4.1第1课时数列的概念与通项公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 第1课时 数列的概念与通项公式 第1课时　数列的概念与通项公式 知识点一　数列的概念及分类 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…是无穷数列 D．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是不同的数列 答案：ACD 解析：根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即为4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；如果数列中数的顺序不同，那么它们就是两个不同的数列，故D正确．故选ACD. 2．已知下列数列： ①1，3，5，7，…，2n－1； ②1，4，7，10，…； ③1，，，，，…； ④－2，0，－2，0，…，(－1)n－1，…； ⑤b，b，b，b，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(将正确的序号填在横线上) 答案：①　②③④⑤　①②　③　⑤ 解析：①是有穷数列，也是递增数列；②是无穷数列，也是递增数列；③是无穷数列，也是递减数列；④是无穷数列；⑤是无穷数列，也是常数列． 知识点二　根据数列的前几项求通项公式 3．数列1，，，…的通项公式可能是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案：A 解析：对于B，当n＝2时，a2＝＝≠；对于C，当n＝3时，a3＝＝≠；对于D，当n＝3时，a3＝＝≠；四个选项中只有an＝同时满足a1＝1，a2＝，a3＝.故选A. 4．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)0.3，0.33，0.333，0.3333，…； (2)1，2，3，4，…. 解：(1)0.3＝×(1－0.1)＝×(1－10－1)，0.33＝×(1－10－2)，0.333＝×(1－10－3)，0.3333＝×(1－10－4)，故an＝×(1－10－n)． (2)1＝1＋，2＝2＋，3＝3＋，4＝4＋，故an＝n＋. 知识点三　数列通项公式的应用 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则72是数列{an}的(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 答案：B 解析：由题意，数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，令n2＋n＝72，解得n＝8或n＝－9(舍去)，所以72是数列{an}的第8项． 6．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2a3的值是________． 答案：16 解析：a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16. 知识点四　数列的单调性及应用 7．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．先增后减数列 D．常数列 答案：A 解析：因为an＝＝2－，所以{an}是递增数列．故选A. 8．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n2＋32n，则该数列中数值最大的项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 答案：B 解析：an＝－3n2＋32n＝－3＋，因为n∈N*，5＜＜6，且a5＝85，a6＝84，所以该数列中数值最大的项为第5项．故选B. 一、单项选择题 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．2，4，8，12 B．0，，，…，，… C．1，，，…，，… D．1，－，，…，，… 答案：B 解析：对于A，是有穷递增数列；对于B，因为＝1－，所以是无穷递增数列；对于C，是无穷递减数列；对于D，数列中的项正负交替，不是递增数列．故选B. 2．已知数列2，，2，，2，…，，…，则是这个数列的(　　) A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 答案：D 解析：令＝，得n＝20，所以是这个数列的第20项．故选D. 3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示． 按照上面的规律，摆第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 答案：C 解析：由题图可知，摆第一个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋6＝8；摆第二个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋2×6＝14；摆第三个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋3×6＝20；…；摆第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为2＋n×6＝6n＋2. 4．给出下列命题：①已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝；③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．其中正确命题的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 解析：对于①，令an＝＝，解得n＝10，易知最大项为第1项，①正确；对于②，数列，，2，，…，可化为，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，②正确；对于③，由an＝kn－5，且a8＝11，得k＝2，则an＝2n－5，a17＝29，③正确；对于④，由an＋1－an＝3>0，得数列{an}是递增数列，④正确．故选A. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－n－2，若{an}为递增数列，则k的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C. D. 答案：D 解析：若{an}为递增数列，则an＋1>an(n∈N*)，即k(n＋1)2－(n＋1)－2>kn2－n－2(n∈N*)，解得k>(n∈N*)，则k>，又数列递减，所以当n＝1时，＝，所以k>，即k的取值范围为.故选D. 二、多项选择题 6．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，那么在此数列中最大的项为(　　) A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 答案：AB 解析：因为数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，所以an＋1＝(n＋3)，即＝×，令≥1，解得n≤7，即当n≤7时，数列递增，当n＞7时，数列递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞…，所以a7＝a8最大．故选AB. 7．已知数列{an}的通项公式为an＝，则下列说法正确的是(　　) A．这个数列的第10项为 B.是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列{an}是递减数列 答案：BC 解析：令n＝10，得a10＝，故A不正确；令＝，得n＝33，故是该数列的第33项，故B正确；因为an＝＝＝1－，n∈N*，所以数列{an}是递增数列，所以＝a1≤an<1，所以数列中的各项都在区间内，故C正确，D不正确．故选BC. 三、填空题 8．已知一组数1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，按这组数的规律，x应为________． 答案：13 解析：因为1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，所以x＝5＋8＝13. 9．已知数列{an}的通项公式为an＝，则－3是数列{an}的第________项． 答案：9 解析：an＝＝－，∵－3＝－，∴－3是数列{an}的第9项． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是________． 答案：5 解析：a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5. 四、解答题 11．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图1. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，图象如图2. 12．写出下列各数列的一个通项公式： (1)2，，，，，…； (2)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (3)－，，－，，…. 解：(1)数列可写成，，，，，…，所以数列的一个通项公式为an＝. (2)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，9＋0，…，所以数列的一个通项公式为an＝n＋. (3)数列的奇数项为负，偶数项为正．分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，9×11，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n. 13．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且是递增数列，则实数a的取值范围是________． 答案：(2，3) 解析：由题意，得点(n，an)在分段函数f(x)＝的图象上．因此当3－a＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜a7；当a＞1时，a8＜a9＜a10＜…；为使数列{an}递增还需a7＜a8.故实数a满足条件解得2＜a＜3，故实数a的取值范围是(2，3)． 14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－. (1)求{an}的通项公式； (2)－是{an}中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵an＝pn＋q，a1＝－，a2＝－， ∴解得 ∴{an}的通项公式是an＝－1. (2)令an＝－，即－1＝－， ∴＝，解得n＝8. ∴－是{an}中的第8项． (3)∵an＋1－an＝－1－＝－＝－＝－<0， ∴an＋1<an， ∴{an}是递减数列． 7 $ 4.1 第1课时 数列的概念与通项公式 第1课时　数列的概念与通项公式 知识点一　数列的概念及分类 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…是无穷数列 D．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是不同的数列 2．已知下列数列： ①1，3，5，7，…，2n－1； ②1，4，7，10，…； ③1，，，，，…； ④－2，0，－2，0，…，(－1)n－1，…； ⑤b，b，b，b，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(将正确的序号填在横线上) 知识点二　根据数列的前几项求通项公式 3．数列1，，，…的通项公式可能是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 4．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)0.3，0.33，0.333，0.3333，…； (2)1，2，3，4，…. 知识点三　数列通项公式的应用 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则72是数列{an}的(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 6．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2a3的值是________． 知识点四　数列的单调性及应用 7．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．先增后减数列 D．常数列 8．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n2＋32n，则该数列中数值最大的项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 一、单项选择题 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．2，4，8，12 B．0，，，…，，… C．1，，，…，，… D．1，－，，…，，… 2．已知数列2，，2，，2，…，，…，则是这个数列的(　　) A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示． 按照上面的规律，摆第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 4．给出下列命题：①已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝；③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．其中正确命题的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－n－2，若{an}为递增数列，则k的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C. D. 二、多项选择题 6．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，那么在此数列中最大的项为(　　) A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 7．已知数列{an}的通项公式为an＝，则下列说法正确的是(　　) A．这个数列的第10项为 B.是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列{an}是递减数列 三、填空题 8．已知一组数1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，按这组数的规律，x应为________． 9．已知数列{an}的通项公式为an＝，则－3是数列{an}的第________项． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是________． 四、解答题 11．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. 12．写出下列各数列的一个通项公式： (1)2，，，，，…； (2)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (3)－，，－，，…. 13．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且是递增数列，则实数a的取值范围是________． 14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－. (1)求{an}的通项公式； (2)－是{an}中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 7 $