河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 涵盖立体几何、复数、概率统计等模块，通过折叠问题、课外阅读调查等情境，考查直观想象、数据分析等核心素养，结构完整且梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|法向量、复数运算、斜二测画法|第3题结合直观图判断三角形形状，考查空间观念| |多选题|3/18|向量运算、独立事件|第10题向量投影与模长综合，体现推理能力| |填空题|3/15|复数方程、解三角形应用|第13题方位角与仰角问题，培养应用意识| |解答题|5/77|立体几何折叠、概率赛制分析|16题频率分布直方图考查数据分析，19题结合柯西不等式提升创新应用|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一期07月期末 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设是不重合的两个平面，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（    ） A．，，且， B．，，且 C．，，且 D．，，且 2．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（    ） A．1 B．i C．﹣i D．1+i 3．如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 4．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 6．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列事件发生的可能性最小的是（   ） A． B． C． D．方程有实数解 7．如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（    ）    A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 8．已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．若 为两个随机事件，且，则（    ） A．当 时， B．当A和互斥时， C．当A和独立时， D．当A和独立时， 10．若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C．向量在上的投影向量为 D．若平面向量满足，则的最大值为 11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点P的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 13．如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 14．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分）读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； (3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 17．（15分）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19．（17分）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一期07月期末 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D D C A B A BCD AD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．25 14．/ 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 16．(1)，平均每周课外阅读时长为小时； (2)人； (3)小时． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，结合频率分布直方图的平均数的计算公式，求得平均每周课外阅读时长； （2）求得课外阅读时长在和的频率分别为和，结合分层抽样的方法，即可求解； （3）根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 可得， 则平均每周课外阅读时长（小时）. （2）解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为， 其中课外阅读时长在的频率为， 若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人. （3）解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为， 前4个矩形的面积之和为， 设第分位数位于，设第分位数为，则， 所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时. 17．(1) 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面 (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意可得，结合已知可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为，求得平面的法向量，利用向量法可得，求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量，        则有， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为， 即使平面与平面夹角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 又平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 则有， 即，所以，解得或， 又因为，所以. 故存在，使平面与平面夹角的正弦值为. 18．(1)（i）；（ii） (2)“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【详解】（1）（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. （2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 19．(1)； (2)； (3)48 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解. （2）将用表示，再利用数量积的运算律求解. （3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值． 【详解】（1）由， 得， 即， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以． （2）由，得， 则， 所以； （3）依题意， ． 当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48． $