精品解析：陕西省汉中市西乡县第三中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期第一阶段巩固练习 八年级数学 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫无理数，熟知初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个），（两个2之间依次增加1个）是解题的关键． 【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中只有是无理数， 故选：C． 2. 的立方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：的立方根是， 故选：B． 3. 以下列每组的三条线段长为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A． ，不满足勾股定理，不能组成直角三角形； B． ，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形； C． ，不满足勾股定理，不能组成直角三角形； D． ，满足勾股定理，能组成直角三角形； 故选：D． 4. 已知，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，根据完全平方公式变形，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理． 先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据勾股定理解得即可． 【详解】解：，， ， 在中，， 故选：A． 6. 如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 画轴露出筒口外的长度最少，即在筒内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 画轴露出筒口外的长度最少为：． 故选：A． 7. 如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的流程图是解本题的关键． 把代入程序计算即可得到输出结果． 【详解】解：若输入的值为， ， 故选：C． 8. 我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（ ） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，外延的4部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是． 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 的倒数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的意义或二次根式的化简进行计算即可. 【详解】因为 ×=1 所以的倒数为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了求一个数的倒数，关键是明确倒数的意义，乘积为1的两数互为倒数. 10. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中运用勾股定理． 直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“帥”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 11. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式的后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 已知在中，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开后重新首尾相接围成一个圆，则这个圆的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据题意得出长方形周长，进而求得圆的半径即可． 【详解】解：这根铁丝的周长为 ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为 故答案为：． 14. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握实数的运算法则是关键． 化简二次根式，再去绝对值符号，最后加减即可． 【详解】解：， ， ． 16. 如图是某学校图书馆一楼与二楼之间的手扶电梯侧面示意图，其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯上升的高度为，扶手的长是，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理解即可． 【详解】解：由题意知，在中，，， ， 即的长为． 17. 已知的算术平方根为4，的平方根为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的定义．根据算术平方根的定义得到，根据平方根的定义，然后求出、，从而得到的值． 【详解】解：的算术平方根是4，的平方根为， ，， 解得，， ． 18. 请用尺规作图法，在如图所示的数轴上作出所对应的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，A为表示的点， 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示无理数的方法，首先作出以2和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可． 【详解】略 19. 如图，在中，，边上的中线的长为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，再由三角形中线的定义求出的长，最后利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∵是边的中线， ∴， 在中，由勾股定理得． 20. 如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 21. 数学课堂上，为了让同学们更好地掌握二次根式的混合运算，老师设计了一个填数游戏，题目形式为：在“”中的“□”内填入数，并计算结果． （1）小美填入的数是，下面是她的计算过程： 第一步 第二步 第三步 老师发现小美的解法有错，请你指出小美是从第_____步开始出错的，正确的结果应该是_____； （2）小明在“□”内填入数后，计算的结果为0，求小明填入的数． 【答案】（1）二；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练计算是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算，即可解答； （2）设在“□”内填入，计算的结果为0，解方程即可． 【小问1详解】 解： 第一步 第二步 第三步， 所以小美是从第二步开始出错的，正确的结果应该是， 故答案为：二；； 【小问2详解】 解：设在“□”内填入，计算的结果为0， ， ， ， ， 所以小明填入的数为． 22. 在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为时，显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，已知电脑显示屏的宽为．（显示屏与底板的厚度忽略不计） （1）求此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度； （2）小亮将张角调整为（是点的对应点），此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，当张角从调整为时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）在，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，， ∴， 答：此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为； 【小问2详解】 解：由题意得，在中，， ∴， ， 答：电脑显示屏的顶部边缘上升了． 23. 为打造班级文化墙，生活委员准备从一块面积为0.64平方米的正方形硬纸板上，裁剪出一块面积为0.6平方米的长方形硬纸板（裁剪线与正方形的边平行），用于展示班级标语． （1）正方形硬纸板的边长为_____米； （2）若要求裁下的长方形硬纸板的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形硬纸板？并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用正方形面积公式求边长即可； （2）首先求出长方形硬纸板的长和宽，求出后与正方形的边长进行比较大小即可作出结论． 【小问1详解】 解：正方形硬纸板的边长为（米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不能裁出满足要求的长方形硬纸板． 理由如下： 长方形硬纸板的长、宽之比为， 设长方形硬纸板的长、宽分别为米，米， ， 解得（负值舍去）， ，， ， ， 不能裁出满足要求的长方形硬纸板． 24. 如图，在四边形中，且，在上取一点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，证明是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，则可求出的长，利用全等三角形的性质得到的长和，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； 又∵，， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 阅读下面材料，解决问题． 材料一：我们用表示小于或等于的最大整数，如． 材料二：求的值：因为，所以，所以，所以． 材料三：2025这个数字构成的巧合：①；②．2025年是仅有的“平方年”与“立方年”，这样神奇的年份，值得我们好好珍惜． （1）填空：_____，_____； （2）已知为正整数，化简：；（用含的代数式表示） （3）已知，求的平方根． 【答案】（1）45， 2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算，无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可得，然后求出，由此求出，代入求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， ∵， ∴； 故答案为：45，2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ， ∵ ∴， ∴， 则的平方根为． 26. 如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． （1）的长为_____； （2）若点在边的垂直平分线上，求此时的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，结合垂直平分线的性质得，利用勾股定理得，即可求得； （3）过点B作于点D，利用等面积法，解得，结合等腰三角形得，依据题意得，且，利用勾股定理得解得即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：如图， 由题意知，， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，即，解得； 【小问3详解】 解：存在，，理由如下， 过点B作于点D，如图， 则，解得， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（负值已舍）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第一阶段巩固练习 八年级数学 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4 2. 的立方根是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 以下列每组的三条线段长为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 5 D. 5. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 6. 如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（ ） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 的倒数是_____． 10. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是_____． 11. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_____． 12. 已知在中，，若，则_____． 13. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开后重新首尾相接围成一个圆，则这个圆的半径是_____． 14. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 如图是某学校图书馆一楼与二楼之间的手扶电梯侧面示意图，其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯上升的高度为，扶手的长是，，求的长． 17. 已知的算术平方根为4，的平方根为，求的值． 18. 请用尺规作图法，在如图所示的数轴上作出所对应的点．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，边上的中线的长为，求的长． 20. 如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 21. 数学课堂上，为了让同学们更好地掌握二次根式的混合运算，老师设计了一个填数游戏，题目形式为：在“”中的“□”内填入数，并计算结果． （1）小美填入的数是，下面是她的计算过程： 第一步 第二步 第三步 老师发现小美的解法有错，请你指出小美是从第_____步开始出错的，正确的结果应该是_____； （2）小明在“□”内填入数后，计算的结果为0，求小明填入的数． 22. 在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为时，显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，已知电脑显示屏的宽为．（显示屏与底板的厚度忽略不计） （1）求此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度； （2）小亮将张角调整为（是点的对应点），此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，当张角从调整为时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？ 23. 为打造班级文化墙，生活委员准备从一块面积为0.64平方米的正方形硬纸板上，裁剪出一块面积为0.6平方米的长方形硬纸板（裁剪线与正方形的边平行），用于展示班级标语． （1）正方形硬纸板的边长为_____米； （2）若要求裁下的长方形硬纸板的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形硬纸板？并说明理由． 24. 如图，在四边形中，且，在上取一点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 阅读下面材料，解决问题． 材料一：我们用表示小于或等于的最大整数，如． 材料二：求的值：因为，所以，所以，所以． 材料三：2025这个数字构成的巧合：①；②．2025年是仅有的“平方年”与“立方年”，这样神奇的年份，值得我们好好珍惜． （1）填空：_____，_____； （2）已知为正整数，化简：；（用含的代数式表示） （3）已知，求的平方根． 26. 如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． （1）的长为_____； （2）若点在边的垂直平分线上，求此时的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $