4.2.1等差数列的概念及通项公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2 等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （25-26高二同步练习） 姓名： 班级： 学号： 基础过关练 一、单项选择题 1．在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝an＋3，若am＝2026，则m＝ （　　） A．673　　　B．674　　　C．675　　　D．676 2．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 （　　） A．an＝2（n＋1）2 B．an＝4（n＋1） C．an＝8n2 D．an＝4n（n＋1） 3．现有下列命题： ①若an＝an－1＋π（n≥2），则数列{an}是等差数列； ②若an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列； ③若an＝bn＋c（b，c是常数），则数列{an}是等差数列． 其中真命题有 （　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是 （　　） A．（3，＋∞） B．（－∞，） C．[3，） D．（3，] 5．已知等差数列{an}中，a3＝5，a5＝－1，则满足不等式an－1anan＋1≥0的n的值为 （　　） A．2，3，4 B．3，5 C．2，3，5 D．2，4，5 二、多项选择题 6．在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则 （　　） A．a4＝ B．a3＝1 C．d＝ D．d＝ 7．在7和21之间插入n（n∈N*）个数，使这（n＋2）个数成等差数列，则该等差数列的公差d可以是 （　　） A． B．7 C．5 D．3 三、填空题 8．写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝________． ①{an}是递增的等差数列； ②a1－a3＋2a4＝4. 9．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________． 四、解答题 10．已知等差数列－2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使原来的数列成为一个新的等差数列，记新插入的数形成的数列为{an}． （1）求数列{an}的通项公式； （2）16是数列{an}中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 11．在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a＝a2·a9. （1）求数列{an}的首项和公差； （2）设bn＝，若bm＋bm＋1＝bm＋3，求正整数m的值． 能力提升练 12．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到2025共2025个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有 （　　） A.132项 B．133项 C．134项 D．135项 13．在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有________个． 14．已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列． （1）若a20＝40，求d； （2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； （3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，……，以此类推，把已知数列推广为无穷数列． 4.2 等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （25-26高二同步练习） 姓名： 班级： 姓名： 基础过关练 一、单项选择题 1．在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝an＋3，若am＝2026，则m＝ （　　） A．673　　　B．674　　　C．675　　　D．676 解析：由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3，即{an}是以4为首项，3为公差的等差数列，故an＝4＋3（n－1）＝3n＋1.由am＝3m＋1＝2026，解得m＝675.故选C. 答案：C　 2．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 （　　） A．an＝2（n＋1）2 B．an＝4（n＋1） C．an＝8n2 D．an＝4n（n＋1） 解析：因为＝＋，所以－＝，所以{}是首项为＝＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋（n－1）＝（n＋1），所以an＝2（n＋1）2.故选A. 答案：A　 3．现有下列命题： ①若an＝an－1＋π（n≥2），则数列{an}是等差数列； ②若an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列； ③若an＝bn＋c（b，c是常数），则数列{an}是等差数列． 其中真命题有 （　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：由an＝an－1＋π（n≥2）得an－an－1＝π（n≥2），满足等差数列的定义，故①正确；an＋1－an＝n，n不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；an＝bn＋c，an－1＝b（n－1）＋c＝bn＋c－b（n≥2），an－an－1＝b（n≥2），因为b是常数，所以满足等差数列的定义，故③正确．故选C. 答案：C　 4．若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是 （　　） A．（3，＋∞） B．（－∞，） C．[3，） D．（3，] 解析：由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数，∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得 3<d≤.故选D. 答案：D　 5．已知等差数列{an}中，a3＝5，a5＝－1，则满足不等式an－1anan＋1≥0的n的值为 （　　） A．2，3，4 B．3，5 C．2，3，5 D．2，4，5 解析：因为等差数列{an}中，a3＝5，a5＝－1，所以公差d＝＝－3，首项a1＝a3－2d＝11，则an＝a1＋（n－1）d＝14－3n，显然当n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，所以a1a2a3>0，a2a3a4>0，a3a4a5<0，a4a5a6>0，a5a6a7<0，以后相邻三项的积都小于0，结合不等式an－1anan＋1≥0，得n＝2，3，5.故选C. 答案：C　 二、多项选择题 6．在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则 （　　） A．a4＝ B．a3＝1 C．d＝ D．d＝ 解析：由题意得 解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1.故选ABD. 答案：ABD　 7．在7和21之间插入n（n∈N*）个数，使这（n＋2）个数成等差数列，则该等差数列的公差d可以是 （　　） A． B．7 C．5 D．3 解析：依题意得，d＝＝，n∈N*.当n＝1时，d＝7，故B符合题意；当n＝3时，d＝，故A符合题意；显然不存在正整数n，使得d＝5或d＝3，故C、D不符合题意．故选AB. 答案：AB 三、填空题 8．写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝________． ①{an}是递增的等差数列； ②a1－a3＋2a4＝4. 解析：设等差数列{an}的公差为d.由①可知d>0，取d＝1.由a1－a3＋2a4＝4，得a1－a1－2d＋2a1＋6d＝4，所以a1＋2d＝2，则a1＝0，所以数列{an}的一个通项公式为an＝0＋1×（n－1）＝n－1. 答案：n－1（答案不唯一） 9．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________． 解析：因为a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，所以则2（a＋c）＝（＋）2，即a＋c＝2，所以（－）2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形． 答案：等边三角形 四、解答题 10．已知等差数列－2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使原来的数列成为一个新的等差数列，记新插入的数形成的数列为{an}． （1）求数列{an}的通项公式； （2）16是数列{an}中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． [解]　（1）设已知的等差数列为{bn}，则b1＝－2，b2＝1， 所以{bn}的公差d＝b2－b1＝3，故bn＝b1＋（n－1）·d＝3n－5. 由题意得，2an＝bn＋bn＋1＝3n－5＋3（n＋1）－5＝6n－7， 即an＝3n－. （2）令an＝16，即3n－＝16， 得n＝，因为∉N*， 故16不是新数列{an}中的项． 11．在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a＝a2·a9. （1）求数列{an}的首项和公差； （2）设bn＝，若bm＋bm＋1＝bm＋3，求正整数m的值． [解]　（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得 ⇒ 或即数列{an}的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时，bn＝＝1， 又bm＋bm＋1＝bm＋3，而1＋1＝2>1，不满足题意； 当an＝3n－2时，bn＝＝， 又bm＋bm＋1＝bm＋3， 所以＋＝， 整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数， 所以m＝6. 能力提升练 12．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到2025共2025个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有 （　　） A.132项 B．133项 C．134项 D．135项 解析：被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15（n－1）＝15n－7，令an＝15n－7≤2025，解得n≤135，所以该数列的项数共有135项．故选D. 答案：D　 13．在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有________个． 解析：先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成等差数列的共有45个． 答案：45 14．已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列． （1）若a20＝40，求d； （2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； （3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，……，以此类推，把已知数列推广为无穷数列． [解]　（1）依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. （2）a30＝a20＋10d2＝10（1＋d＋d2）（d≠0）， 故a30＝10[（d＋）2＋]， 当d∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时，a30∈[，＋∞）. （3）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10（n＋1）是公差为dn（d≠0）的等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $