精品解析：福建福州市六校2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试卷

2025－2026学年第二学期高一年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校：福清第二中学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，义工社团女生总人数为人， 由分层抽样等比例抽取的规则，女生应抽取的人数为. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 解得，，所以. 故选：D. 3. 若，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率. 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 4. 已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则与相互对立 B. 若，则 C. 若事件与相互独立，则 D. 若事件与相互独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可. 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则， 又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即， 因此有. 故选：D. 6. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量得到方程，求出，进而求出模长. 【详解】由题意得， 又，为单位向量，故， . 7. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为63，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平移得到为异面直线与所成角或补角，利用正四棱台的体积求出高，进而求得，通过求出的三边长，借助于勾股定理即可求得. 【详解】如图设正四棱台的上下底面的中心分别为点, 连接,则易得, 正四棱台的体积为,解得， 在直角梯形中，， 过点作交于点，则为异面直线与所成角或补角. 易得，在等腰梯形中，， 在中，由余弦定理，， 在中，, 因,则， 故异面直线与所成角的余弦值为0. 8. 《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定鳖臑外接球球心，可求外接球半径，利用体积可求内切球半径，再求两半径之比. 【详解】如图， 取的中点为，因为，，所以点到的距离相等，即为鳖臑外接球的球心. 设外接球半径为，则. 设鳖臑内切球半径为，则. 因为， ， 所以. 所以. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6，7，8的第75百分位数为6 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. ，，，和，，，的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为24 【答案】BC 【解析】 【分析】应用百分位数定义计算判断A，应用极差定义判断B，应用方差性质计算判断C，应用分层抽样方差公式计算求解判断D. 【详解】A选项：，第75百分位数为第6、7个数据的平均值，即，A错误； B选项：除外数据的最小值为3、最大值为8，极差为5，故，B正确； C选项：由方差性质，当时，，C正确； D选项：总平均分为，总方差为，D错误 10. 已知，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的基本性质，结合复数代数形式运算、复数模的性质、共轭复数的性质即可. 【详解】设. 对于选项A，，则，所以，即，所以或，故A正确； 对于选项B，当时，，则，故B错误； 对于选项C，因为，所以，即，又，所以，故C正确； 对于选项D，，由得，所以，即，则所以，故D正确. 11. 正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成的角为 C. 在点运动过程中，有 D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面平行结合等体积计算判定A；直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，再计算的余弦值可判断B；通过证明平面，即可判断C；不妨设为上靠近的一个三等分点，设平面与，的交点分别为，，根据面面平行的性质得到四边形为平行四边形，再利用余弦定理及面积公式计算即可判断D， 【详解】对于A，如图，因为在正方体中，平面平面， 且平面与平面的距离为正方体棱长，而， 所以三棱锥的体积，为定值，因此A正确； 对于B，，所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角， 由勾股定理得，， 在三角形中，由余弦定理，， 所以，B错误. 对于C，如图，连接，，，， 因为在正方体中，易知，，，平面，， ∴平面，平面，∴，同理， ，、平面，∴平面， 而点为线段上一动点，所以平面，因此，所以C正确； 对于D，不妨设为上靠近的一个三等分点，即，如图所示， 设平面与，的交点分别为，，∵平面平面， ∴，同理， ∴平面截正方体所得的截面为平行四边形， ∵，∴，∴，∴, 由余弦定理的推论可求得， ∴，∴， 当为上靠近的一个三等分点，同理可求得截面面积为，因此D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，， 即纪念碑高为米. 故答案为：. 13. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可得出. 【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥， 乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则, 乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则， 乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则， 所以 故答案为：. 14. 已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用极化恒等式得到，求出的最大值，代入取值即可 【详解】圆的半径为2，弦长，故， 所以，故， 取的中点，连接，如图所示： ，，两式平方后相减可得 ， 由于，故当取得最大值时，取得最大值， 显然当三点共线且在线段上时，取得最大值， 最大值为，此时. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】（1） （2） 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 【解析】 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【小问1详解】 由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; 【小问2详解】 略 16. 在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: （1）若，求． （2）若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理代入求解. (2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解. 【小问1详解】 根据余弦定理，， 因为，，所以，解得. 【小问2详解】 设，由题意得，，，， 因为，所以， ， ， 因为，所以. 又因为，所以，. 17. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如下. （1）求的值： （2）公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品.其中，分别为样本平均数和样本标准差. （i）根据计算可得，若产品的质量差为38mg，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由； （ⅱ）若公司包装时要求，4件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率. 【答案】（1） （2）（i）该产品属于一等品，理由如下： 由图可得，， 所以一等品的质量差为， 因为，所以该产品属于一等品； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的面积之和等于1进行求解； （2）（i）根据频率分布直方图求出平均数，即可判断；（ⅱ）利用古典概型的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 由图可知，，解得； 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）设4件一等品为，2件二等品为1,2， 则质检员从箱子中随机摸出2件产品的样本空间为 共15个样本点， 设“摸出的2件产品中至少有1件一等品”， 则共14个样本点， 所以. 18. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解； （2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解． 【小问1详解】 ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，则， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 【答案】（1） 由，，，可知， 故； 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而根据面面垂直的性质推出平面，可得，再结合线面以及面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用等体积法求出D到平面的距离，再根据线面角的定义即可额求得答案； （3）根据二面角定义作出二面角的平面角，解三角形求出相关线段长，即可推出二面角平面角的正切值的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 设直线与平面所成角为，则，而， 故； 【小问3详解】 作于M，作于N，连接， 由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期高一年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校：福清第二中学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则与相互对立 B. 若，则 C. 若事件与相互独立，则 D. 若事件与相互独立，则 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为63，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6，7，8的第75百分位数为6 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. ，，，和，，，的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为24 10. 已知，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成的角为 C. 在点运动过程中，有 D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 13. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________． 14. 已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 16. 在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: （1）若，求． （2）若为角平分线，求的取值范围． 17. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如下. （1）求的值： （2）公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品.其中，分别为样本平均数和样本标准差. （i）根据计算可得，若产品的质量差为38mg，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由； （ⅱ）若公司包装时要求，4件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率. 18. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，. （1）求证：平面平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $