精品解析：黑龙江省大庆市第四中学2025-2026学年高二上学期第一次检测数学试题

大庆四中2025～2026学年第一学期高二年级第一次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的一般式得出斜率，再结合斜率与倾斜角的关系计算得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，， 所以，所以. 故选：A. 2. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 3. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 5. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 6. 已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，， 将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：（），则（    ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为2 【答案】AB 【解析】 【分析】将直线变形为即可求解定点坐标，进而可判断A；将直线化为斜截式方程，再根据两直线垂直和平行满足的关系判断BC；根据两平行线间距离公式可判断D. 【详解】将直线的方程变形为， 由 ，则，因此直线过定点，故A正确； 当时，，， 斜率相等，纵截距不等，故两直线平行，故B正确； 当时，，：， 因斜率之积不为，故两直线不垂直，故C错误； 当时，则满足，解得， 此时：，：，则两直线间的距离为，故D错误． 故选：AB． 10. 已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长是9 B. 椭圆焦距是 C. 存在使得 D. 三角形的面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可. 【详解】， 所以， 对于A：因为，所以长轴为，A错误； 对于B：因为，所以焦距为，B正确； 对于C：当取到上顶点时此时取到最大值， 此时，， 所以，所以此时为钝角， 所以存在使得，C正确； 对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值， 此时，D正确， 故选：BCD 11. 已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确. 【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离， 对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， 故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确； 对于C，圆与圆恰有三条公切线， 则两圆外切，即，解得，C错误； 对于D，如图， 点在位置时，，此时，点在位置时，此时， 所以中间必然有位置使得，故D正确． 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【答案】0或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解. 【详解】依题意，，所以或. 故答案为：0或 13. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简式子可得，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】由题可知：，所以 如图 又直线，即过定点 当直线与半圆相切时，则 当直线过点时， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可. 【详解】 由题可知，． 因为平分，所以到，的距离相等， 设为，则． 易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点， 过作于， 易得，则，从而． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． （1）求的短轴长及的周长； （2）若直线过点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，求出的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【小问1详解】 由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． 【小问2详解】 ，又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 16. 已知△ABC的边AB所在直线方程为y＝3x，BC所在直线方程为y＝ax+12，AC边上的高BD所在直线方程为y＝﹣x+8． （1）求实数a的值； （2）若AC边上的高BD，求边AC所在的直线方程． 【答案】（1）a＝﹣3．（2）x﹣y＝8或x﹣y＝0． 【解析】 【分析】（1）把联立求出，代入即可求解. （2）设D（b，c），由点在上以及AC边上的高BD，列方程组求出 根据与垂直以及点斜式方程即可求解. 【详解】（1）联立，解得x＝2，y＝6，所以 ，点在上 代入y＝ax+12，可得：6＝2a+12，解得a＝﹣3． （2）设D（b，c），则，解得b＝0，c＝8，或b＝4，c＝4． ∴边AC所在的直线方程为：y﹣8＝x，或y﹣4＝x﹣4． 化为：x﹣y＝8，或x﹣y＝0． 【点睛】本题主要考查直线方程，考查了学生的分析能力和计算能力，属于基础题. 17. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【小问1详解】 由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． 【小问2详解】 设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 18. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【小问1详解】 将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）略 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 19. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上. （1）求圆C的周长； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； 【小问2详解】 因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； 【小问3详解】 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆四中2025～2026学年第一学期高二年级第一次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 3. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 6. 已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：（），则（    ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为2 10. 已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长是9 B. 椭圆焦距是 C. 存在使得 D. 三角形的面积的最大值是 11. 已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，两点到直线的距离相等，则_____. 13. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． （1）求的短轴长及的周长； （2）若直线过点，求弦长． 16. 已知△ABC的边AB所在直线方程为y＝3x，BC所在直线方程为y＝ax+12，AC边上的高BD所在直线方程为y＝﹣x+8． （1）求实数a的值； （2）若AC边上的高BD，求边AC所在的直线方程． 17. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 18. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 19. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上. （1）求圆C的周长； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $