4.1数列的概念与通项公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第1课时　数列的概念与通项公式 1.[2025·浙江绍兴高二期末] 已知数列2,,2,,2,…,,…,则是这个数列的 (　 ) A.第17项 B.第18项 C.第19项 D.第20项 2.已知an=1++++…+,则a3= (　 ) A. B.1++ C.1+++ D.1+++++ 3.数列1,2,5,…的一个通项公式可能为 (　 ) A.an=n B.an=2n-1 C.an=2n-1 D.an=2n-n 4.下列通项公式对应的数列{an}是递增数列的是 (　 ) A.an=1-n B.an= C.an=2n2-5n+1 D.an= 5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, …,则该数列的第18项为 (　 ) A.200 B.162 C.144 D.128 6.[2025·山西大学附中高二月考] 函数f(x)的定义域为[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),则“函数f(x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.[2025·河南信阳高二期末] 已知数列{an}为递增数列,若an=qn,则q的取值范围为 (　 ) A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 8.观察数列21,ln 2,cos 3,24,ln 5,cos 6,27,ln 8,cos 9,…,则该数列的第20项为　　　　.  9.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N*),则7是该数列中的第　　　　项.  10.[2025·安徽阜阳高二期中] 若数列{an}的前四项依次为2,12,112,1112,则{an}的一个通项公式为 (　 ) A.an=10n-1+2 B.an= C.an= D.an=(n-1)(45n-80)+2 11.(多选题)已知数列{an}的前5项依次为2,0,2,0,2,则下列可以作为数列{an}的通项公式的有 (　 ) A.an= B.an=(-1)n+1 C.an=2 D.an=4 12.(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　 ) A.1,,,,…,,… B.-1,-,-,-,…,-,… C.sin,sin,sin,…,sin,… D.1,,,…,,… 13.已知an=λn-λ,若“对于任意n∈N*,{an}恒为递减数列”是真命题,则整数λ的值可以是　　　　　　.(写出一个符合要求的答案即可)  14.观察下面数列的变化规律,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式. (1)(　　),7,12,(　　),22,27,…; (2)-1,,(　　),,-,,(　　),…; (3)1,,(　　),2,,(　　),,…; (4),,(　　),,…. 15.根据下列数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象. (1)an=; (2)an=(-1)n; (3)an=3-n. 16.记不超过x的最大整数为[x],如[-0.5]=-1,[π]=3.已知数列{an}的通项公式为an=,则使an≥0的正整数n的最大值为 (　 ) A.5 B.6 C.8 D.16 17.(多选题)[2025·盐城高二检测] 若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,则 (　 ) A.该数列仅有6项为正数 B.该数列有无限多项为负数 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 18.[2025·绵阳南山中学高二月考] 若数列{an}的通项公式为an=(104-4n)×1.05n(n∈N*),则数列{an}中的最大项是第　　　　项.  19.已知数列{an}的通项公式是an=(n+1),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　数列的概念与通项公式 1.D　[解析] 令=,得n=20,故是这个数列的第20项.故选D. 2.D　[解析] 由题意知,a3=1+++…+=1+++++.故选D. 3.D　[解析] 对于A,若an=n,则a3=3,不符合题意;对于B,若an=2n-1,则a2=3,不符合题意;对于C,若an=2n-1,则a2=3,不符合题意;对于D,若an=2n-n,则a1=1,a2=2,a3=5,符合题意.故选D. 4.C　[解析] 易知A,B选项对应的数列{an}是递减数列;对于C,an+1-an=4n-3>0,故数列{an}是递增数列;对于D,因为a2>a3,所以数列{an}不是递增数列.故选C. 5.B　[解析] 该数列的偶数项分别为2,8,18,32,50,…,即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25,…,可得该数列偶数项的通项公式为a2n=2n2,故该数列的第18项为a18=a2×9=2×92=2×81=162.故选B. 6.A　[解析] 函数f(x)的定义域为[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),n∈N*.若函数f(x)为减函数,因为N*⊆[1,+∞),所以y=f(n)在n∈N*时是递减的,即数列{an}为递减数列,故“函数f(x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的充分条件;反之,若数列{an}为递减数列,则y=f(n)在n∈N*时是递减的,但是y=f(x)在[1,+∞)上未必单调递减,如函数f(x)=-[x],x≥1([x]表示不超过x的最大整数)在[1,2)上的函数值都是-1,显然函数f(x)不是减函数,an=-[n],{an}是递减数列,故“函数f(x)为减函数”不是“数列{an}为递减数列”的必要条件.故选A. 7.C　[解析] 因为数列{an}为递增数列,所以an+1>an恒成立,即qn+1>qn恒成立.当q≤0或q=1时,显然不满足qn+1>qn恒成立,所以q>0且q≠1.要使不等式qn+1>qn恒成立,则指数函数y=qx在R上单调递增,故q的取值范围为(1,+∞),故选C. 8.ln 20　[解析] 观察数列可知,数列中的项的指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列的,且指数、对数、余弦值以3为循环,因为20=6×3+2,所以该数列的第20项为ln 20. 9.25　[解析] 根据题意,得=7,解得n=25,所以7是该数列中的第25项. 10.B　[解析] 由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112=10 000-8888,可得{an}的一个通项公式为an=10n-×(10n-1)=.故选B. 11.AC　[解析] 对于A,a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,a5=2,符合题意;对于B,a1=0,a2=2,a3=0,a4=2,a5=0,不符合题意;对于C,a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,a5=2,符合题意;对于D,a1=2,a2=2,a3=4,a4=2,a5=2,不符合题意.故选AC. 12.BD　[解析] 对于A,1,,,,…,,…为递减数列,故A错误;对于B,-1,-,-,-,…,-,…既是无穷数列又是递增数列,故B正确;对于C,sin,sin,sin,…,sin,…中,sin>sin,故不是递增数列,故C错误;对于D,1,,,…,,…既是无穷数列又是递增数列,故D正确.故选BD. 13.-1(答案不唯一)　[解析] 因为an=λn-λ,对于任意n∈N*,{an}恒为递减数列,所以an+1-an=λ(n+1)-λ-(λn-λ)=λ<0,所以整数λ的值可以为-1(答案不唯一). 14.解:(1)原数列为2,7,12,17,22,27,…,相邻两项的差都是5, 故符合题意的一个通项公式为an=2+5(n-1)=5n-3 . (2)原数列为-,,- ,,-,,- ,…, 故符合题意的一个通项公式为an=(-1)n . (3)原数列为,,,,,,,…, 故符合题意的一个通项公式为an=. (4)原数列为 , , , ,…, 故符合题意的一个通项公式为an= . 15.解:(1)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列{an}的前5项依次为0,,,,.图象如图所示. (2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列{an}的前5项依次为-1,1,-1,1,-1.图象如图所示. (3)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时,数列{an}的前5项依次为2,1,0,-1,-2.图象如图所示. 16.C　[解析] 由题知a1=[log28]=3,a2=[log24]=2,a3==1,a4=[log22]=1,a5==0, …,a8=[log21]=0,a9==-1,当n≥9时,an=<0,所以使an≥0的正整数n的最大值为8.故选C. 17.ABD　[解析] 对于选项A,B,令-2n2+13n>0,解得0<n<,又n∈N*,所以数列{an}的前6项为正数,从第7项开始后面的项均为负数,故A,B正确;对于C,an=-2+,当n=3时,数列{an}的项取到最大值,函数f(x)=-2x2+13x=-2+,当x=时,函数f(x)取到最大值,故C错误;对于D,令-2n2+13n=-70,解得n=10或n=-(舍去),故-70是该数列的第10项,故D正确.故选ABD. 18.5或6　[解析] 由an=(104-4n)×1.05n,得an+1-an=(100-4n)×1.05n+1-(104-4n)×1.05n=(105-4.2n-104+4n)×1.05n=(1-0.2n)×1.05n,所以当n<5时,an+1>an,当n=5时,a5=a6,当n>5时,an+1<an,即a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…,故数列{an}中的最大项是第5或6项. 19.解:因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=·,所以当n≤7时,an+1>an, 当n=8时,an+1=an,当n≥9时,an+1<an, 所以数列{an}的第8项和第9项为最大项,即最大项的序号为8或9,且a8=9×=,即最大项为. 学科网（北京）股份有限公司 $