精品解析：福建省泉州市南安市南安十校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季质量监测（一）九年级数学科试卷 一、单选题（每小题4分，共计40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x=1 B. x≥1 C. x＞1 D. x＜1 2. 下列各式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式与是同类二次根式的（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. ﹣ ＝1 C. ×＝ D. 5. 一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）． A. 3，-2 B. 3，2 C. 3，-1 D. 3x2，-2x 6. 方程的解是（ ）． A. x1=x2=0 B. x1=x2=1 C. x1=0, x2=1 D. x1=0, x2=-1 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( ) A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 8. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　） A. 10% B. 15% C. 18% D. 20% 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 10. 若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11. 计算：______． 12. 一元二次方程的两根分别为________． 13. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______． 14. 某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有______支球队参加比赛． 15. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 在矩形中，，点P在边以的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以的速度在C、B间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当______时，四边形为矩形． 三、解答题（本题共计9题，共计86分） 17. 计算： （1）． （2） 18. 用适当的方法解下列方程： (1)3x(x＋3)＝2(x＋3); (2)2x2－6x－3＝0. 19. 已知，，求的值． 20. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？ 22. 某商场某种新商品每件进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为元时，每天可销售多少件商品，商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？（提示：盈利售价进价） 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 24. 阅读与应用：同学们，你们已经知道，即．所以（当且仅当时取等号）． 阅读1：若a、b为实数，且（当且仅当时取等号）． 阅读2：若函数（为常数）．由阅读1结论可知： 即当即时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：若函数，则______时，函数的最小值为______． 问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当______时，矩形周长的最小值为______． 问题3：求代数式的最小值． 问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？ 25. 如图，在中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出的长：= ； (2)求出关于的函数关系式，并求出当点运动几秒时，； (3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季质量监测（一）九年级数学科试卷 一、单选题（每小题4分，共计40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x=1 B. x≥1 C. x＞1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1．故选B． 考点： 二次根式有意义的条件． 2. 下列各式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】,,，故选D． 3. 下列各式与是同类二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先将选项化简为最简二次根式，然后找出与是同类二次根式的选项． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，故A符合题意； B、与不是同类二次根式，故B不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. ﹣ ＝1 C. ×＝ D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算方法判断选项的正确性． 【详解】解：A选项错误，不是同类二次根式不可以加减； B选项错误，不是同类二次根式不可以加减； C选项正确； D选项错误，． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算方法． 5. 一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）． A. 3，-2 B. 3，2 C. 3，-1 D. 3x2，-2x 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义分析，即可得到答案． 【详解】一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为：3、-2 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，从而完成求解． 6. 方程的解是（ ）． A. x1=x2=0 B. x1=x2=1 C. x1=0, x2=1 D. x1=0, x2=-1 【答案】D 【解析】 【分析】利用提公因式法解方程，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴或； 故选择：D. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握提公因式法解方程是解题的关键. 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( ) A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由韦达定理即可求解. 详解：由题意可得：. 点睛：考查了韦达定理. 8. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　） A. 10% B. 15% C. 18% D. 20% 【答案】A 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： 100×（1﹣x）2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般． 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】求出△的值，再判断即可． 【详解】解：x2-2x+3=0， △=（-2）2-4×1×3＜0， 所以方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 10. 若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：将化为 把方程看作关于的一元二次方程， 而关于x的方程的解是，， 所以，， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解法，解题的关键是用好整体的思想方法. 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 12. 一元二次方程的两根分别为________． 【答案】0或4 【解析】 【分析】移项，开方，进行计算即可得． 【详解】解：， ， ， ， ，， 故答案为：0或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法． 13. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______． 【答案】-3 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+x+（m2-9）=0， 得m2-9=0， 解得：m=±3， ∵m-3≠0， ∴m=-3， 故答案是：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0． 14. 某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有______支球队参加比赛． 【答案】10 【解析】 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45． 【详解】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x-1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x-1）=45， 解得：x1=10，x2=-9（舍去）， 故答案为：10. 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是从实际问题中抽象出相等关系． 15. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解的定义得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法计算求值即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 在矩形中，，点P在边以的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以的速度在C、B间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当______时，四边形为矩形． 【答案】2.4或4或7.2或12 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，一元一次方程的实际应用．利用数形结合和分类讨论的思想是进行求解是解题关键． 由矩形的判定和性质可知当时，四边形为矩形．再求出点P运动的时间为12秒，即可求出点Q可在间往返4次，即在这段时间内与有4次平行．设运动时间为t，分类讨论4种情况，分别用含t的代数式表示出和，再列出方程，解出t的值即可． 【详解】解：当时，四边形为矩形． ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． ∵点P运动的时间秒， ∴点Q运动的路程， ∴点Q可在间往返4次， ∴在这段时间内有四次． 设运动时间为t，则， 分类讨论：①第一次：，， ∴， 解得：； ②第二次：，， ∴， 解得：； ③第三次：，， ∴， 解得：； ④第四次：，， ∴， 解得：． 故答案为：2.4或4或7.2或12． 三、解答题（本题共计9题，共计86分） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零次幂，立方根，绝对值，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先计算零次幂，立方根，绝对值，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 用适当的方法解下列方程： (1)3x(x＋3)＝2(x＋3); (2)2x2－6x－3＝0. 【答案】(1) x1=-3，x2=;(2) . 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可. 【详解】解：（1）3x(x＋3)＝2(x＋3)， 3x(x＋3)-2(x＋3)＝0， (x＋3)(3x-2)＝0， (x＋3)=0或(3x-2)＝0， ∴x1=-3，x2=. （2）2x2－6x－3＝0， a=2，b=-6，c=-3， △=， ∴ ， ∴. 19. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将a、b的值分母有理化，并根据二次根式混合运算的法则进行化简，再代入计算可得． 【详解】解：∵， ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 20. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】；另一根为． 【解析】 【分析】将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系可求出另一根． 【详解】解：将代入方程， 解得，； ∴方程为 设方程的另一根为，则． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．熟记相关结论即可． 21. 2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？ 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形的面积和为102平方米列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得， （20﹣3x）（8﹣2x）＝102， 解得：x1＝1，x2（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为102m2得出等式是解题关键． 22. 某商场某种新商品每件进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为元时，每天可销售多少件商品，商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？（提示：盈利售价进价） 【答案】（1）每天可销售件商品，商场获得的日盈利是元 （2）每件商品售价为元时，商场日盈利达到元 【解析】 【分析】（1）根据题意得当每件商品售价为元时，比每件商品售价元高出元，则每天可销售商品件，然后根据每天的盈利每件商品的盈利销售数量即可； （2）设商场日盈利达到元时，每件商品售价为x元，则每件商品比元高出元，每件可盈利元，每日销售商品为（件），然后根据每天的盈利每件商品的盈利销售数量即可列出一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：当每件商品售价为元时，比每件商品售价元高出元， 即（元）， 则每天可销售商品件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）， 答：每天可销售件商品，商场获得的日盈利是元； 【小问2详解】 设商场日盈利达到元时，每件商品售价为x元， 则每件商品比元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）， 依题意得方程， 整理，得，即， 解得， 答：每件商品售价为元时，商场日盈利达到元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，理清题目的数量关系列出方程是解本题的关键． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 24. 阅读与应用：同学们，你们已经知道，即．所以（当且仅当时取等号）． 阅读1：若a、b为实数，且（当且仅当时取等号）． 阅读2：若函数（为常数）．由阅读1结论可知： 即当即时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：若函数，则______时，函数的最小值为______． 问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当______时，矩形周长的最小值为______． 问题3：求代数式的最小值． 问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？ 【答案】问题1：4，6；问题2：2，8；问题3：4；问题4：当时，水池总造价y最低，最低为1760元 【解析】 【分析】此题是反比例函数题目，函数最值的确定方法，二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键． 问题1：根据阅读材料解决问题即可； 问题2：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解； 问题3：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解； 问题4：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解． 【详解】解：问题1：， 由阅读2结论可知，即， 当即， （不合题意舍去）， 当时，函数的最小值为6； 问题2：设矩形周长为，根据题意得， ， ， 当即（不合题意舍去），时，函数有最小值8； 问题3：设， ， ， 当即（不合题意舍去）， 当时，函数有最小值4， 代数式的最小值为4； 问题4：根据题意得长方体的宽为米， ， ， 当即（不合题意舍去）， 当时，函数的最小值为1760， ∴当时，水池总造价y最低，最低为1760元． 25. 如图，在中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出的长：= ； (2)求出关于的函数关系式，并求出当点运动几秒时，； (3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论． 【答案】（1）AC=cm；（2）当点P运动（2+2）秒时，S△PCQ=S△ABC ；（3）线段DE的长度不会改变．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分两种情形当0＜t≤4时，当t＞4秒时，分别构建方程即可解决问题； （3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，利用全等三角形的判定和性质证明四边形PEQM是平行四边形，求出DE是定值即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=BC=8cm，∠ABC=90°， cm， （2）当0＜t4时，P在线段AB上，此时CQ=2t，PB=8﹣2t， ∴， 当t＞4秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=2t，PB=2t﹣8， ， ∵S△ABC=， ∴当t4时，S△PCQ= 整理得t2﹣4t+16=0， ∵△＜0， ∴此方程无实数解； 当t＞4时，S△PCQ=， 整理得t2﹣4t﹣16=0， 解得（负值已舍去）， ∴当点P运动（）秒时，S△PCQ=S△ABC； （3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 证明：如图2，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M， ∵PE⊥AC，QM⊥AC， ∴∠AEP=∠M=90°， ∵AP=CQ，∠A=∠ACB=∠MCQ=45°， ∴△APE≌△QCM， ∴AE=PE=CM=QM=t， ∴四边形PEQM是平行四边形， ∴DE是对角线EM的一半， 又∵EM=AC=8， ∴DE=4， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变； 同理，当点P在点B右侧时，DE=4， 综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积以及一元二次方程的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $