，则，于是，即， 直线与圆必有两个不同交点， 为直线与单位圆的交点， 故必存在两个“伴随角”，即①正确； 对于②若，则，于是， 即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误； 综上，①正确②错误， 故选:B. 【点睛】关键点点睛: 把转化为直线与单位圆的交点是解题的关键点. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 不经过原点的直线都可以用方程表示 【答案】BC 【解析】 【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围；D注意不过原点且垂直于坐标轴的直线； 【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，故A错； B：直线与直线互相垂直的充要条件为， 即或， 故已知条件间关系为充分不必要条件，故B对； C：由，， 由图知斜率的取值范围是，故C对； D：对于不过原点且垂直坐标轴的直线，不能用表示，故D错. 故选：BC 10. 已知直线：，圆，则下列说法错误的是（ ） A. 若或，则直线l与圆C相切 B. 若，则圆C关于直线l对称 C. 若圆与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则 D. 若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断A，根据直线经过圆心即可判断B，根据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断C，根据圆心到直线l的距离，即可得到不等式组，解出即可，即可判断D. 【详解】圆， 对于A：直线与圆相切，则，解得，A错误； 对于B：圆C关于直线l对称圆心在直线l上，解得，故B正确； 对于C：圆C与圆E的方程作差得，即， 则，解得，经检验此时圆， 满足，则，故C错误； 对于D：圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心C到直线l的距离大于1且小于3， 即，即， 又，所以，D正确； 故选：AC. 11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定圆心坐标即可判断，对于C，设直线，分别计算直线过点时，直线与圆相切时，直线与圆相切时的取值，即可判断，对于D，连接，求得的面积为，通过向量夹角公式求得，结合图形对称性即可求解. 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上，,且中点坐标为 设坐标为，且， 所以， 解得，所以圆C的方程为，， 故选项A正确，选项B错误. 设直线，当直线过点时，，此时也过点， 当直线与圆相切时，，解得， 当直线与圆相切时，， 解得或， 因为直线与月牙形只有两个交点， 结合图象可知的取值范围为，故选项C正确. 连接， 直线方程为：， 点到的距离为， 又 所以的面积为， 设，，， 所以， 所以， 由对称性可知月牙形的面积约为： ，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知点，动点P在直线上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 13. 直线关于直线对称的直线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得两直线的交点坐标，再求得直线上一点，关于直线的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助切线长定理可得与全等，则可得，结合切线性质计算可得时四边形的面积最小，求出过、、、四点的圆的方程后与方程作差即可得直线AB的方程. 【详解】，则的圆心为，半径， 由，分别为的切线，则与全等， 故四边形的面积， 又， 又，故， 故，此时点于点，设， 有，解得，即， 由，故、、、四点共圆且为该圆直径， 则该圆圆心为，半径为，即该圆方程为， 即，又， 两圆作差得：，即， 故直线AB的方程为. 故答案为：. 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； 【小问3详解】 由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 16. 在正四棱柱中，是底面的中心，底面边长为2，正四棱柱的体积为16 （1）求证：直线平行于平面 （2）求与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 连结AC，BD，设交点为O，连结， ∵，且， 故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，故直线平行于平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）连结AC，BD，设交点为O，连结，然后证明为平行四边形，再由线面平行判定定理可证； （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题易知，两两互相垂直， 故分别以为轴建立空间直角坐标系，如图： 正四棱柱的体积为16，则 ， 故 ， 易知为平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 17. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得； （2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得. 【小问1详解】 由，得，即， 由题意圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意. 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即， 由题意，得，即， 两边分别平方得，得， 故切线方程为，即， 综上过点的圆的切线方程为，. 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，， . （1）证明：. （2）已知平面平面，点满足，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取为的中点，连接. 因为，所以. 在中，， 则有，所以. 因为，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）为的中点，余弦定理和勾股定理证明，由等腰三角形证明，可证平面，所以； （2）为原点建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面平面，且两平面相交于， 平面，，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，，则， 则， 由，即，则， 所以. 设平面的法向量为，则 令，则，得. 易知平面的一个法向量为， 所以. 因为二面角的夹角为锐角，所以二面角的余弦值为. 19. 已知圆和点． （1）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值． （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明： 假设过点的一条直线倾斜角为，由题目条件得另一条直线的倾斜角也为， 但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾， 故过的直线不可能垂直于轴， 由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数， 设直线与圆相交于，两点， 直线与圆相交于，两点， 点满足， 化简得，由韦达定理得， 点满足， 化简得，由韦达定理得， 则直线AB的斜率为， 易得，，故，故直线AB的斜率为定值． （2）存在，当，定值为；当，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线AB的斜率进行化简，求得定值为； （2）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用点的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设，因，所以， 化简得，， 所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为， 因，所以圆内含于圆，故点一定在圆外， 则， 又P在圆上满足，即， 设，则，设，即， 把代入化简得， 继续代入得， 要使上式对任意的，均成立，则， 解得或， 所以当的坐标为时，定值； 当的坐标为时，定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $