4.2.1等差数列的概念与通项公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第1课时　等差数列的概念与通项公式 1.B　[解析] 由an+1-an=2,得数列{an}是等差数列,公差d=2,由a3=a1+2d,即6=a1+4,解得a1=2,故a8=2+(8-1)×2=2+14=16.故选B. 2.A　[解析] 在等差数列{an}中,a10-a6=4d=6-5=1,所以d=.故选A. 3.C　[解析] 因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B,又A+B+C=π,所以B=,所以2A+B+2C=5B=,故选C. 4.D　[解析] 由an+1-an=(n+1)-1-n+1=1知,数列{an}为等差数列,公差为1,故A错误;因为a1=0,所以数列{an}的图象上有的点在x轴上,故B错误;由通项公式是an=n-1知,数列{an}是无穷数列,故C错误;由通项公式是an=n-1知,该数列的图象是直线y=x-1上满足x∈N*的点集,故D正确.故选D. 5.A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1+5d=0,所以a6=0.故选A. 6.C　[解析] 设{an}的公差为d,d≠0,则an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).若{an}为递减数列,则d<0,结合一次函数的性质,不论a1为何值,存在正整数N0,当n>N0时,an<0,充分性成立;若存在正整数N0,当n>N0时,an<0,且d≠0,则d<0,故{an}为递减数列,必要性成立.所以“{an}为递减数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an<0”的充要条件.故选C. 7.BC　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a2+a3=21,∴a2-d+a2+a2+d=3a2=21,∴a2=7,故B正确;∵a1=3,a2=7,∴d=a2-a1=4,∴数列{an}为递增数列,故A错误,C正确;a4=a1+3d=15,∴a3+a4+a5=3a4=45,故D错误.故选BC. 8 D　[解析] ∵等差数列{an}的首项是-24,∴an=-24+(n-1)d.若从第10项开始大于0,则解得<d≤3.故选D. 9.100　[解析] 记等差数列-5,-9,-13,…为{an},则a1=-5,公差d=-9-(-5)=-4,∴an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1,令-401=-4n-1,得n=100,∴-401是这个等差数列的第100项. 10.C　[解析] ∵an+1=an+,∴2nan+1=2n-1an+1,即2nan+1-2n-1an=1,则2n+1an+1-2nan=2,∴数列{2nan}是以2a1=2为首项,2为公差的等差数列,∴2nan=2+(n-1)×2=2n,∴an=.故选C. 11.ACD　[解析] 对于A,由题意得a4=2,a4=a2+2,故a2=0,故A正确;对于B,因为a1=1,a2=0,所以a1>a2,故B错误;对于C,a2(n+1)-1-a2n-1=a2n+1-a2n-1=2(n∈N*),故数列{a2n-1}是等差数列,故C正确;对于D,(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2(n∈N*),故数列{an+an+1}是等差数列,故D正确.故选ACD. 12.6n+1　[解析] 易知数列{2n-1}是以1为首项,2为公差的等差数列,即1,3,5,7,9,…,数列{3n+1}是以4为首项,3为公差的等差数列,即4,7,10,13,…,所以{an}是首项为7,公差为6的等差数列,可得an=7+6(n-1)=6n+1. 13.　[解析] 因为a1=,an+1=(n∈N*),所以an≠0,可得==4+,即-=4,又=3,故是以3为首项,4为公差的等差数列,则=3+4(n-1)=4n-1,故an=,所以a20==. 14.解:(1)数列{an}的前n项和Sn=2n2-30n, 则当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-30n)-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32,a1=-28满足上式, 所以a2=4×2-32=-24. (2)证明:由(1)知an=4n-32,n∈N*, 当n≥2时,an-1=4(n-1)-32, 因此an-an-1=(4n-32)-[4(n-1)-32]=4(n≥2), 所以数列{an}是等差数列. 15.解:(1)设已知的等差数列为{bn},易知等差数列{bn}的公差d=b2-b1=3,则等差数列{an}的公差为=,又a1=-2,故an=-2+(n-1)×=n-,即{an}的通项公式为an=n-. (2)令an=16,得n-=16,解得n=13, 故16是新数列{an}中的项,且为第13项. 16.(-5,-4)　[解析] 根据题意,bn==+1,∵对任意的n∈N*,都有bn≥b5成立,∴+1≥+1,即≥恒成立.∵数列{an}是首项为a,公差为1的等差数列,∴an=a+n-1,且数列{an}是递增数列,∴a5<0,a6>0,即解得-5<a<-4,故实数a的取值范围是(-5,-4). 17.12　140　[解析] 设等差数列{dk}的公差为d,依题意得a1,a2,a3成等差数列,公差d1==2.由a3,a4,a5成公差为d2的等差数列,得a5=a3+2d2=4+2(2+d)=8+2d.由a5,a6,a7成公差为d3的等差数列,得a7=a5+2d3=8+2d+2(2+2d)=12+6d,又a7=24,故12+6d=24,解得d=2,所以a5=12.d4=d1+3d=8,由a7,a8,a9成公差为d4的等差数列,得a9=a7+2d4=40,所以{an}的前9项和为a1++a3++a5++a7++a9=a1+2(a3+a5+a7)+a9=×0+2(4+12+24)+×40=140. 18.解:(1)由a1=1,an+1=可得a2=a1+1=2,a3=a2+2=4. (2)由已知可得a2k=a2k-1+1,a2k+1=a2k+2,a2k+2=a2k+1+1,k∈N*,则a2k+1=a2k-1+3,a2k+2=a2k+3,则数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列,数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,即an+2=an+3, 当n为奇数时,an=1+3=, 当n为偶数时,an=2+3=, 故an= 19.解:(1)证明:因为bn=,所以bn+1=, 所以bn+1-bn=-,又an+1=3-, 所以bn+1-bn=-=-=-==(常数), 所以数列{bn}是公差为的等差数列. (2)由题知b1==,所以bn=+(n-1)=, 所以=,所以an-1=,即an=+1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　等差数列的概念与通项公式 1.[2025·海南海口高二期中] 已知数列{an}满足an+1-an=2,且a3=6,则a8= (　 ) A.12 B.16 C.18 D.20 2.在等差数列{an}中,a6=5,a10=6,则公差 d 等于 (　 ) A. B. C.2 D.- 3.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则2A+B+2C的值为 (　 ) A. B. C. D.2π 4.[2025·江苏盐城高二期中] 已知数列{an}的通项公式是an=n-1,则下列结论中正确的是 (　 ) A.该数列是公差为-1的等差数列 B.该数列的图象只能在第一象限 C.该数列是有穷数列 D.该数列的图象是直线y=x-1上满足x∈N*的点集 5.[2024·北京理工大学附中高二月考] 已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 (　 ) A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 6.设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递减数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an<0”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(多选题)在等差数列{an}中,a1=3,a1+a2+a3=21,则 (　 ) A.公差为-4 B.a2=7 C.数列{an}为递增数列 D.a3+a4+a5=84 8. 若等差数列{an}的首项是-24,且从第10项开始大于0,则公差d的取值范围是 (　 ) A. B.(-∞,3) C. D.   9. -401是等差数列-5,-9,-13,…的第　　　　项.  10.[2025·浙江杭州高二期末] 已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的通项公式为an= (　 ) A.2n B.n(n+1) C. D. 11.(多选题)对于数列{an},若a1=1,a4=2,an+2=an+2(n∈N*),则下列说法正确的是 (　 ) A.a2=0 B.数列{an}是递增数列 C.数列{a2n-1}是等差数列 D.数列{an+an+1}是等差数列 12.[2025·安徽合肥高二期末] 将数列{2n-1}与{3n+1}的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列{an},则an=　　　　.  13.[2025·福建宁德高二期末] 已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=(n∈N*),则a20的值为　　　　.  14.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n. (1)求a1,a2; (2)证明{an}是等差数列. 15.已知等差数列-2,1,4,7,10,…,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an}. (1)求新数列{an}的通项公式. (2)16是新数列{an}中的项吗?若是,求出是第几项;若不是,请说明理由. 16.已知数列{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=.若对任意的n∈N*,都有bn≥b5成立,则实数a的取值范围是　　　　.  17.大衍数列来源于《乾坤谱》,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列{an}中,对于k=1,2,3,…,数列a2k-1,a2k,a2k+1是公差为dk的等差数列,且{dk}也是等差数列.已知a1=0,a3=4,a7=24,则a5=　　　　;{an}的前9项和等于　　　　.  18.已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)求a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式. 19.已知数列{an}满足a1=3,an+1=3-(n∈N*),设数列bn=. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $