精品解析：江西省新余市分宜县九年级联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年上学期分宜县九年级数学第一次月考卷 命题：昌根平 黄玲玲 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．熟练掌握是解决问题的关键．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断，即得． 【详解】A、∵，是一元二次方程，A符合题意； B、∵， ∴， ∴，矛盾，B不符合题意； C、∵当时，蜕变为， ∴不是的一元二次方程，C不符合题意； D、不是整式， ∴不是x的一元二次方程，D不符合题意； 故选：A 2. 若方程化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可． 【详解】解：方程化为一般形式为： 由题意可得： 解得 故选：C 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得： 利用配方法可化为； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 4. 将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可． 【详解】解：∵将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线， ∴原抛物线解析式为，即， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 5. 某景点参观人数逐年增加，据统计，2019年为万人次，到2021年三年合计为万人次，设参观人数年平均增长率为x，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，通过设出增长率，进而得到2020的人数为万人，2021年的人数为万人是解题的关键． 【详解】解：设参观人数年平均增长率为x， 由题意得，， 故选D． 6. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 抛物线在y轴右侧部分呈现______的趋势填“上升”或者“下降” 【答案】下降 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 8. 将一元二次方程化成的形式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程、完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式． 由，可得，进而求得、的值，然后作答即可． 【详解】解：， ， ， ∵一元二次方程化成的形式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9. 二次函数图像上的最低点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是正确得出二次函数顶点式．直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 二次函数图象上的最低点的纵坐标为：． 故答案为：． 10. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 … 表格可以发现二次函数与轴有一个交点坐标为，则与轴另一个交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质和图像的对称性；根据表格数据可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：当时的函数值和当时的函数值都为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时的函数值和当时的函数值相等， ∴， ∴与轴另一个交点坐标为， 故答案为：． 11. 对实数a，b定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：， ， 解得：，， ∵， ∴根据题中的新定义得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键． 12. 已知，，分别是等腰三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的周长等于______． 【答案】37或42或27 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式．先根据等腰三角形的两个边相等，分两种情况分析：当13为底边长，a、b为腰长时；当13、a为腰长，b为底边时，然后利用一元二次方程求解，即可求出的周长． 【详解】解：∵，，分别是等腰三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根， ∴当13为底边长，a、b为腰长时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 解得， 此时的周长为：； 当13、a为腰长，b为底边时， ∴， 代入一元二次方程得：， 解得：或， 当时， ， 解得， 此时的周长为：， 当时， ， 解得， 此时的周长为：； 故的周长为37或42或27， 故答案为：37或42或27． 三、解答题（13-17题每题6分；18-20题每题8分；21、22题每题9分；23题12分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 14. 先化简，再求值． ，请从一元二次方程的两个根中选择一个你喜欢的求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出a的值，继而选择任意一个a的值代入计算即可． 【详解】解： ÷（+3 +） = ÷ = • = • = 2-7+12=0 ∙=0 ∴或 = 0 ∴,= 又∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题主要考查分式的化简求值和解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解法解一元二次方程． 15. 某工厂生产一种零件，在质量检测环节，有两个检测指标分别对应代数式与，这关系到零件是否合格的判断，当这两个指标的值相等时，x取何值？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或， 答：当这两个指标的值相等时，或． 16. 无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【答案】该单位这次共有40名员工去天水湾风景区旅游 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键．首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用人数总费用，列出方程，解方程，并对方程的解进行检验． 【详解】解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游， ∵， ∴员工人数一定超过30人， 可得方程， 整理，得， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意 ，舍去； 答：该单位这次共有40名员工去天水湾风景区旅游． 17. 在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）请求出这名男同学比赛时的成绩？ 【答案】（1）这个二次函数的解析式为 （2）这名男同学比赛时的成绩是米 【解析】 【分析】（1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解． （2）由（1）求得的函数解析式，令y＝0，求得的x的正值即为铅球推出的距离． 【小问1详解】 解：（1）设二次函数的解析式为， 由于顶点坐标为， ∴． 又A在抛物线上， ∴， 解得： ． ∴二次函数的解析式为， 整理得：． ∴这个二次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，． ∴， （不合题意，舍去）． 答：这名男同学比赛时的成绩是米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解答本题的关键． 18. 请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． （2）如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）如图所示， 【解析】 【分析】（1）本题考查二次函数对称性，根据对称的性质连接与得到交点，连接与得到交点，所在直线即为所求； （2）本题考查轴对称最短距离和问题，根据、两点是抛物线上的对称点得到，即最小时最小，连接交对称轴于一点即为所求，再根据抛物线性质求点即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得，连接与得到交点，连接得到交点，所在直线即为对称轴 【小问2详解】 解：作点关于抛物线对称轴的对称点， ∵、两点是抛物线上的对称点， ∴， ∴最小时最小， ∴连接交对称轴于一点即为点， 设直线为， 由图可知，， 得， 解得， ∴， ∴时，， ∴． 19. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值． 解： ∵无论x取何实数，总有． ∴，即的最小值是． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题： （1）已知，求证y是正数； （2）知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值， 【答案】（1）见解析 （2）t=，S最大值= 【解析】 【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可． （2）先求s，再利用配方求最值即可． 【小问1详解】 证明：（1） ． ∵． ∴． ∴． ∴y是正数． 【小问2详解】 解：∵，，． ∴ ． ∵． ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 20. 某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形）的面积为 平方米；（用含的代数式表示） （2）当时，所围成的展览区总面积为平方米，求的长； （3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 【答案】（1）， （2）的长为 （3） 解：不能，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解， 不能围成总面积为的展览区． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用、一元二次方程根与系数的关系、列代数式等知识点，正确理解题意找到等量关系建立方程是解答本题的关键． （1）根据图形可表示出的长，再根据矩形面积公式表示出矩形面积即可； （2）由围成总面积为平方米以及代入（1）所得的展览区面积求出的值，再检验，进而求得的长即可； （3）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得， 即， 矩形的面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若，能围成展览区总面积平方米， 根据题意得， ， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 的长为． 【小问3详解】 略 21. 已知二次函数的图象与直线交于点A（﹣1，0）、点C（4，m）． （1）求的表达式和m的值； （2）当时，求自变量x的取值范围； （3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式． 【答案】（1）的表达式为，m的值为5 （2）自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4 （3）y＝x﹣ 【解析】 【分析】（1）把点A、C两点代入两个函数表达式中即可求解； （2）根据图象即可得到当时，自变量x的取值范围； （3）设直线AC平移后的表达式为y＝x+k，使，根据判别式求出k从值即可． 【小问1详解】 把A（﹣1，0）代入得b＝﹣2， 把C（4，m）代入得，m＝5． 所以． 所以的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3，m的值为5． 【小问2详解】 如图：由（1）可知C（4，5），A（-1，0） 根据图象可知：当时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4． 所以自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4． 【小问3详解】 设直线AC平移后的表达式为y＝x+k， 得：，即 令Δ＝0，得 解得k＝﹣． 所以平移后的直线表达式为y＝x﹣． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数与一次函数的交点、待定系数法求函数解析式，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 22. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示． （1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为______，x的取值范围为______； （2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ （3）求当天销售利润低于10800元的天数． 【答案】（1）； （2）第6天时，该企业利润最大，为12800元. （3）7天 【解析】 【分析】（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义； （2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可； （3）根据（2）中的函数解析式列出不等式方程即可解答． 【详解】（1）根据题意，得y与x的解析式为：（） （2）设当天的当天的销售利润为w元，则根据题意，得 当1≤x≤6时， w=（1200-800）（2x+20）=800x+8000， ∵800＞0，∴w随x的增大而增大， ∴当x=6时，w最大值=800×6+8000=12800． 当6＜x≤12时， 易得m与x的关系式：m=50x+500 w=[1200-（50x+500）]×（2x+20） =-100x2+400x+14000=-100（x-2）2+14400． ∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数， ∴当x=7时，w有最大值，为11900元， ∵12800＞11900， ∴当x=6时，w最大，且w最大值=12800元， 答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元． （3）由（2）可得， 1≤x≤6时， 解得：x＜3.5 则第1-3天当天利润低于10800元， 当6＜x≤12时， 解得x＜-4（舍去）或x＞8 则第9-12天当天利润低于10800元， 故当天销售利润低于10800元的天数有7天． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，解题关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并分类讨论． 23. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．直线经过点． （1）求和的值； （2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接． ①试判断的形状； ②证明：是直角三角形； （3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点为抛物线对称轴上的一点，点为抛物线与轴的交点， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ②证明：∵， ∴， ∴为直角三角形； （3）存在，或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①由点坐标可得，进而可得，又由抛物线的对称性可得，即得，得到，即可求解；②由得，即可求证； （）作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于，由二次函数解析式可得，即得，由线段垂直平分线的性质可得，即得，即得，再由可得为等腰直角三角形，进而可得的坐标，再求出的解析式，进而确定的解析式，然后联立直线和的解析式即可求得的坐标，在直线上作点关于点的对称点，可得，利用中点坐标公式即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于两点，交轴于点， 令时，， ∴， ∵直线经过点， 将点坐标代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 令时，， ∴， 将点的坐标代入得，， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在直线上存在点，使与直线的夹角等于的倍，理由如下： 如图，作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于， ∵， ∴二次函数， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的函数解析式为， 设的函数解析式为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴的函数解析式为， 由，解得， ∴的坐标为； 在直线上作点关于点的对称点，则， 设， ∵点为线段中点， 则， 解得， ∴， ∴的坐标为； 综上，在直线上存在点，使与直线的夹角等于的倍，坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，中点坐标公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期分宜县九年级数学第一次月考卷 命题：昌根平 黄玲玲 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 某景点参观人数逐年增加，据统计，2019年为万人次，到2021年三年合计为万人次，设参观人数年平均增长率为x，则（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 抛物线在y轴右侧部分呈现______的趋势填“上升”或者“下降” 8. 将一元二次方程化成的形式，则________． 9. 二次函数图像上的最低点的纵坐标为________． 10. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 … 表格可以发现二次函数与轴有一个交点坐标为，则与轴另一个交点坐标为__________． 11. 对实数a，b定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，，则__________． 12. 已知，，分别是等腰三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的周长等于______． 三、解答题（13-17题每题6分；18-20题每题8分；21、22题每题9分；23题12分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值． ，请从一元二次方程的两个根中选择一个你喜欢的求值． 15. 某工厂生产一种零件，在质量检测环节，有两个检测指标分别对应代数式与，这关系到零件是否合格的判断，当这两个指标的值相等时，x取何值？ 16. 无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 17. 在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）请求出这名男同学比赛时的成绩？ 18. 请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． （2）如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 19. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值． 解： ∵无论x取何实数，总有． ∴，即的最小值是． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题： （1）已知，求证y是正数； （2）知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值， 20. 某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形）的面积为 平方米；（用含的代数式表示） （2）当时，所围成的展览区总面积为平方米，求的长； （3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 21. 已知二次函数的图象与直线交于点A（﹣1，0）、点C（4，m）． （1）求的表达式和m的值； （2）当时，求自变量x的取值范围； （3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式． 22. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示． （1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为______，x的取值范围为______； （2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ （3）求当天销售利润低于10800元的天数． 23. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．直线经过点． （1）求和的值； （2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接． ①试判断的形状； ②证明：是直角三角形； （3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $