精品解析： 广西壮族自治区 南宁市三美学校2025-2026学年九年级上学期数学10月月考试题

2025年秋季学期九年级综合练习一质量检测 数学学科 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握轴对称图形（沿一条直线对折后两部分完全重合）和中心对称图形（绕某点旋转后与原图形重合）的定义，并据此对每个选项的图形进行判断． 先明确轴对称图形和中心对称图形的定义；再依次判断每个选项的图形是否同时满足这两个定义；最后选出符合条件的选项． 【详解】解：A、图形沿一条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，但绕某点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、图形既不能沿一条直线对折后两部分完全重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、图形沿一条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，但绕某点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、图形既沿一条直线对折后两部分完全重合，又能绕某点旋转后与原图形重合，既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，是的直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． 故选：D 4. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆． D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选D． 【点睛】圆的认识． 6. 关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出△＝(﹣2)2﹣4×1×0＝4＞0，然后根据判别式△＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况. 【详解】解：∵△＝(﹣2)2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 8. 某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x米，根据题意可列方程为（ ） A. x（x﹣12）=200 B. 2x+2（x﹣12）=200 C. x（x+12）=200 D. 2x+2（x+12）=200 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵宽为x，长为x+12，∴x（x+12）=200．故选C． 9. 已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小， ∴a-1>0， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的性质：当a>0时，开口向上，对称轴是y轴，对称轴左小右大；当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键． 10. 根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解． 【详解】解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是 故选：C 11. 已知抛物线，当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是解题的关键．先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：当时，即， 解得：， ∵， ∴图象开口向上， ∵， ∴， 故选：A． 12. 如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 由点的旋转周期为4知点旋转次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得． 【详解】解：，将绕原点顺时针旋转，每次旋转， 每4次一个循环，第次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次， 由题意，第1次旋转的位置如图所示：过A作轴于C， ∵是等边三角形，， ∴，则， ∴， 第次旋转结束时，顶点的坐标为． 故选：D.． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握该特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征来求解即可． 【详解】解： 在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数， 点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 故答案为：． 14. 抛物线 是二次函数，则m=_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，形如“(a、b、c是常数，且)”的函数就是二次函数，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值． 【详解】解：∵抛物线 是二次函数， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 15. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 16. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）将向下平移5个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． ； （3）22 【解析】 【分析】本题主要考查作图旋转变换与平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义与性质及勾股定理． （1）将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接即可得； （2）将点、绕点逆时针旋转得到对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）利用四边形的面积，计算得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，可知，， ∴四边形的面积为． 19. 2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） 解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； 【小问2详解】 略 20. 如图，为的直径，且于点．连接． （1）求证：； （2）若，求弦的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理． （1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）先根据垂径定理得到，再计算出，，则利用勾股定理可计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 21. 阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程x=0和，可得原方程的解． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）等号右边为0，将左边分解因式，即可得或，从而求出方程的解； （2）将两边平方，化为整式方程即可求解，再检验可得原方程的解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，，； 【小问2详解】 ， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴． 【点睛】本题考查解高次方程和无理方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解无理方程必须检验． 22. 如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为和，抛物线经过点B，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M点是所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交于点N．设点M的横坐标为t，的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l的最大值． 【答案】（1） （2） 解：在中，，，  ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴C、D两点的坐标分别是、， 当时，， ∴点C在所求抛物线上； （3）； 【解析】 【分析】（1）设二次函数顶点式，把B点坐标代入可算出二次函数解析式； （2）利用菱形的性质，可以得到点C的坐标，然后再进行判断即可； （3）利用待定系数求出的解析式，设出M、N的坐标，纵坐标作差，就可以得到l与t的函数关系式，它们的关系是二次函数，配方可得最大值，从而求解． 【小问1详解】 解：设所求抛物线对应的函数关系式为：，把点代入得： ∴， 解得：， ∴所求函数关系式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线对应的函数关系式为， 则， 解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t， 则，， ∴ ， ∵， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级综合练习一质量检测 数学学科 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 6. 关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x米，根据题意可列方程为（ ） A. x（x﹣12）=200 B. 2x+2（x﹣12）=200 C. x（x+12）=200 D. 2x+2（x+12）=200 9. 已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） x A. B. C. D. 11. 已知抛物线，当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 12. 如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 抛物线 是二次函数，则m=_______． 15. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 16. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）将向下平移5个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出； （3）求四边形的面积． 19. 2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 20. 如图，为的直径，且于点．连接． （1）求证：； （2）若，求弦的长． 21. 阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程x=0和，可得原方程的解． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）解方程： （2）解方程： 22. 如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为和，抛物线经过点B，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M点是所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交于点N．设点M的横坐标为t，的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l的最大值． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $