精品解析：福建省 德化第二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

德化二中2025秋初三年第一阶段素养检测数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各式中为二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：是二次根式，该选项符合题意； 、，式子无意义，该选项不合题意； 、是三次根式，该选项不合题意； 、，式子无意义，该选项不合题意； 故选：． 2. 要使有意义，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中，只要D选项中的2符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：，故A正确，C错误； ，故B、D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断． 4. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 6. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 7. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 8. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 9. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 10. 三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小： ______．（填“”、“”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，将5变形为，根据可得，即． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若是关于的方程的一个根，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左边两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 16. 阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值． 【详解】解：由题中结论可得 即：当时，有最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 . 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解． 【详解】解：原式= 将代入原式得． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， 无论取什么实数值，方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）利用判别式来判断，即可得到结果； （2）根据根与系数的关系即可得出，，再由，求出，，代入列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 解得：或． 故的值为或． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程” （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值 【答案】（1） 是， 理由：解方程得：或， ∵， ∴是“邻根方程”； （2）8或6 【解析】 【分析】 （1 ）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2 ）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由方程解得：或， 由于关于x的二次方程（m是常数）是“邻根方程”， 则或， 解得或6． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 24. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，二次根式的加减运算，勾股定理，掌握勾股定理的性质是解题的关键． （1）由三角形周长公式可求解； （2）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形． 【小问1详解】 ∵的周长为，，， ∴； 【小问2详解】 略 25. 阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，分式的求值： （1）根据根与系数的关系求解即可； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，再根据进行代值计算即可； （3）先求出，进而得到可以看做是关于x的一元二次方程的两个实数根，则由根与系数的关系和方程解的定义得到，，，即，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∴，即， ∵，且， ∴可以看做是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德化二中2025秋初三年第一阶段素养检测数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各式中为二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 9. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小： ______．（填“”、“”、“”） 12. 计算：_____________． 13. 若是关于的方程的一个根，则的值是________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 16. 阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程” （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 24. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 25. 阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $