精品解析：陕西省汉中市西乡县西乡县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

陕西省汉中市西乡县西乡县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 将一元二次方程化成一般形式，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题的关键． 先将方程化成一般式，然后对比即可解答． 【详解】解：方程化成一般式为，即． 故选B． 2. 菱形不一定具有的性质的是（　　） A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对边相等 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质的理解和掌握，掌握菱形的性质是解决问题的关键．列举出菱形的所有性质即可． 【详解】解：菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，对角相等，③菱形的对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角； 故菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 3. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握方程的根与系数关系有是解题的关键． 直接运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选B． 4. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握矩形的性质是解题的关键． 由矩形的性质以及角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式可得，然后求得k的取值范围，再结合各选项即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，解得：，即点D符合题意． 故选D． 6. 已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，以及结合菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， A、由菱形可得，那么，则A选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； B、由菱形可得，则B选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； C、不能判定菱形是正方形，故不符合题意； D、由菱形可得，而，则，因为菱形对角线平分一组对角，则，故菱形是正方形，故符合题意； 故选：D． 7. 若的三边长都是方程的根，则的周长是（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，正确解出一元二次方程并分类讨论是解题的关键． 先利用因式分解法求的方程两个根分别是2和3，再结合三角形的三边关系进行分类讨论即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 当2为腰，3为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为； 当3为腰，2为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为． 综上，周长分别为7或8． 故选：C． 8. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由勾股定理求出，根据证明，得出，，运用面积法可求出． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 用配方法解方程时，配方后得到，则____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，点A、C、E在同一直线上，根据实际需要可以调节A、E之间的距离，若，则的度数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，连接，根据题意可求出的长，进而可证明是等边三角形，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点A、C、E在同一直线上，且图中三个菱形全等， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，掌握一元二次方程的二次项系数不能为零是解题的关键． 直接把代入方程求解，再结合即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且，解得：． 故答案为：1． 12. 如图，在正方形中，是边上一点，且于点，连接，若，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，角直角三角形的性质． 过点作于点，分别对运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 13. 对于任意的实数a，b，定义一种新运算◆，规定，若，则的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 14. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转到的位置，点分别是，的中点，若，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解题的关键． 根据，，得到，连接，，得到，根据旋转的性质，得，结合，得到，得到即可． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针方向旋转到的位置，，， ∴， 连接，， ∵分别是的中点， ∴， 根据旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 16. 如图，在中，，为对角线，过点作交的延长线于点，且，求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ． ， ． 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，根据得出四边形是平行四边形，进而根据，得出，即可得证． 【详解】略 17. 已知实数a、b满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据非负数的性质求得b的值，然后得到关于a的一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，已知是正方形的对角线．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、作角平分线等知识点，熟练掌握正方形的性质与三角形外角的性质以及用尺规作角平分线是解题的关键． 如图：作的平分线交于点E即可． 【详解】解：如图，点E即为所求． ∵正方形中，是对角线， ∴， 由作图可知，平分， ∴． 19. 小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 20. 如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，可证明，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 21. 利用数学的“转化”思想，我们可以将一些新的方程转化成我们熟悉的方程来解，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，分别解方程和，可得方程的根． （1）问题：方程的根是____________，____________； （2）拓展：用“转化”思想求方程的根． 【答案】（1），3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解无理方程和高次方程，掌握一元二次方程的解法、因式分解是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先给方程的两边平方把根式方程化为整式方程求解,然后再利用算术平方根的非负性检验即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴或． ∴或或． ∴． 故答案为：，3． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 检验：∵， ∴，不符合题意； ∴． 22. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点在边上，连接OE，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再根据等边对等角可得，即；根据三角形外角的性质可得，即 ，由等角对等边可得，即可证明结论； （2）由矩形的性质可得，进而得到，再结合可得，最后运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵在矩形中，对角线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 23. 【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 24. 如图，在中，对角线、相交于点，延长至点，连接、，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理等知识． （1）利用平行四边形性质得到对角线相关关系，结合，推出对角线互相垂直，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，从而证明四边形是菱形； （2）设，根据勾股定理求出，从而得，再在中，利用勾股定理求出，从而得到的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 设， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， 故的长为． 25. 乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． （1）小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； （2）该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 【答案】（1）小明的说法不正确，理由见解析 （2）采纳销售员乙的意见，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【小问1详解】 解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； 【小问2详解】 解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． 26. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点． （1）如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________； （2）如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长； （3）如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）正方形，，． （2）13 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质以及角平分线的性质可得，可证四边形是正方形，再证明可得． （2）由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得,，再由勾股定理即可求得； （3）如图：过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明可得，即，再说明是等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴是正方形， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：正方形，，． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得； ∵， ∴，， 由（1）知，, ∵ ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图：过点C作交于Q，连接； ∵四边形为正方形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省汉中市西乡县西乡县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 将一元二次方程化成一般形式，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 菱形不一定具有的性质的是（　　） A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对边相等 D. 对角相等 3. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若的三边长都是方程的根，则的周长是（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 13 8. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 用配方法解方程时，配方后得到，则____________． 10. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，点A、C、E在同一直线上，根据实际需要可以调节A、E之间的距离，若，则的度数是____________． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为____________． 12. 如图，在正方形中，是边上一点，且于点，连接，若，则的面积为____________． 13. 对于任意的实数a，b，定义一种新运算◆，规定，若，则的值为____________． 14. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转到的位置，点分别是，的中点，若，则线段的长为____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在中，，为对角线，过点作交的延长线于点，且，求证：四边形为矩形． 17. 已知实数a、b满足，求的值． 18. 如图，已知是正方形的对角线．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 20. 如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 21. 利用数学的“转化”思想，我们可以将一些新的方程转化成我们熟悉的方程来解，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，分别解方程和，可得方程的根． （1）问题：方程的根是____________，____________； （2）拓展：用“转化”思想求方程的根． 22. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点在边上，连接OE，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长为，求的长． 23. 【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 24. 如图，在中，对角线、相交于点，延长至点，连接、，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. 乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． （1）小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； （2）该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 26. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点． （1）如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________； （2）如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长； （3）如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $