精品解析：河南省郑州市高新区一中2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷

2025—2026学年上期第一次学情、教情调研 八年级数学试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数：…(每两个之间多一个)中是无理数的有（ ）个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是，南门的坐标是，则湖心亭的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 7. 年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（ ） A. 南偏东 B. 北偏东 C. 南偏东 D. 南偏西 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，边在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 12. 已知的整数部分为a，则______． 13. 实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简的结果为______． 14. 已知、为实数，，则 ______． 15. 如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为______  ． 三、解答题（7个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 17. 如图，在中，，，点D是边上一点，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的面积． 18. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 19. 如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． （2）请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． （3）请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 20. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 21. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度 成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高 数据 米 米 米 评价 （1）求此时风筝的垂直高度； （2）若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？ 22. 根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． （1）观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． （3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上期第一次学情、教情调研 八年级数学试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数：…(每两个之间多一个)中是无理数的有（ ）个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的概念直接进行解答即可． 【详解】解：…(每两个之间多一个)是无理数，是有理数． 故无理数有个． 故选C． 【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的条件，三个数为正整数，且满足逐一判断即可． 【详解】解：A． 不是正整数，故不是勾股数， B． ，故是勾股数， C． ，故不是勾股数， D． 不是正整数，故不是勾股数， 故选：B． 3. 如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是，南门的坐标是，则湖心亭的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查利用点的坐标表示实际的地理位置，根据已知的条件确定原点的位置，由此确定其他点的坐标是解题的关键． 根据牡丹园的坐标和南门的坐标找到原点，建立坐标系，进而求解． 【详解】解：根据题意建立坐标系如图所示： ， ∴湖心亭的坐标为， 故选：B． 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的各种运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式各种运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算正确，符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选C． 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，分别对选项进行分析，即可得出结论． 【详解】解：选项A：，故该项错误； 选项B：∵，∴，故该项错误； 选项C：，故该项错误； 选项D：，故该项正确． 故选：D 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解本题的关键． 6. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 7. 年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（ ） A. 南偏东 B. 北偏东 C. 南偏东 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 9. 如图，在中，，，边在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长. 首先利用勾股定理计算出的长，进而可得出的长度，再由点表示的数为1可得答案. 【详解】解：根据题意可得：在中，，，， ∵点Q表示的数为1，点R表示的数为3， ∴， ∴， ∵点Q表示的数为1， ∴表示的数为， 故选：C. 10. 长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解． 把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1， 由题意可得：，， ； 若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2， 由题意可得：，，， ； ∵， ∴最短距离为． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 已知的整数部分为a，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法，是解答本题的关键． 根据题意估算的大小，求出在2和3之间，由此得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分为2， ∴； 故答案为：2； 13. 实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的加减，二次根式和立方根的化简，解题的关键是熟悉掌握二次根式的性质． 本题通过数轴可得，然后可得，，然后即可求解； 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∴； 故答案为：； 14. 已知、为实数，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，解不等式组可得的值，进而可得的值，然后再代入即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 15. 如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为______  ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 以为折痕将折叠得到， ，， 如图，当时，过点作的延长线于点． ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，不合题意，舍去， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 如图，，，当时，点与点重合． ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（7个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）或； （2）； （3） （4）1 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，平方根，立方根和二次根式的乘除的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题利用平方根解方程即可求解； （2）本题利用立方根解方程即可求解； （3）本题根据二次根式的知识进行计算，即可求解； （4）本题根据二次根式的乘除和平方差公式的知识进行计算，即可求解 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ； 【小问4详解】 解： 17. 如图，在中，，，点D是边上一点，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：在中， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，      ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．用勾股定理逆定理判定垂直是非常重要的方法，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先证明较短两边平方和等于最长边的平方，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形． （2）由是直角三角形，可根据勾股定理求得，即，然后根据三角形面积公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得：，，   在中，，     ∴， ∴的面积为：． 18. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识进行作答，即可求解； （2）由（1）得，，，将其代入，然后即可求解的平方根； 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， 解得：， 把代入， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：把，，代入，得：， ∴的平方根为； 19. 如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． （2）请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． （3）请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【答案】（1） 如图，点C为所求作的点； （2） 如图，点C为所求作的点； （3） 如图，点C为所求作的点； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】（1） 证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）13 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法． 21. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度 成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高 数据 米 米 米 评价 （1）求此时风筝的垂直高度； （2）若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？ 【答案】（1）米 （2）14米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：米， 在中， 由勾股定理得， ∴（负值舍去）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：由题意得米， ∵米， 故米， 在中， ∴（米）， ∴（米）， 故还需放出风筝线14米． 22. 根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． （1）观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． （3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】（1）7，24，25的股的算式是：，弦的算式是：； （2） 当n 为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，， 猜想它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； （3）股表示为，弦表示为 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【小问1详解】 解：，； ，； ∴7，24，25的股的算式为：；弦的算式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； … ∴m为勾，股表示为：；弦表示为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $