精品解析：江苏省连云港市赣马高级中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试题

连云港市赣马高级中学2025-2026学年第一学期第一次质量检测 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 直线截圆所得的弦长（ ） A. B. C. D. 4. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 已知点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 在中，若，，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9. 若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（ ） A B. 1 C. D. 3 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 圆上存在两个点到直线的距离为2 D. 若圆与圆有唯一公切线，则 11. 已知圆和圆的公共点为，，则（ ） A. B. 直线的方程是 C. D. 为等腰三角形 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上) 12. 直线关于直线对称的直线的方程是________. 13. 椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为________. 14. 设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）AB边中线所在直线方程； （2）的外接圆的方程. 16. 已知过点的直线l被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上. （1）求直线l方程； （2）若直线与直线l平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线的方程. 17. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求k取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 18. 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 19. 已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连云港市赣马高级中学2025-2026学年第一学期第一次质量检测 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设过点且与直线垂直的直线方程为. 把点代入得，解得c＝8， 所求直线的方程为. 故选：C. 2. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当时求出两直线方程，检验是否平行；当时，根据两直线平行的性质求出k的值并检验，进而得出结果. 【详解】由两直线平行得，当时，两直线分别为和，显然两直线平行； 当时，由，解得； 而当时两直线重合. 综上所述，k的值为0. 故选：C 3. 直线截圆所得的弦长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理和勾股定理，利用两点间距离公式，利用韦达定理结合方程可求得弦长. 【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心到直线的距离为 ，则. （方法2：两点距离公式）由，消去得， 解得或，直线与圆的交点，，则. （方法3：韦达定理）由，消去得， 由韦达定理得，，，又， 则. 故选:A. 4. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆心距，与半径之差的绝对值，半径之和比较大小即可判断. 【详解】圆，，圆心分别为，，半径分别为，.因为，，，因为，所以两圆相交. 故选：B. 5. 已知点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线恒过点，再求出，的值，结合图象求解即可. 【详解】直线恒过点，且斜率为， 因为，，如图所示： 由图知，当时，直线与线段没有交点，所以. 故选：C. 6. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，直线方程即，由求定点的坐标． 【详解】化简得，即， 由，所以直线过定点. 故选：B 7. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得. 【详解】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆， 当直线与半圆相切时，，则，此时直线为， 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是． 故选：C． 8. 在中，若，，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以AB所在的直线为轴，AB中垂线为轴建系，求出点的轨迹方程即可. 【详解】以AB所在的直线为轴，AB中垂线为轴建立坐标系， ，设， 由得，，化简得， 即C在以为圆心，为半径的圆上运动， . 故选：A 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9. 若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，直线不过另外两条直线的交点，且与它们不平行，列出不等式即可得解. 【详解】联立直线方程，即直线的交点为， 直线斜率为，直线的斜率为， 所以不过，且与都不平行， 即，所以，满足的条件为且且. 故选：BC. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 圆上存在两个点到直线的距离为2 D. 若圆与圆有唯一公切线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值. 【详解】对于A，直线转化为，可知过定点，故A正确； 对于B，当切线斜率不存在时，是圆的切线， 当切线斜率存在时，设为，圆心到切线距离，解得：， 此时的方程为，故的方程为或，故B错误； 对于C，圆心到直线的距离， 因为且， 故存在两个点到直线的距离为2，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为2， 圆圆心为，半径为， 要想两圆有唯一的公切线，则两圆内切， 因为两圆圆心距为，所以，解得：，故D错误 . 故选：. 11. 已知圆和圆的公共点为，，则（ ） A. B. 直线方程是 C. D. 为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，利用弦长公式逐项判断即可. 【详解】对于A，圆的圆心，半径为1，圆，圆心，半径为2，圆心距为2，故A错误； 对于B，公共弦所在的直线方程为：，即，故B正确； 对于C，圆心到的距离为，所以，故C正确； 对于D，，，，为等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上) 12. 直线关于直线对称的直线的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称直线为：，即. 故答案为：. 13. 椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答. 【详解】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长， 所以所求椭圆标准方程是. 故答案为： 14. 设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为________. 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，然后结合弦长，由勾股定理列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理知，， 则，即，解得， 所以，即， 于是有，解得或. 所以m的值为或. 故答案为：或 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）AB边中线所在的直线方程； （2）的外接圆的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出AB中点坐标，利用直线方程的点斜式可得AB边中线所在的直线方程； （2）设出外接圆的一般方程：，利用待定系数法确定、、，再把圆的一般方程化为圆的标准方程即可. 【小问1详解】 设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：. 【小问2详解】 设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得： ，解得， 所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：. 16. 已知过点的直线l被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上. （1）求直线l的方程； （2）若直线与直线l平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设线段的中点为，进而根据点到与的距离相等并结合点到直线的距离解方程即可得，再根据两点式方程求解即可； （2）根据题意设直线的方程为，进而求得直线在坐标轴上的截距，再根据面积解方程求得，进而代入即可得答案. 【小问1详解】 解：设线段的中点为， 因为点到与的距离相等， 故， 所以，则点. 直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，， 令可得，即直线与轴的交点为， 令可得，即直线与轴的交点为， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积，解得：， 故直线的方程为或. 17. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）4； 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围． （2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程. 【小问1详解】 直线可化为， 要使直线不经过第四象限，则, 解得， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可得中取得, 取得, 故， 当且仅当时，即时取“=”， 此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒ 18. 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 【答案】0.68m 【解析】 【分析】法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少. 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 19. 已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】(1)设点，根据两点坐标求距离公式计算化简即可； (2)设，根据中点坐标公式代入圆方程中可得的轨迹方程，直线的方程、，，联立圆方程，利用韦达定理表示出,，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可； 【小问1详解】 设点，由题意可得，即， 化简可得. 【小问2详解】 设点，由（1）点满足方程:，， 代入上式消去可得，即的轨迹方程为， 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得，显然， 设，则，， 又，， 则 . 当直线的斜率不存在时，，，. 故是定值，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $